人教A版高中数学必修一5.7 三角函数的应用 同步练习（Word含解析）

5.7 三角函数的应用
引思
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)false中，false分别有什么物理意义？2.应按怎样的流程建立数学模型解决三角函数应用问题？
知识清单
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中__________的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画__________变化规律、预测未来等方面都发挥着十分重要的作用．
2.用函数模型解决实际问题的步骤
收集数据→画_________→选择函数模型→求解函数模型→_________.
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)false中
（1）简谐运动的振幅是：_________；
（2）简谐运动的周期T=_________；
（3）简谐运动的频率f=false=_________;
（4）_________称为相位；
（5）x=0时的相位_________称为初相.
思考辨析(对的打“√”，错的打“×”）
(1)电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是50.(　　)
(2)已知函数关系式f(x)＝24sin(160πx)＋110，则频率为60.(　　)
(3)y＝2sin，x∈R的振幅A＝2，周期T＝＝4π，初相φ＝.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
课时速练（限时10分钟）
1.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，，－ B.2，，
C.2，4π， D.2，4π，－
2.如图1所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置false的弧长false与时间false的函数关系式为false，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数false，则人流量增加的时间段是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4.如图2是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至(　　)

A．x轴上　　　　　　　 B．最低点
C．最高点 D．不确定
5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图3所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置false.若初始位置为false，秒针从false（注：此时false）开始沿顺时针方向走动，则点false的纵坐标false与时间false的函数关系式为（ ）

A．false B．false
C．false D．false
综合达标（限时20分钟）
1.简谐运动y＝4sin的相位与初相是(　　)
A．5x－，　　　　　　　 B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
3.如图1所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　)
A．， B．2，
C．，π D．2，π

4.如图2，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10


5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
6．如图3所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s往复一次．

7.电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象如图4所示，则当t＝秒时，电流强度是________安．

8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.
9.如图5所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．


延伸探究（限时10分钟）
10.如图6所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟. 某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（ ）
A．75米 B．85米
C．false米 D．false米
11．某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
（1）若入住客栈的游客人数false与月份false之间的关系可用函数false（false，false，false）近似描述，求该函数解析式；
（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？












5.7三角函数的应用
知识清单
1.周期现象 周期
2.散点图 检验
3.（1）A （2）false （3）false （4）false （5）false
思考辨析　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
课时速练
1.A 2.D 　3.C 　4.C　 5.B
综合达标
1.C　【解析】相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
2.C　【解析】当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.故选C.
3.A　【解析】当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为，故选A.
4.C　【解析】根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
5.C　【解析】因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
6.0.8 【解析】由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往复一次．
7.5 【解析】由图象可知，A＝10，周期T＝2×＝，所以ω＝＝100π，所以I＝10sin.当t＝秒时，I＝10sin＝5(安)．
8.20.5 【解析】依题意知，则a＝＝23，A＝＝5，则y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5 (℃)．
9.【解析】(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图象可知8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
所以A＝×(50－30)＝10，
b＝×(50＋30)＝40.
因为×＝14－8，所以ω＝.
所以y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
所以所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
延伸探究
10.B 【解析】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为false轴，建立直角坐标系，设false时刻的坐标为false，转过的角度为false，根据三角函数的定义有false，地面与坐标系交线方程为false ，则第7分钟时他距离地面的高度大约为false.故选B.
11.【解析】(1)因为函数为false，由①，周期false，所以false；由②，false最小，false最大，且false，故false；由③，false在false上递增，且false，所以false，所以false，解得false，又false最小，false最大，所以false，由于false，所以false， 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为false（false，且false）.
(2)由条件可知，false，化简得，false，所以false，解得false.因为false，且false，故false. 即只有false五个月份要准备不少于false人的用餐．