北师大版九年级下册
《直角三角形的边角关系》复习
教学设计
济南十六里河中学
吴静
本节课是《直角三角形的边角关系》复习课第二课时
一、教材分析
《直角三角形的边角关系》是在学生已经学习了直角三角形及有关性质，
如直角三角形的两锐角互余，勾股定理及其逆定理等知识的前提下，对直角三角形的边与角之间的关系的进一步探讨与学习、应用。
本章内容既是前面所学知识的应用，也是学生以后高中进一步学习三角函数预备知识，它的学习还蕴含着深刻的数学思想方法，另外由于解直角三角形在实际生活中应用非常广泛，所以本章内容在教材中有着非常重要的地位与作用。
二、学情分析
学生在以前的学习中，已经初步掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，已初步具备抽象思维能力和构造数学模型的能力，但是如何将本章知识梳理成知识网络，如何将锐角三角形的实际应用抽象成数学模型还有待提高！
三、教学目标
根据新课程标准，本章内容在教材中的地位与作用，结合学考的要求，我确定了一下教学目标：
知识与技能：熟记锐角三角函数的概念，熟练运用锐角三角函数解直角三角形；熟练计算含有30°，45°，60°角的三角函数值；应用三角函数知识解决生活中方向角，仰角，俯角，测量高等实际问题
过程与方法：经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.会用解直角三角形的有关知识来解某些简单的实际问题。
情感态度与价值观：进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识，体会数形结合思想，转化思想，构造模型思想。形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.
基于对教材和目标的分析，确定本节课教学重难点
教学重点
1.梳理本章知识的思维导图
2.锐角三角函数的定义，特殊锐角的三角函数值，运用这些知识解直角三角形的实际应用
教学难点：
解直角三角形的实际应用
四、教法学法
教法：在教学形式上：我采用问题式教学法，以问题串为主线，让学生归纳概括教师点拨指导，
学法：让学生在探究问题的过程中，通过老师的引导，学生的交流，归纳概括充分发挥学生的主体地位，让学生变“被动学习”为“主动学习”。
五、教学程序
基于以上分析，本节课我设计了以下环节：
（一）视频引入：锐角三角函数——学考趋势分析
【设计意图】让学生明确本章知识在学考中的地位及考察的主要知识点，为本节课的复习指明方向。
（二）快问快答
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.如图，小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米
B．6米
C．6.5米
D．7米
4．如图，河坝横断面的迎水坡AB的坡比为3：4，BC＝6m，则坡面AB的长为（ ）
A．6m
B．8m
C．10m
D．12m
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD=1，CD=2则tanB=_____
【方法总结】转化思想，构造直角三角形求三角函数
【设计意图】第一题考察了三角函数的定义，教师可以追问tanB，cosA呢，进一步帮学生回顾三角函数定义，第二题考察学生在网格中求三角函数需要构造直角三角形，如何准确构造需要从格点向下作垂线，第三题是考察学生能否熟练运用三角函数定义解直角三角形，第四题考察坡度定义，第五题需要利用相似寻找与所求角相等的角，让学生进一步体会转化数学思想。
（三）知识梳理
（1）个体活动：5分钟时间，每位同学自己在学案指定位置，整理画出锐角三角函数的思维导图
（2）小组活动：3分钟时间，小组内讨论一下每位同学整理的思维导图，推荐1份优秀作品；
（3）班级展示：小组推荐的优秀作品，进行班级展示；
【设计意图】因为本节课是复习课第二节，学生对于锐角三角函数定义和解直角三角形等知识已有了解，但对本章框架还比较模糊，通过画思维导图让学生熟悉本章知识框架，建立起知识之间的联系，让学习更加系统化。
（四）专项训练
专题一：30°、45°、60°特殊角的三角函数有关计算
2
.tan45°+﹣4sin60°+
【考点】
实数混合运算：幂的运算，开方，绝对值，特殊角的三角函数值
【方法总结】
【设计意图】特殊角的三角函数值与其他实数运算结合，教师只要让学生熟记三角函数，或借助30度、45度、60度的三角形三边比例记住，对于经常易错的的幂的运算、开方、绝对值等易错点可带学生回顾一下。在熟记三角函数定义和特殊三角函数值的基础上，我们进入第二个专题锐角三角函数的实际应用。
专题二：锐角三角函数的实际应用
例1.如图，甲乙两楼相距30m，甲楼高度为40m，自乙楼楼顶A处看甲楼楼顶B处仰角为30°，则乙楼高度为（ ）
A．10米
B．米
C．25米
D．米
【设计意图】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出BE的长度，需要构造直角三角形，本题是解了一个直角三角形，那如果两个直角三角形放在一起如何求边长呢？
例2.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
【设计意图】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．在本题中学生在审题中努力寻找已知条件和未知条件之间的关系，本题解两个直角三角已知两个直角三角形的公共边，选对三角函数即可求出BC的长度。
例3.
如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度（答案可带根号）．
【设计意图】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．此题考查一是学生将实际问题抽象为数学问题的能力，二是当已知边长不是直角三角形中任意一边时需借助方程的思想解决问题。
通过以上三个典型例题总结做锐角三角函数应用题的基本思路如下：
1.审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的意义，要审清题意.
2.画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形).
3.选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.
4.按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.
以上三个例题由解一个直角三角形到解两个直角三角形，由直接运用三角函数定义求边长到借助方程思想求解，实际问题都考察学生综合能力，先总结实际应用题中基本图形如下：
【方法总结】利用三角函数解决实际问题中的常见模型：
双直角三角形，是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形，其位置关系有以下两种：
（五）巩固提升
1..如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．
（结果取整数，参考数据：tan58°≈1.60，tan48°≈1.11）．
2.某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）
【设计意图】为遵循学生的认知规律，多角度、多层次的设置练习，提高学生应用锐角三角函数解决实际问题能力，我设置了两个巩固提升题一是一般角的实际应用，二是借助方程思想解应用题，难度稍大些，根据时间合理安排，让不同层次的学生都有所收获！
（六）课堂小结：
谈谈你的感悟与收获。
【设计意图】鼓励学生畅所欲言，总结数学知识和方法，养成善于归纳的学习习惯。
（七）检测与作业
1.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i＝1：，则该坡的坡角a＝
度．
2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cosB＝，则AC的长为
．
3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
5．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD和大楼AC的高度吗？
【设计意图】作业的反馈有利于教师发现教学中的不足，更好地了解学生的掌握情况，从而进行及时的反馈调节；拓展作业既能让学生主动地观察生活中的运动变化过程，体会函数的概念，培养学生利用函数的观点去认识世界的良好意识。同时，不同的学生可以得出不同层次的解答，从而实现不同学生在数学上都有所发展
设计说明
视频导入明确本章考点，锐角三角函数的定义特殊角的三角函数值的运算以及三角函数的应用是学考的重点。
借助思维导图梳理本章知识：通过思维导图让学生建立知识之间联系
关注数学思想的运用：在网格中求锐角三角函数和实际应用都应构造直角三角形，体现构造模型思想，同时把不易求的三角函数转化成易求角的三角函数体现转化思想，解决实际问题数形结合
充分发挥学生的体地位
无论是思维导图还是习题的讲解教师大胆放手给学生，让生生交流，师生交流充满整个课堂，让课堂活起来！
30°,45°,60°角的三角函数值
正弦：sinA==
基本概念
余弦：cosA==
正切：tanA==
锐角三角函数
解直角三角
形及其应用
直角三角形
的边角关系
坡度、坡角
方向角
仰角、俯角
三边关系：a2+b2=c2
两锐角的关系：∠A+∠B=90
边角之间的关系
°
定义：由直角三角形中已知元素，
求出所有未知元素的过程。
直角三角形的边角关系(共27张PPT)
直角三角形的边角关系复习课
北师大版九年级（下册）第一章
有一棵三角形的树被送到了北极去种，问长大后那棵树叫什么名字？（和数学有关）
4分选择填空
4分应用题
6分计算题
锐角三角函数的定义及有关计算
定义
sinA=
cosA=
tanA=
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的邻边
∠A的对边
斜边
斜边
注意：
锐角三角函数的定义，必须在直角三角形中.
坡度
【考点】三角函数定义
【方法总结】在网格中构造直角三角形求三角函数
【考点】三角函数定义
【考点】解直角三角形
【方法总结】标对条件，熟记定义
【考点】坡度（坡比）的定义
【考点】
锐角三角函数的定义
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD=1，CD=2则tanB=_____
【方法总结】
利用相似寻找与所求角相等的角（该角的三角函数值知道或易求）
【数学思想】
转化
专题一：
三角函数值计算
特殊角的三角函数值
tanα
cosα
sinα
6
0°
45
°
3
0°
角
度
三角函数
1
(2)
例题精讲
1.
【考点】
实数混合运算：幂的运算，开方，绝对值，特殊角的三角函数值
【知识总结】
专题一：构造一个直角三角形解实际问题
例题精讲
解题思路
此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出BE的长度，
锐角三角函数应用题解题思路
审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等
概念的意义，要审清题意.
画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当
的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形).
选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.
按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答
案及注明单位.
审、画、选、算
专题二：构造两个直角三角形解实际问题
例题精讲
2.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
方法总结
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
例题精讲
3.
如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度（答案可带根号）
实际应用基本图形
已知AB=50,求CD
梳理导图
(1)活动：知识梳理
（1）个体活动：5分钟时间，每位同学自己在学案指定位置，整理画出锐角三
角函数的思维导图
（2）小组活动：3分钟时间，小组内讨论一下每位同学整理的思维导图，推荐
1份优秀作品；
（3）班级展示：小组推荐的优秀作品，进行班级展示；
展示导图
本节课你还有哪些困惑，一起解决！
本节课你学到了哪些知识？
本节课你体会到了哪些数学思想？
锐角三角函数
课堂小结
1.完善思维导图
2.完成三角函数专项复习作业《直角三角形的边角关系》复习
姓名：_____班级：_______
快问快答
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.如图，小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米
B．6米
C．6.5米
D．7米
4．如图，河坝横断面的迎水坡AB的坡比为3：4，BC＝6m，则坡面AB的长为（ ）
A．6m
B．8m
C．10m
D．12m
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD=1，CD=2则tanB=_____
【方法总结】______________________________________________________________
知识回顾
请绘制有关锐角三角函数的思维导图：
专项训练
专题一：30°、45°、60°特殊角的三角函数有关计算
2
.tan45°+﹣4sin60°+
【方法总结】_________________________________________________________
专题二：锐角三角函数的实际应用
例1.如图，甲乙两楼相距30m，甲楼高度为40m，自乙楼楼顶A处看甲楼楼顶B处仰角为30°，则乙楼高度为（ ）
A．10米
B．米
C．25米
D．米
例2.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
例3.
如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度（答案可带根号）．
【方法总结】利用三角函数解决实际问题中的常见模型：
双直角三角形，是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形，其位置关系有以下两种：
三、巩固提升
1..如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．
（结果取整数，参考数据：tan58°≈1.60，tan48°≈1.11）．
2.某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）
四、当堂检测
1.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i＝1：，则该坡的坡角a＝
度．
2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cosB＝，则AC的长为
．
3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
5．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD和大楼AC的高度吗？
