华师大版八下数学 17.1变量与函数 教案

变量与函数
一．课程标准要求：
【知识目标】
（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题．能指出具体问题中的常量、变量．
（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．
（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．
【过程与方法目标】
借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.
【情感与态度目标】
(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.
(2) 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识”。
二．【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．
【教学难点】怎样理解“唯一对应”．
【教学关键】
借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．
三、教学问题诊断分析
【学生已有的知识结构】
学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律．
【学生学习的困难】
学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系．
应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念．函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）。 四、教学方法与教学手段
学生的学法应以自主探究与合作交流为主．通过小组合作，认识“唯一确定”的准确含义．
教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助几何画板形象演示几何图形中量与量之间的函数关系，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念．
五、教学过程
导言：
1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？ 理由：脚印 身高
2.我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？
理由：体重 饭量
上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．
板书课题：两个__量的关系：
1.一个__量 另一个__量
说明：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容．空格中将来填上变量的“变”字．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关系注一类简单的问题．
（一）概念的引入
1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.
（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是 元；
（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是 元；
（3）若一场售出310张电影票，则该场的票房收入是 元；
（4）若一场售出x张电影票，则该场的票房收入y元，则y .
思考：
（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y随 的变化而变化；
（2）当售出票数x取定一个确定的值时，对应的票房收入y的取值是否唯一确定？ (例如，当x=150时，y的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________
（二）概念的定义
一般地，
在一个变化过程中：
（1）发生变化的量叫做 ；
（2）不变的量叫做 ；
3）如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有 的值与之对应，称x是y是x的；
（4）如果当x=a时，y=b，b叫做当x=a时的函数值.
说明：如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．
问题回顾
指出前面三个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量
设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念，
例1 一个三角形的底边为5，这一边上的高h可以任意伸缩，三角形的面积s也随之发生了变化.
解：（1）面积s随h变化的关系式s=__ ，其中常量是 ，变量是 ， 是自变量， 是 的函数；
（2）当h=3时，面积s=______；
（3）当h=10时，面积s=______；
（4）当高由1变化到5时，面积从____ _变化到__
（三）概念巩固
1. 购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：
（1）y随x变化的关系式y= ， 是自变量， 是 的函数；
（2）当购买8支签字笔时，总价为 元.
2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离s（千米）与时间t（时）的关系如图所示.
（1）当t=12时，s=____；当t=14时，s=____；
（2）小李从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米.
图三
（3）距离是时间t的函数吗？
***（4）时间是距离的函数吗？
设计意图：1.例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.2. 练习二2(4)涉及反函数的知识，不少教师认为超纲不应涉及，
（四）概念辨析
1.两个变量x、y满足关系式y x，填表并回答问题：
2.下列各图中，表示y是x的函数的有_________________（可以多选）
.
理解函数概念把握两点：①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系.
设计意图：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”）.
3．你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？
（五）小结
函数的概念：
（六）作业
1. 行程问题：汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.
从表中可以发现：
（1）行驶路程随 的变化而变化，即s随 的变化而变化；
（2）当行驶时间t取定一个确定的值时，行驶路程s的取值是否唯一确定？
(例如，当t=3时，s的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．
2．写出下列问题中的函数解析式，并指出其中的自变量、函数：
（1）正方形的面积s与边长x关系式；
（2）秀水村的耕地面积是10m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.
解：（1）函数解析式： ， 是自变量， 是 的函数；
（2）函数解析式： ， 是自变量， 是 的函数.
3. 一年期的存款利率是4%，
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（２）本金x元与一年到期后所得的利息y元之间的关系式是___________________； （３）常量是 ，变量是 ，其中 是自变量， 是 的函数.