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函数零点与二分法求方程近似解
一、知识梳理
知识点一
函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
思考 函数的零点是点吗？
答 函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数.
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
知识点三 函数零点的判定定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
思考 (1)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？
(2)若函数f(x)在[a，b]上有f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上一定没有零点吗？
答 (1)不一定.可能y＝f(x)在x＝a或y＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如函数y＝(x－1)2在(0,2)内有零点，但f(0)·f(2)>0.
(2)不一定，如y＝(x－1)2，在[0,2]上f(0)·f(2)>0，但f(x)在(0,2)上有零点1.
知识点四 二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考 所有的函数都可以用二分法求零点吗？
答 用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值.
知识点五 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c)).
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).
二、例题精讲
+
随堂练习
考点一
根据函数零点求函数解析式中的参数
1．函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．
2．已知函数的两个零点分别为1和2.
（1）求实数m、n的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.
【训练1】已知函数的零点是和，求函数的零点．
考点二
求函数零点个数
3．已知函数是定义在上的函数，图象关于轴对称，当，.
（1）求出的解析式.
（2）若函数与函数的图象有四个交点，求的取值范围.
4．对于不同的取值范围，讨论方程的实根的个数．
【训练2】求下列函数的零点的个数：
（1）；
（2）.
考点三
零点存在性定理及应用
5．求证：方程在上至少有两个实根.
6．已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解.
【训练3】求证：函数在区间上至少有一个零点.
考点四
根据零点所在区间求参数
7．若函数有三个零点，且，求实数的取值范围.
8．若函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，求实数a的取值范围.
【训练4】已知函数.
（1）求实数，，使不等式的解集是；
（2）若为整数，，且函数
在上恰有一个零点，求的值.
考点五
利用二分法求函数近似解
9．已知函数在区间上有一个零点。求实数a的取值范围；
【训练5】求函数的一个正零点的近似值（精确度小于0.1）．
三、课后练习
1．已知函数，其中且.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）比较与的大小.
2．已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一个根.
3．求证：函数只有一个零点，且.
4．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求及的值；
（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
5．若函数的两个零点分别为，且有，试求出的取值范围．
6．对于不同的取值范围，讨论方程的实根的个数．
7．已知函数.
（1）若，求函数的零点；
（2）若有零点，求实数a的取值范围.
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函数零点与二分法求方程近似解
一、知识梳理
知识点一
函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
思考 函数的零点是点吗？
答 函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数.
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
知识点三 函数零点的判定定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
思考 (1)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？
(2)若函数f(x)在[a，b]上有f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上一定没有零点吗？
答 (1)不一定.可能y＝f(x)在x＝a或y＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如函数y＝(x－1)2在(0,2)内有零点，但f(0)·f(2)>0.
(2)不一定，如y＝(x－1)2，在[0,2]上f(0)·f(2)>0，但f(x)在(0,2)上有零点1.
知识点四 二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考 所有的函数都可以用二分法求零点吗？
答 用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值.
知识点五 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c)).
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).
二、例题精讲
+
随堂练习
考点一
根据函数零点求函数解析式中的参数
1．函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．
【详解】当时，，函数有1个零点3，符合题意；
当时，因为
所以函数在区间上有且只有一个零点，
只需即可
即
，
解得，所以，
当时，函数在区间上有且只有一个零点，只需满足，
即，解得
综上可得或，即实数k的取值范围为
2．已知函数的两个零点分别为1和2.
（1）求实数m、n的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.
【详解】
（1）由题意，函数的两个零点分别为1和2，
可得，解得.
（2）由（1）可得，因为不等式在上恒成立，
可得不等式在上恒成立，又由，
所以在上的最小值为，所以.
【训练1】已知函数的零点是和，求函数的零点．
【解析】由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得，解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
考点二
求函数零点个数
3．已知函数是定义在上的函数，图象关于轴对称，当，.
（1）求出的解析式.
（2）若函数与函数的图象有四个交点，求的取值范围.
【详解】
（1）函数图象关于轴对称，即为偶函数，
当时，，当时，，，
所以；
（2）由第一问，根据二次函数性质，作出函数图象：
要使函数与函数的图象有四个交点，则
4．对于不同的取值范围，讨论方程的实根的个数．
【详解】
作出图象，如图所示，可以看出：
（1）当时，直线与该图象无交点，
∴方程的实根的个数为0．
（2）当时，直线与该图象有2个交点，
∴方程的实根的个数为2．
（3）当时，直线与该图象有4个交点，
∴方程的实根的个数为4．
（4）当时，直线与该图象有3个交点，
∴方程的实根的个数为3．
（5）当时，直线与该图象有2个交点，
∴方程的实根的个数为2．
综上所述：当时，原方程有0个实根；
当或时，原方程有2个实根；
当时，原方程有3个实根；
当时，原方程有4个实根；
【训练2】求下列函数的零点的个数：
（1）；
（2）.
【详解】
解：方法一：（1）∵，，∴，
∴在（0，1）内有零点.又∵在R上是单调增函数，
∴在R上有且只有一个零点.
（2）∵，，
函数在区间内有零点，
又∵在R上是单调增函数，∴在R上有且只有一个零点.
考点三
零点存在性定理及应用
5．求证：方程在上至少有两个实根.
【详解】
证明：设，可知其图像是连续曲线.
因为，
所以在内都至少有一个零点.
因此方程在上至少有两个实根.
6．已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解.
【详解】由得：
令
则，，
，
在内至少有一个零点，在内至少有一个零点
在内至少有两个零点，即方程在内至少有两个实数解
【训练3】求证：函数在区间上至少有一个零点.
【详解】函数的定义域为，图像是连接不断的.
因为，所以，
因此函数在区间上至少有一个零点.
考点四
根据零点所在区间求参数
7．若函数有三个零点，且，求实数的取值范围.
【详解】解：因为是函数的零点，
所以，所以，所以.
又因为是函数的零点且，
所以，即，解得.
因此，实数的取值范围为.
8．若函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，求实数a的取值范围.
【详解】
根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图
由图可知，即，解得.
【训练4】已知函数.
（1）求实数，，使不等式的解集是；
（2）若为整数，，且函数
在上恰有一个零点，求的值.
【详解】
（1）∵不等式的解集是，∴方程的两根是3和4.
∴，，解得；
（2）∵，∴.
∵，∴函数必有两个零点.
又函数在上恰有一个零点，∴，∴，
解得.∵，∴.
考点五
利用二分法求函数近似解
9．已知函数在区间上有一个零点。求实数a的取值范围；
【详解】
若,则,与题意不符,∴,
若,则由题意可知,,则在上是单调函数,故,解得,故的取值范围为
【训练5】求函数的一个正零点的近似值（精确度小于0.1）．
【详解】
由于，故可取区间作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所在区间
区间中点横坐标
中点对应的函数值
取中点作为近似值时误差小于的值
0.5
0.25
0.125
0.0625
由上表的计算可知，可取1.6875作为所求函数的一个正零点的近似值．
三、课后练习
1．已知函数，其中且.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）比较与的大小.
【详解】
（1）由，得，所以函数的定义域为；
（2）令，即，则，所以，所以函数的零点为2；
（3），，
当时，函数是增函数，所以，即
当时，函数是减函数，所以，即
2．已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一个根.
【详解】
(1)由题意得，所以，解得.
(2)由(1)可知k=2，
所以方程的根.
∴方程的一个根为2，
∴，解得m=3.
∴方程，
解得或.所以方程的另一根为4.
3．求证：函数只有一个零点，且.
【详解】
证明：函数在上为增函数，
又，
有且只有一个零点，且.
4．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求及的值；
（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
【详解】
（1）是定义在上的偶函数，
且当时，，
；
（2）函数是定义在上的偶函数，
关于的方程有四个不同的实数解，
只需时，有两个解，
当时，，
所以
5．若函数的两个零点分别为，且有，试求出的取值范围．
【详解】
令，
则得的取值范围是．
故实数的取值范围为.
6．对于不同的取值范围，讨论方程的实根的个数．
【详解】
作出图象，如图所示，可以看出：
（1）当时，直线与该图象无交点，
∴方程的实根的个数为0．
（2）当时，直线与该图象有2个交点，
∴方程的实根的个数为2．
（3）当时，直线与该图象有4个交点，
∴方程的实根的个数为4．
（4）当时，直线与该图象有3个交点，
∴方程的实根的个数为3．
（5）当时，直线与该图象有2个交点，
∴方程的实根的个数为2．
综上所述：当时，原方程有0个实根；
当或时，原方程有2个实根；
当时，原方程有3个实根；
当时，原方程有4个实根；
7．已知函数.
（1）若，求函数的零点；
（2）若有零点，求实数a的取值范围.
【详解】
（1）当时，.令，得或，即函数的零点为和2.
（2）要使有零点，则函数对应的方程的，解得，
所以a的取值范围是.
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