5.1 二次函数-2021春苏科版九年级数学下册课件（22张）

第5章 二次函数
5.1 二次函数
九年级数学下册苏科版
1
二次函数的概念
2
二次函数的应用
CONTENTS
1
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课堂小结
1、正方形的边长是x，周长为y，则y与x之间的函数表达式为
，这是 函数.
2、已知长方形的长为x，宽为y .若面积为20，则y与x的函数表达式为 ，这是___________函数.
反比例
y=4x
一次
填一填：
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函 数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k，b是常数，k≠0)
一条直线
双曲线
生活中还有哪些图像，它又对应着什么新的函数呢?
一般形式
图像
想一想：
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2
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问题1 一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，所形成的圆的面积 S 与半径 r 之间有何关系？
二次函数的概念
S=πr2
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问题2 用 16 m 长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？
设长方形的长为 x m，则宽为（8-x）m，
如果将面积记为y m2.
那么面积y（m2）与x（m）之间的函数
关系式为：y=-x2+8x.
解：
二次函数的概念
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【分析】
镜面宽为 x 米，则镜面的长为2x 米，镜面面积为2x2 平
方米，所以镜面的费用为 元；边框的费
用为 元；加工费为 元；所
以y与x之间的函数关系式为 .
问题3 一面长与宽之比为 2 :1 的矩形镜子，四周镶有边框.已知镜面的价格是每平方米 120 元，边框的价格是每米 30元，加工费为45元.设镜面宽为 x 米，求总费用y(元)与镜面宽x(米)之间的函数关系式.
120×2x2=240x2
30(2x+x+2x+x)=180x
45
y=240x2 +180x+45
总费用=
镜面的费用 + 边框的费用 + 加工费用
二次函数的概念
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观察上面所列的函数关系式，
S=πr2 ，y=-x2+8x，y=240x2 +180x+45，
你能发现它们有哪些共同特征？
定义：
一般地，形如 y=ax?+bx+c(a、b、c是常数，且a≠ 0)的函数叫做二次函数. 其中 x是自变量，y 是 x 的函数.
二次函数的概念
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二次函数的一般形式：
y = ax? + bx + c（a、b、c是常数，且 a ≠ 0）
a是二次项系数,
且 a ≠ 0
b是一次项系数
c是常数项
当b＝0，c＝0时， y＝ax2.
当b＝0时， y＝ax2＋c.
二次函数的特殊形式：
当c＝0时， y＝ax2＋bx.
二次函数的概念
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练一练：下列函数是二次函数吗？为什么？(口答)
（1）y=2x2 +8x+5 （ ）
（2）s=2t(3-t) （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
（5）y=(x-3)2 -x2 （ ）
（6）y = ax? + bx + c（a、b、c是常数） （ ）
（7）y=x3 -x2 +1 （ ）
等式右边不是整式
自变量最高次数是3
√
=6t-2t2= -2t2+6t
=-6x+9，自变量最高次数是1.
√
√
×
×
×
×
缺少a≠0
二次函数的概念
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要点识别：
2.a、b、c为常数，且a≠0，即二次项系数不等于0.
1.等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式，函数关系式是整式.
3.化简后，等式右边的自变量最高次数为2 ，可以没有一次项和常
数项，但不能没有二次项.
4. x的取值范围是任意实数. 但是，如果在实际问题中它的取值要受
到实际意义的限制.
二次函数的概念
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二次函数的应用
例1 一农民用 40 m 长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园（墙足够长），和墙垂直的一边长为 x m，菜园的面积为 y m2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.
和墙垂直的一边长为 x m，则平行于墙
的一边长为(40-2x)m.
由题意，得
y = x(40 - 2x )，
即 y = -2x2 + 40x.（0解：
y m2
xm
(40-2x)m
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二次函数的应用
例2 已知
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3）m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）若此函数为正比例函数，则m2-7=0，即m= 或
（2）若此函数为反比例函数，则m2-7=-1，即m= 或
（3）若此函数为反比例函数，则m2-7=2，且m +3≠0，解得m=3.
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练一练：（1）如果函数 是二次函数, 则k的值是________；
（2）如果函数 是二次函数, 则k 的值是________；
0或3
0
二次函数的应用
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3
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1.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数：
（1）正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数表达式；

（2）已知圆柱的高14 cm，写出圆柱的体积 V(cm3)与底面半径 r(cm)之间的函数表达式；
S=6a2，是S关于a的二次函数.
V=14πr2，是V关于r的二次函数.
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1.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数：
（3）如图，把一张长30cm、宽20cm的矩形纸片的一角剪去一个正方形，写出矩形纸片的剩余面积 S(cm2)与所剪正方形边长 x(cm)之间的函数表达式.
S=30×20-x2=600-x2，是S关于x 的二次函数.
30cm
20cm
x
x
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2.如图，学校准备在一块长200m、宽140m的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为x m，写出绿地面积y(m2)与 x (m)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围 .
y=(200-x)(140-x)=28000-340x+x2，
其中0＜x＜140.
200
x
x
140
解：
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4
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二次函数
二次函数的概念
二次函数的应用
一般地，形如 y=ax?+bx+c(a、b、c是常数，且a≠ 0)的函数叫做二次函数. 其中 x是自变量，y 是 x 的函数.
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