5.5 用二次函数解决问题-2021春苏科版九年级数学下册课件（27张）

第5章 二次函数
5.5 用二次函数解决问题
1
收益最大问题
2
图形面积最大（小）问题
3
建立坐标系解决实际问题
CONTENTS
1
新知导入
情境引入
用 16 m 长的篱笆围成矩形的养兔场饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？
　　
CONTENTS
2
课程讲授
收益最大问题
问题1 某种粮大户去年种植水稻360亩，平均每亩收益440元. 他计划今年多承租若干亩稻田，预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元. 该种粮大户今年应多承租多少亩稻田才能使总收益最大?
收益最大问题
【分析】如果今年多承租x亩稻田，那么新承租的稻田共收益(440- 2x)x元.
解：y=ax2＋c由设今年多承租亩稻田，总收益为y元，则
y= 440× 360 + (440- 2x)x=- 2(x- 110)2 + 182 600.
当x= 110时，y的值最大，最大值是182 600.
答：该种粮大户今年应多承租110亩稻田才能使总收益最大，最大收
益为182 600元.
收益最大问题
问题2 某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，预计平均每千尾鱼的产量为1000kg．若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少 50 kg. 应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大？最大总产量是多少？
【分析】若向鱼塘再投放鱼苗x千尾，那么鱼塘里共有鱼苗(10+x)千尾，每千尾鱼的产量为(1000- 50x) kg.
收益最大问题
解：设向鱼塘里再投放鱼苗 x 千尾，总产量为 y kg，则
y= (1 000一50x)(10+x) =- 50(x-5)2+11250.
当x= 5时，y 的值最大，最大值是11250.
答：应再投放鱼苗5千尾，才能使总产量最大，最大总产量为11250 kg.
实际经济问题中常用公式：
1. 利润＝售价—进价；
2. 总利润＝单件商品的利润×销售量；
利润率＝利润÷进价×100%.
收益最大问题
练一练：已知某商品的销售利润y(元)与该商品的销售单价x(元)之间满足y=-20x2＋1400x-20 000，则获利最多为(　 )
A.4500元　　　 B.5500元　　　
C.450元　　 　 D.20 000元
A
收益最大问题
图形面积最大（小）问题
问题3 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50 m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为多少？
解：如图，设总占地面积为S m2，CD的长度为xm，
则AB=CD=EF=GH=xm，所以BH=m.
因为0＜BH≤50，CD＞0，
所以0＜x＜12，
所以S=AB?BH= x ?（48-4x）=-4(x-6)2+144
所以当x=6时，S可取得最大值，最大值为144．
答：当矩形窗框的宽约3.3m时，该窗户的透光面积最大.
图形面积最大（小）问题
求实际问题的最大（小）值的一般步骤 :

图形面积最大（小）问题
1.求出函数表达式和自变量的取值范围.
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值.
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
练一练：用20 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成高、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？
图形面积最大（小）问题
解：设窗户的透光面积为S m2，矩形窗框的宽为xm，
则根据题意，得

当 时，S 的值最大.
答：当矩形窗框的宽约3.3m时，该窗户的透光面积最大.
建立坐标系解决实际问题
问题4 河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥拱顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少（精确到0.1m）？
【分析】要解决这个实际问题，先要把它数学化---恰当地建立平面直角坐标系，把抛物线形的桥拱看作一个二次函数的图像，并写出这个函数的表达式，然后根据题设条件求解.
解：如图，以桥拱的最高点为原点，过原点的水
平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立平
面直角坐标系.抛物线形的桥拱是二次函数
y=ax2的图像.
因为当水面宽AB=6m时，水面离桥拱顶部3m，
所以点A的坐标是（3，-3）.
建立坐标系解决实际问题
把x=3，y=3代入y=ax2，得-3=a×32，
建立坐标系解决实际问题
解得
把y=-2代入 得
解得
所以点C，D的坐标分别为
答：水位上升1m时，水面宽约为4.9m.
建立坐标系解决实际问题
建立模型
图像性质
二次函数
实际问题
（数学问题）
解决问题
练一练：有一个抛物线形状的拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则此抛物线的表达式为__________________.
建立坐标系解决实际问题
CONTENTS
3
随堂练习
1. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1 元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（　 ）
A．5元　　　 B．10元 　　 C．0元 　 　D．3600元
A
2.设计师以y=2x2-4x+27的图像为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE等于（　　）
A．17
B．11
C．8
D．7
B
3.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是： ，则该运动员此次掷铅球的成绩是
m.
10
4.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
解：（1）y=300+30(60-x)=-30x+2100.
（2）设每星期的销售利润W元.
W=300(x-40)(-30x+2100)=-30(x-55)2+6750.
所以当x=55时，每星期的销售利润最大值，最大利润为6750元．
答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元.
CONTENTS
4
课堂小结
用二次函数
解决问题
收益最大问题
常用公式：
1. 利润＝售价—进价；
2. 总利润＝单件商品的利润×销售量；
利润率＝利润÷进价×100%.
建立坐标系解决实际问题
图形面积最大（小）问题
一般步骤：
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值.
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.