6.4 探索三角形相似的条件 第5课时 -2021春苏科版九年级数学下册课件（18张）

第6章 图形的相似
6.4 探索三角形相似的条件
第5课时 三角形相似的判定及三角形的重心
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三角形相似的判定
2
三角形的重心
CONTENTS
1
新知导入
情境导入
你知道杂技演员脚上的碗为什么不掉下来？
CONTENTS
2
课程讲授
三角形相似的判定
问题1 如何识别两个三角形是否相似?
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形相似.
（2）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）
相交，所构成的三角形与原三角形相似.
（1） 定义：
两角分别相等的两个三角形相似.
（3） 三角形相似的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
例 如图，在△ABC中，AB= AC，点D在BC上，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.△ABE与△CDE相似吗?为什么?
三角形相似的判定
O
D
A
B
E
C
解：△ABE和△CDE相似.
∵AB=AC，
∴AB = AC，
∴∠AEB=∠AEC.
在△ABE和△CDE中，
∵∠AEB=∠DEC，∠BAE=∠DCE，
∴△ABE∽△CDE (两角分别相等的两个三角形相似) .
判定两个三角形相似基本思路：
（1）若已知一对等角，则可找另一对等角，或说明夹已知等角的两边成比例.
（2）若已知两边成比例，则可说明其夹角相等，或说明第三边也成比例.
（3）若出现平行线，则利用“平行于三角形一边 的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似”来判定.
三角形相似的判定
三角形相似的判定
O
D
A
B
E
C
解：△CDE∽△BDC.理由如下：
∵D是AC的中点，
∴∠ACD=∠DBC.
又∵∠EDC=∠CBD，
∴△CDE∽△BDC.
练一练： 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是AC的中点，BD交AC于点E.△CDE与△BDC相似吗?为什么?
三角形的重心
C
B
A
F
G
E
问题2 我们知道三角形的三条中线相交于一点，那么如何证明呢？
如右图，△ABC的中线BE、CF相交于点G，
连接EF，可得
FE//BC，FE= BC，
因此△GEF∽△GBC，可得
三角形的重心
问题2 我们知道三角形的三条中线相交于一点，那么如何证明呢？
C
B
A
E
D
F
G'
如右图，AD是△ABC的另一条中线，
设AD与BE相交于点G' ，连接DE，
同样可得△G'DE∞△G'AB，
于是，点G'与点G重合，
三角形的三条中线相交于一点.
三角形的重心
定 义：
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心．
三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍．
C
B
A
D
F
E
G
G是△ABC的重心
D
P
A
B
C
解：△APC∽△PBD.理由如下：
在△PCD中，PC= PD=CD，
∴∠ PCD=∠PDC=∠CPD= 60°，
∴∠ACP=∠PDB= 120°
∵∠PCD=60°，∴∠A+∠APC=60°.
又∵∠CPD=60°，∠APB= 120°，
∴∠APC+∠DPB= 60°，∴∠A=∠DPB.
在△APC和△PBD中，
∵∠ACP=∠ PDB，∠A=∠DPB，
∴△APC∽△PBD.
练一练： 如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC= PD=CD， 2∠ APB =120°. △APC与△PBD相似吗?为什么?
三角形的重心
CONTENTS
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随堂练习
1.满足下列条件的两个三角形是否相似？为什么？
（1）△ABC的两个角分别是60°、80°，△A'B'C'的两个角分别是80°、40° ;
（2）△ABC的两边长分别为8 cm、12 cm、15 cm、10 cm，夹角为60°；
（3）△ABC的三边长分别为4 cm、6 cm、8 cm，△A'B'C'的三边长分别为夹角为60°，△A'B'C'的三边长分别为24 cm、18 cm、12 cm.
解：（1）相似.因为△ABC的两个角分别是60°、80°，所以它的另一个角是40°，和△A'B'C'的两个角分别相等，所以相似.
（2）相似.因为 ，且它们的夹角都是60°，所以相似.
（3）相似.因为 ，所以相似.
2.如图，在△ABC中，AD， BE交于点G，点G为△ABC的重心，若AD=6，GE=3，则AG= ，BE= .
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C
B
A
G
D
E
【解析】如图，连接DE，由G为重心，可知
DE为中位线，则DE ∥AB，且 ，
易得△DEG∽△ABG，
可得 ，
则 ，BE=3GE=9.
CONTENTS
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课堂小结
三角形相似的判定
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定 义
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形相似.
定 理
两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
三角形的重心
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.
三角形相似的判定及三角形的重心
三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍．