7.6 用锐角三角函数解决问题-2021春苏科版九年级数学下册课件（32张）

第7章 锐角三角函数
7.6 用锐角三角函数解决问题
1
坡度、坡角问题
2
仰角、俯角问题
3
方向角问题
4
用锐角三角函数解决实际问题
CONTENTS
1
新知导入
复习引入
1.三角函数的计算方法：
A
b
a
c
C
B
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
角α
三角函数
2.特殊角的三角函数值：
1
CONTENTS
2
课程讲授
坡度、坡角问题
问题1 观察下图，想一想如何对它们的倾斜程度进行描述.
定 义：



坡度、坡角问题
α
l
i= h : l
A
B
C

我们把斜坡与水平面的夹角α称为坡角.
如图，AB是一斜坡.
斜坡的垂直高度BC (h) 与斜坡的水平距离AC (l)的比称为坡度
(或坡比)，记作i，即 i = h : l .
坡度与坡角的关系：
h
坡度、坡角问题
问题1 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i（即tanβ）为1:1.2， 坝顶DC=2.5m，坝高4.5m. 求:
（1）背水坡AD的坡角β(精确到0.1°)；
（2）坝底AB的长.(精确到0.1m).
D
A
B
C
β
α
F
E
【分析】作梯形ABCD的高CE、DF.根据题意，在Rt△AFD和Rt△BEC中，可以分别求出AF与BE的长，从而可求得坝底AB的长.
解：如图，作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.
用计算器计算，得β ≈ 39. 8.
坡度、坡角问题
D
A
B
C
β
α
F
E
（1）背水坡AD的坡度i = tanβ=1:1.2，= .
（2）在Rt△BEC中，
α = 30°，∠BCE= 90°-30°= 60°，
EB = CE·tan∠BCE = 4.5× tan 60°.
∴AF= 1.2DF = 1.2×4.5= 5.4.
又FE= DC= 2.5，
∴AB = AF+FE+EB= 5.4+2.5+4.5×tan60°≈15.7.
在Rt△AFD中，
练一练：如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为（ ）
A.50米
B.100米
C.150米
D. 米
B
坡度、坡角问题
仰角、俯角问题
问题2 观察下图中不同拍摄视角看到的图像，试着发现它们的规律.
由上往下拍摄
水下仰拍
仰角、俯角问题
问题3 观察下图中不同拍摄视角看到的图像，试着推测它们的拍摄角度.
由下往上拍摄
俯拍
仰角、俯角问题
定 义：



我们在观察物体时，视线与水平线所成的角称为仰角或俯角.
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
右图中的∠1就是________，
∠2就是________.
俯角
仰角
从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角.
仰角、俯角问题
例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）？
A
B
C
仰角、俯角问题
解：如图，α = 30°，β= 60°， AD＝120．
∴BD=AD· tana =120· tan30°
=120× =
CD=AD· tanβ =120· tan60°
=120× =
∴BC=BD+ CD= +
= ≈277（m）
因此，这栋楼高约为277.1m.
D
A
B
C
β
α
练一练： 如图，飞机在空中A处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面指挥台B的俯角α的正切值为 ，则飞机与指挥台之间的距离AB为（ ）
A.1200米
B.1600米
C.1800米
D.2000米

仰角、俯角问题
D
问题4 观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
方向角问题
小岛
轮船
渔船
灯塔
东
北
例2 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
方向角问题
65°
34°
P
B
C
A
方向角问题
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°≈80×0.91=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile．
65°
34°
P
B
C
A
∴PB= ≈130（n mile）.
方向角问题
练一练： 如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A.250米
B. 米
C. 米
D. 米
A
用锐角三角函数解决实际问题
A
O
B
C
例3 游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12 min. 小明从摩天轮的底部(与地面相距0.3m)出发开始观光，2min后小明离地面多高?
【分析】如图，用⊙O表示摩天轮，小明从底部点A出发，经过2 min后到达点B，由题意可求∠BOA的大小.如果作BC⊥OA，垂足为C，在Rt△OCB中，可以根据OB及∠BOA的大小求得OC，那么就可知道此时小明离地面的高度.
用锐角三角函数解决实际问题
A
O
B
C
解：如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示小明
的出发点和2 min后的到达点.
由题意知，OB= 20，∠BOA = 360°÷6= 60°.
作BC⊥OA，垂足为C.在Rt△OCB中，
答：2min后小明离地面10. 3 m.
AC = AO-CO= 20-10= 10.
因为摩天轮底部与地面相距0.3m，
所以小明离地面的高度应为10.3 m.
用锐角三角函数的知识解决实际问题的主要步骤：
1．分析实际问题中某些名词、概念的意义，正确理解条件和结论的关系；
2．将现实问题转化为数学问题，建立直角三角形模型；
3．根据条件特点，选用适当的锐角三角函数解决问题；
4．写出解答过程与答案 ．
用锐角三角函数解决实际问题
用锐角三角函数解决实际问题
练一练： 如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为______m.（精确到0.1 m，参考数据：sin53°≈0.80，
cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
9.5
CONTENTS
3
随堂练习
1.如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（ ）
A.72海里/时
B.73海里/时
C.76海里/时
D.282海里/时
A
2.小亮为测量如图所示的湖面的宽度BC，他在同一水平面上取一点A，测得湖的一端C在A处的正北方向，另一端B在A处的北偏东60°的方向，并测得A,C间的距离AC=10 m，则湖的宽度BC为________m.
3.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1∶3，堤坝高BC=50 m，则AB=_______m.
100
5.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯. 如图，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD=30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m.
解：在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=10 m，
∴AD=AB·sin∠ABD=10×sin30°=5（m）.
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=15°，
∴AC=ADsin∠ACD=5sin15°≈50.26≈19.2（m）.
CONTENTS
4
课堂小结
解与坡度、坡角有关的实际问题
解与生活有关的其他实际问题
用锐角三角函数解决问题
解与仰角、俯角有关的实际问题
解与方向角有关的实际问题
数学问题
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