天津市六校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题 PDF版含答案

2020～2021 学年度第一学期期末六校联考
高一数学
出题学校：蓟州区第一中学 芦台一中
一、选择题(本题共9小题，每题4分，共36分)
1．设集合 2
A?{x|x ?5x?4?0}，B ?{x?N |x ? 2}，则A? B ?
A．{x|1? x ?2} B．{1,2} C．{0,1} D．{0,1,2}
x
2．已知命题P:?x?0，总有(x?1)e ?1，则?p为
x0 x0
A．?x0 ?0 使得(x0?1)e ?1 B．?x0 ?0 使得(x0?1)e ?1
C． x x
?x?0 总有(x?1)e ?1 D．?x?0,总有(x?1)e ?1
? 1
3．设??R，则“?? ?2k?,k?Z”是“cos?? ”的
3 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
4．函数 f ?x? ?(x? )cosx （??≤x≤?且x ?0）的图象可能为
x
A． B． C． D．
5．设a ? 0.6
log0.50.6，b?log0.61.2，c ?1.2 ，则a、b、c的大小关系为
A．a?b?c B．b?a?c C．c?a?b D．b? c ? a
6．已知 2
f(x) ?log1(x ?ax?3a)在区间(2,??)上是减函数，则实数a的取值范围是
2
A．(??,4] B．(??,4) C．(?4,4] D．[?4,4]
重点校期末联考高一数学 第 1 页（共 9 页）
? ? ?? ? 1 ?? ?? ?
7.若0??? ， 3
? ??? 0，cos? ???? ，cos? ? ?? ，则cos(?? )?
2 2 ? 4 ? 3 ? 4 2? 3 2
3 3 5 3 6
A． B．? C． D．?
3 3 9 9
? π?
8．已知函数 f ?x?? Asin??x????A?0,??0,?? ?的部分图象如图所示，下列说
? 2?
法正确的是
? π ?
①函数 y? f ?x?的图象关于点?? ,0?对称
? 6 ?
5π
②函数 y? f ?x?的图象关于直线x?? 对称
12
? 2π π?
③函数 y? f ?x?在 ?
? ,? 单调递减
?
? 3 6?
?
④该图象向右平移 个单位可得 y?2sin2x的图象
3
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
x
?|2 ?1|,x?2
9．设函数 f(x)?? ，若互不相等的实数a,b,c满足 f(a)? f(b)? f(c)，
??x?7,x?2
则 a b c
2 ?2 ?2 的取值范围是
A．（8，9） B．（65，129） C．（64，128） D．（66，130）
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
10．已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为3?，则该扇形的弧长为___________.
11．已知函数 y?loga(x?1)?6(a?0,a?1)的图象恒过点A，且点A在角?的终边上，
则tan?的值为________.
? 2
x ?bx?c,x ? 0
12．设函数 f(x) ? ? ，若 f(4)? f(0）， f(2)?2，则函数
?1 x ?0
g(x)? f(x)?x的零点的个数是_______.
重点校期末联考高一数学 第 2 页（共 9 页）
? ?? 1 4
13．对任意的???0, ?，不等式 2 ? 2 ?|2x?1|恒成立，则实数x的取值范
? 2? sin ? cos ?
围是______________．
?7
? x?3?x?0?
14．己知函数 f ?x???3 ，g?x?? 3sinx?cosx?4，若对任意
? 2
??x ?2x?3?x?0?
?
t?[?3,3]，总存在s?[0, ]，使得 f(t)?a? g(s)成立，则实数a的取值范围为___.
2
三、解答题（本大题共5小题，共64分）
15．（本小题满分12分）
设函数 2
y? log2(x?1)的定义域为A，集合B?{x|x ?2x?0}．
（Ⅰ）求集合A,B，并求A?CRB；
（Ⅱ）若集合 C ??x 2a ? x ?a?1?，且B?C ?C，求实数a的取值范围.
16．（本小题满分12分）
?? ?
sin(2???)cos? ???
已知 ? 2 ?
f(?)? .
? ? ?
cos?? ???tan?????
? 2 ?
???
（Ⅰ）化简 f(?)，并求 f? ?；
? 3?
（Ⅱ）若 2 2
tan??2，求4sin ??3sin?cos??5cos ?的值；
?? ?
（Ⅲ）求函数 2
g(x)?2f (x)? f ? ?x??1的值域．
? 2 ?
重点校期末联考高一数学 第 3 页（共 9 页）
17．（本小题满分12分）
某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000
万元，每生产x百．台．这种仪器，需另投入成本 f(x)万元，且
? 2
5x ?50x?500,0? x?40且100x?N
?
f(x)? ? ．假设生产的仪器能全部销售完，且
2500
?301x? ?3000,x?40且100x?N
? x
售价为每．台．3万元．
（Ⅰ）求出利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（Ⅱ）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．
18．（本小题满分14分）
?
已知函数 2
f(x)? 3sin?xcos?x?cos ?x（??0)，周期是 2
（Ⅰ）求 f(x)的解析式，并求 f(x)的单调递增区间；
?
（Ⅱ）将 f(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移 个单位，最后将
6
3 ? 2?
整个函数图像向上平移 个单位后得到函数 g?x? 的图像，若 ? x? 时，
2 6 3
g?x??m <2恒成立，求m得取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知函数 f(x)?ln(x?a)(a?R)的图象过点 2 f(x)
(1,0)，g(x)? x ?2e .
（Ⅰ）求函数 f(x)的解析式;
（Ⅱ）若函数 y? f(x)?ln(2x?k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值;
1
（Ⅲ）设m?0，若对于任意x?[ ,m]，都有g(x)??ln(m?1)，求m的取值范围.
m
重点校期末联考高一数学 第 4 页（共 9 页）
2020～2021 学年第一学期期末六校联考
高一数学答案
一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分）
1．B 2．B 3．A 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A 9．D
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
10．2? 11．3 12．2 13．[-4,5] 14．（??，2]
三、解答题（本大题共5小题，共64分）
15．（本题满分12分）
?x?1?0
【解析】（Ⅰ）因为? ? x?2，所以A??x|x?2?，……………2分
?log2?x?1??0
B?{x|0? x?2}，……………3分
CRB?{x|x?0或x?2}……………4分
所以A?CRB?{x|x?2}……………5分
（Ⅱ）因为B?C ?C，所以C ? B.……………6分
当C ??时，2a?a?1，解得a?1，……………8分
?a?1?2a
?
当C ??时，?2a?0 ?0?a?1，……………11分
??a?1?2
综上：a的取值范围是[0,??).……………12分
16．（本题满分12分）
?? ?
sin(2???)cos? ???
【解析】（Ⅰ）由题意可得 ? 2 ?
f(?)? ? ? ?
cos?? ???tan?????
? 2 ?
?sin??(?sin?)
? ＝cos?， ……………3分
sin??tan?
重点校期末联考高一数学 第 5 页（共 9 页）
??? ? 1
故 f? ??cos ? ．………………4分
? 3? 3 2
（Ⅱ）∵tan?? 2，
故 2 2
4sin ??3sin?cos??5cos ?
2 2
4sin ??3sin?cos??5cos ?
? 2 2 ……………5分
sin ??cos ?
2
4tan ??3tan??5
? 2 ?1．……………7分
tan ??1
（Ⅲ）因为 f(?)?cos?
所以 2
g(x)?2cos x?sinx?1……………8分
2
=?2sin x?sinx?3……………9分
1 2 25
=?2(sinx? ) ?
4 8
因为sinx?[?1,1]
1 25
所以sinx? 时g(x)max ? ，g(x)min ?0……………11分
4 8
? 25?
所以g(x）的值域为 ， 分
?0 ?……………12
? 8 ?
17．（本题满分12分）
【解析】(Ⅰ)由题意知，当0? x?40，100x?N时，
2
g(x)?300x?5x ?50x?500?1000
2
??5x ?250x?1500 ……………2分
当x?40,100x?N ，100x?N时，
2500
g(x)?300x?301x? ?3000?1000
x
重点校期末联考高一数学 第 6 页（共 9 页）
2500
?2000?(x? )，……………4分
x
2
??5x ?250x?1500,0? x?40,100x?N
?
综上，g(x)?? ． 分
2500 ……………6
?2000?(x? ),x?40，100x?N
? x
（Ⅱ）
当 2 2
0? x?40，100x?N时，g(x)??5x ?250x?1500??5(x?25) ?1625，
所以当x ?25时，g(x)取得最大值1625， ……………8分
2500
当x?40，100x?N 时，g(x)?2000?(x? )?1900，
x
当且仅当x ?50时，g(x)取得最大值1900， ……………11分
综上，当x ?50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，
且最大利润为1900万元． ……………12分
18．（本题满分14分）
【解析】（Ⅰ） 2
f(x)? 3sin?xcos?x?cos ?x
3 1
? sin2?x? (cos2?x?1)……………2分
2 2
? 1
?sin(2?x? )? ……………3分
6 2
2? ?
由T ? ? ，解得??2
2? 2
? 1
所以，f(x)?sin(4x? )? ……………4分
6 2
? ? ?
?2k?? ?4x? ?2k??
2 6 2
? 2?
?2k?? ?4x?2k??
3 3
k? ? k? ?
? ? ? x? ?
2 12 2 6
?k? ? k? ??
? f(x)的单调递增区间为?? ? , ? ?,k?Z ……………7分
? 2 12 2 6?
重点校期末联考高一数学 第 7 页（共 9 页）
?
（Ⅱ）依题意得g?x??sin(2x? )?1
6
因为 g(x)?m ﹤2，所以g(x)-2﹤m﹤g(x) ? 2
?? 2??
因为当x? 时， ﹤ ﹤ 恒成立 分
? , ? g(x)-2 m g(x) ? 2 ……………8
?6 3 ?
所以只需?g(x)?2?
max﹤m﹤?g(x)?2?
min转化为求g(x)的最大值与最小值……10分
?? 2??
当x? 时， 为单调减函数 分
? , ? y ? g(x) ……………11
?6 3 ?
?
所以g(x)max ? g( )?1?1?2，
6
2?
g(x)min ? g( )?1?1?0
3
从而?g(x)?2?
max ?0，?g(x)?2?
min ?2即0﹤m﹤2 ……………13分
所以m的取值范围是?0,2?……………14分
19．（本题满分14分）
【解析】（Ⅰ）函数 f (x)?ln(x?a)(a?R)的图像过点(1,0)，
?ln(1?a)?0，解得a?0,……………………1分
?函数 f (x)的解析式为 f(x)?lnx.……………………2分
（Ⅱ）由（1）可知 2
y?lnx?ln(2x?k)?ln(2x ?kx),x?(1,2)
令 2 2
ln(2x ?kx)?0，得2x ?kx?1?0，……………………3分
设 2
h(x)?2x ?kx?1，则
函数 y ? f(x)?ln(2x?k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数 y ?h(x)在(1,2)上有零
点
?h(1)?1?k ?0
?? ，…………………………………………5分
?h(2)?7?2k ?0
重点校期末联考高一数学 第 8 页（共 9 页）
7
?1?k ? ，…………………………………………6分
2
?k?Z,?k的取值为2或3.…………………………………………7分
1 1
（Ⅲ）?m?0且m? ,?m?1且0? ?1…………………8分
m m
2 f(x) 2 2
?g(x)? x ?2e ? x ?2x?(x?1) ?1…………………9分
1
?g(x)的最大值可能是g(m)或g( ),
m
1 2 1 2
?g(m)? g( )?m ?2m?( 2 ? )
m m m
2
2 1 2 1 1 1 (m?1)
?m ? 2 ?(2m? )?(m? )(m? ?2)?(m? )? ?0
m m m m m m
2
?g(x)max ? g(m)?m ?2m………………10分
只需 2
g(x)max ??ln（m?1)，即m ?2m??ln(m?1)………………11分
设 2
h(m)?m ?2m?ln(m?1)(m?1)，h(m)在(1,??)上单调递增.……………12分
又 2
h(2)?0，?m ?2m?ln(m?1)?0，即h(m)?h(2)，………………13分
?1?m?2,
所以m的取值范围是(1,2)………………14分
重点校期末联考高一数学 第 9 页（共 9 页）