北师大版七年级数学下册 第五单元生活中的轴对称 质量评估试卷（Word版 附答案）

第五单元质量评估试卷
[时间：90分钟　分值：120分]
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是(　 　)

A B

C D
2．若等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为(　 　)
A．16 cm B．17 cm
C．20 cm D．16 cm或20 cm
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(　 　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为(　 　)
A．30° B．50° C．90° D．100°
5．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则点P是(　 　)
A．线段CD的中点
B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点
D．CD与∠AOB的平分线的交点
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠FAB的度数(　 　)
A．50° B．35° C．30° D．25°
7．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(　 　)
A．40° B．100°
C．40°或100° D．70°或50°
8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(　 　)
A．115° B．120° C．130° D．140°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，E为AB上一点，且BC＝BD，AD＝DE＝BE，那么∠A的度数为(　 　)
A．36° B．45° C．60° D．75°
10．如图，已知C是线段AB上的任意一点(端点除外)，分别以AC，BC为边并且在AB的同一侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N.给出以下三个结论：
①AE＝BD；②CN＝CM；③MN∥AB．
其中正确结论的个数是(　 　)
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝35°，CO⊥DO，OC＝OB，OD交CB于点E，则∠CED＝__ __．
12．如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC＝10，S△BCD＝15，则AD＝__ __．
提示： 作DE⊥BC于E.
13．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点A与点C重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为__ __．
14．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，则有下列结论：①AB∥CD；②AB＝CD；③AB⊥BC；④AO＝OC．其中正确的结论是__ __．
　　　
15．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到点A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到点A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此作法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角的度数是__ __．
16．如图，已知∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝
10 cm，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2分别交OA于点M，交OB于点N，则△PMN的周长为__ __.
三、解答题(共66分)
17．(8分)如图，以虚线为对称轴画出图案的另一半．
　　　　
18．(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，AD平分∠BAC，∠B＝40°，过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点O.
(1)求∠ACB的度数；
(2)过点E作EF∥AD交BC于点F，求∠CEF的度数．
19．(10分)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？
20．(11分)已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N.试说明：PM＝PN.
21．(12分)在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q，求证：∠BQM＝60°.
(1)请你完成这道思考题；
(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，譬如：
①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？请你选择其中一个问题并画出图形，给出证明．
22．(15分)如图，在△ABC中，AB＝AC．
(1)如图1，若∠α＝35°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝__ __．
(2)如图2，若∠α＝46°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝__ _．
(3)如图3，D为BC上任意一点．请你思考：在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，则∠α和∠β之间有什么关系？请你写出来，并说明你的理由．
参考答案
1．D
2．C
3．B【解析】 ∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝×(180°－∠A)＝×(180°－30°)＝75°.∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，∴BC＝BD，∴∠CBD＝180°－2∠ACB＝180°－2×75°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝75°－30°＝45°.
4．D【解析】 因为△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，所以∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和定理求出∠B＝100°.
5．D
6．D
7．C
【解析】 当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°－40°×2＝100°.
8． A
9．B
【解析】 ∵DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB．设∠EBD＝∠EDB＝α，则∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2α.∵AD＝DE，∴∠A＝∠AED＝2α，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝3α.∵BD＝BC，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝3α，∴3α＋3α＋2α＝180°，
∴α＝22.5°，∴∠A＝45°.
10．D
【解析】 由△ACD和△BCE都是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC＝∠BDC，又由∠ACD＝∠MCN＝60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．
11．107.5°
12．3
13．13【解析】 ∵将△ABC沿直线DE折叠后，使点A与点C重合，∴AD＝CD．∵AB＝7，BC＝6，∴△BCD的周长为BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝BC＋AB＝6＋7＝13.
14．①②④
【解析】 通过轴对称的性质可得出答案．
15． _n－1×75°
【解析】 ∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°.∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°.同理可得∠EA3A2＝×75°，
∠FA4A3＝×75°，…，∴第n个三角形中以An为顶点的内角的度数是 n－1×75°.
16．10 cm
【解析】∵P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，∴∠P1OA＝∠AOP，∠P2OB＝∠BOP，PM＝P1M，PN＝P2N，P1O＝PO＝P2O，∴∠P1OP2＝∠P1OA＋∠AOP＋∠P2OB＋∠BOP＝2∠AOB．∵∠AOB＝30°，∴∠P1OP2＝2×30°＝60°，∴△OP1P2是等边三角形．又∵△PMN的周长为PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋P2N＝P1P2，∴C△PMN＝P1P2＝P1O＝PO＝10 cm.
17． 解： 如答图．(1)分别画出点B，C和D关于虚线的对称点B′，C′和D′；(2)连接AB′，B′C′，C′D′，D′E.
答图
18． 解： (1)∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BCA＝∠BAC＝(180°－40°)＝70°.
(2)∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝35°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠ACE＝20°，
∴∠COD＝∠CAD＋∠ACO＝55°，
∵EF∥AD，
∴∠CEF＝∠COD＝55°.
19． 解： ∠B＝∠CAF，
理由如下：∵FE垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠FDA＝∠B＋∠BAD，
∴∠B＝∠CAF.
20． 证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
21． (1)证明：∵在△ABM和△BCN中，，
∴△ABM≌△BCN(SAS)．
∴∠BAM＝∠CBN(全等三角形对应角相等)．
∵∠QBA＋∠CBN＝∠CBA＝60°(已知)，
∴∠QBA＋∠BAM＝60°(等量代换)．
∴∠BQM＝60°.
(2)解：①是．
∵∠BQM＝60°(已知)，
∴∠QBA＋∠BAM＝60°.
∵∠QBA＋∠CBN＝60°(由(1)得出的结论)，
∴∠BAM＝∠CBN(等量代换)．
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN(ASA)．
∴BM＝CN(全等三角形对应边相等)．
②成立．
∵BM＝CN(①的结论)，
∴CM＝AN(等量代换)．
∵AB＝AC，∠ACM＝∠BAN＝180°－60°＝120°(平角的性质)，
在△BAN和△ACM中，
∴△BAN≌△ACM(SAS)．
∴∠NBA＝∠MAC，
∴∠BQM＝∠BNA＋∠NAQ＝180°－∠NCB－(∠CBN－∠NAQ)＝180°－60°－60°＝60°(三角形内角和定理)．
22． (1)
(2)23°
(1)【解析】 ∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠α＝∠CAD．∵∠α＝35°，∴∠CAD＝∠α＝35°.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝，
∴∠β＝90°－∠ADE＝.
(2)【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠α＝∠CAD．∵∠α＝46°，∴∠CAD＝∠α＝46°.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝67°，
∴∠β＝90°－∠ADE＝23°.
(3)解： ∠α＝2∠B．理由如下：
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠α＋∠B＝∠ADC＝∠ADE＋∠β＝∠AED＋∠β＝(∠β＋∠C)＋∠β＝2∠β＋∠C．
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠α＝2∠β.