复数的几何意义
图片预览
文档简介
(共26张PPT)
知识回顾
1、复数的概念：形如______________的数叫做复数，a，b分别叫做它的_____________。
2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是_____________。
a1=a2，b1=b2
a+bi (a，b∈R)
实部和虚部
类比实数的有关知识,
试一试:复数还有什么结论？
问题情境
在几何上，我们用什么来表示实数
实数的几何意义
实数可以用数轴上的点来表示.
实数
数轴上的点
(形)
(数)
一一对应
类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)
x
y
0
Z(a,b)
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面
x轴——实轴
y轴——虚轴
a
b
（数）
（形）
一一对应
z=a+bi
一一对应
一一对应
建构数学
模与绝对值
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应
一一对应
一一对应
x
y
0
Z(a,b)
a
b
z=a+bi
一一对应
建构数学
实数绝对值的几何意义:
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
x
O
A
a
|a| = |OA|
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.
x
O
z=a+bi
y
|z|=|OZ|
复数的模
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
的几何意义:
Z(a,b)
练习1.在复平面内, 分别用点和向量表示下列复数:
4 , 2+i , －i , －1+3i , 3－2i .
思考2：在复平面内复数z与 所对应的点具有怎样的位置关系？
思考3：如果复平面内表示两个复数的点关于原点对称，那么他们的实部和虚部满足什么关系？
变.(08江西) 复数z=sin2+icos2 对应的点位于第__象限.
四
关于x轴对称
互为相反数
(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；
(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.
练习：
1.下列命题中的假命题是（ ）
D
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件
C
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件
A
例1 实数x分别取什么值时，
复数 对应的点Z在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线 上？
解：（1）当实数x满足
即 时，点Z在第三象限．
即 时，点Z在第四象限．
（2）当实数x满足
（3）当实数x 满足
即 时，点Z在直线 上 .
数学应用
解题思考：
表示复数的点所在象限的问题
复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题
转化
(几何问题)
(代数问题)
知识提炼
例2 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
(2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
x
y
O
设z=x+yi(x,y∈R)
满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？
5
5
–5
–5
例3.设z∈C , 满足下列条件的点z的集合
是什么图形
(1)|z|=2 (2)2<|z|<3
例4．在复平面上，设点A、B、C ，对应的复数分别为i,1,4+2i。过A、B、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD的长。
A
B
C
D
y
x
O
设 及 分别与复数 及复数 对应，则
∴向量 就是与复数
对应的向量.
复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
深入探究
y
x
O
复数减法的几何意义：
|z1-z2|表示什么
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
(1)|z－(1+2i)|
(2)|z+(1+2i)|
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(3)|z－1|
(4)|z+2i|
数学应用
设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下
求动点Z(x,y)的轨迹.
(1)|z-2|=1
(2)|z-i|+|z+i|=4
(3)|z-2|=|z+4|
例5.已知在复平面内，定点M与复数m=1+2i对应，动点Z与复数z=x+yi (x , y∈R) .对应，那么满足不等式|z-m|≤ 2的点Z的集合是什么图形？
变式2.如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2, 那么|z+i+1|的最小值是___________ .
变式1.如果复数z满足|z－1-2i|=2, 那么|z+i+1|的最小值是___________ .
1.满足|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是___________ .
2.求复数z1=3+4i及z2=
的模, 并且比较它们模的大小.
学生活动
3.(08广东) 若0则 ∣z∣的范围是_______
练习2:复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z2+z1|= |z2-z1|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,求|z1|2+|z2|2
课堂小结
1．复数的几何意义．
2．加法、减法的几何意义．
二. 数学思想：
3.类比思想
2.数形结合思想
1.转化思想
一. 数学知识：
数学应用
例1.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
变题1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数m的值.
变题2：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限.
知识回顾
1、复数的概念：形如______________的数叫做复数，a，b分别叫做它的_____________。
2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是_____________。
a1=a2，b1=b2
a+bi (a，b∈R)
实部和虚部
类比实数的有关知识,
试一试:复数还有什么结论？
问题情境
在几何上，我们用什么来表示实数
实数的几何意义
实数可以用数轴上的点来表示.
实数
数轴上的点
(形)
(数)
一一对应
类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)
x
y
0
Z(a,b)
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面
x轴——实轴
y轴——虚轴
a
b
（数）
（形）
一一对应
z=a+bi
一一对应
一一对应
建构数学
模与绝对值
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应
一一对应
一一对应
x
y
0
Z(a,b)
a
b
z=a+bi
一一对应
建构数学
实数绝对值的几何意义:
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
x
O
A
a
|a| = |OA|
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.
x
O
z=a+bi
y
|z|=|OZ|
复数的模
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
的几何意义:
Z(a,b)
练习1.在复平面内, 分别用点和向量表示下列复数:
4 , 2+i , －i , －1+3i , 3－2i .
思考2：在复平面内复数z与 所对应的点具有怎样的位置关系？
思考3：如果复平面内表示两个复数的点关于原点对称，那么他们的实部和虚部满足什么关系？
变.(08江西) 复数z=sin2+icos2 对应的点位于第__象限.
四
关于x轴对称
互为相反数
(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；
(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.
练习：
1.下列命题中的假命题是（ ）
D
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件
C
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件
A
例1 实数x分别取什么值时，
复数 对应的点Z在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线 上？
解：（1）当实数x满足
即 时，点Z在第三象限．
即 时，点Z在第四象限．
（2）当实数x满足
（3）当实数x 满足
即 时，点Z在直线 上 .
数学应用
解题思考：
表示复数的点所在象限的问题
复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题
转化
(几何问题)
(代数问题)
知识提炼
例2 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
(2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
x
y
O
设z=x+yi(x,y∈R)
满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？
5
5
–5
–5
例3.设z∈C , 满足下列条件的点z的集合
是什么图形
(1)|z|=2 (2)2<|z|<3
例4．在复平面上，设点A、B、C ，对应的复数分别为i,1,4+2i。过A、B、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD的长。
A
B
C
D
y
x
O
设 及 分别与复数 及复数 对应，则
∴向量 就是与复数
对应的向量.
复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
深入探究
y
x
O
复数减法的几何意义：
|z1-z2|表示什么
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
(1)|z－(1+2i)|
(2)|z+(1+2i)|
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(3)|z－1|
(4)|z+2i|
数学应用
设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下
求动点Z(x,y)的轨迹.
(1)|z-2|=1
(2)|z-i|+|z+i|=4
(3)|z-2|=|z+4|
例5.已知在复平面内，定点M与复数m=1+2i对应，动点Z与复数z=x+yi (x , y∈R) .对应，那么满足不等式|z-m|≤ 2的点Z的集合是什么图形？
变式2.如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2, 那么|z+i+1|的最小值是___________ .
变式1.如果复数z满足|z－1-2i|=2, 那么|z+i+1|的最小值是___________ .
1.满足|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是___________ .
2.求复数z1=3+4i及z2=
的模, 并且比较它们模的大小.
学生活动
3.(08广东) 若0
练习2:复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z2+z1|= |z2-z1|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,求|z1|2+|z2|2
课堂小结
1．复数的几何意义．
2．加法、减法的几何意义．
二. 数学思想：
3.类比思想
2.数形结合思想
1.转化思想
一. 数学知识：
数学应用
例1.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
变题1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数m的值.
变题2：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限.