3.1数系的扩充
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数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2－4ac<0时，没有实数根。如果要解决这一问题，其最根本的就是要解决 1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于－1。
数 集 的 扩 展 图
自然数集
整数集
有理数集
实数集
减法，负数
除法，分数（有限及无限循环小数）
无理数（无限不循环小数）
负数不能开方？
一.i的引入
我们把平方等于-1的数用符号 i 来表示 . 引入的新数 i 叫做虚数单位. 具有下面的性质：
（1） i2=-1
（2）实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时原有的加法、乘法运算律仍然成立.
i 与实数b 相乘得bi ,并规定0 i =0
bi 与实数a相加得a+bi
复数的代数形式：
二. 复数的概念
定义：把形如a+bi的数叫做复数（a,b是实数，i是虚数单位）
复数的全体组成的集合叫做复数集，记作C
实部
通常用字母 z 表示，即
虚部
其中 称为虚数单位。
复数集C和实数集R之间有什么关系？
复数a+bi
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
如图所示：
三. 复数的分类：
例1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部.
例题精析
注:复数a+bi的虚部是b,而不是bi
例2 实数m取什么值时，复数
是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数？
解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数．
（2）当 ，即 时，复数z 是虚数．
（3）当
即 时，复数z 是
纯虚数．
区别实数虚数的准则：判断实部或虚部是否为0
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
例3 已知
(其中 ), 求
解: 由复数相等的充要条件，得
得:
充要性
练习1. (m2-m)+(m3-2m2-m+2)i是纯虚数，求实数m的值.
Z=a+bi 是纯虚数的充要条件是：
解：
练习2.
m取什么实数值时，复数 z=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i 是
实数，是虚数，是纯虚数？
选做：
1.虚数单位i的引入；
2.复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部 、虚部
复数相等
虚数、纯虚数
复数的发展简史
在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.
后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.
几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.
数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2－4ac<0时，没有实数根。如果要解决这一问题，其最根本的就是要解决 1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于－1。
数 集 的 扩 展 图
自然数集
整数集
有理数集
实数集
减法，负数
除法，分数（有限及无限循环小数）
无理数（无限不循环小数）
负数不能开方？
一.i的引入
我们把平方等于-1的数用符号 i 来表示 . 引入的新数 i 叫做虚数单位. 具有下面的性质：
（1） i2=-1
（2）实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时原有的加法、乘法运算律仍然成立.
i 与实数b 相乘得bi ,并规定0 i =0
bi 与实数a相加得a+bi
复数的代数形式：
二. 复数的概念
定义：把形如a+bi的数叫做复数（a,b是实数，i是虚数单位）
复数的全体组成的集合叫做复数集，记作C
实部
通常用字母 z 表示，即
虚部
其中 称为虚数单位。
复数集C和实数集R之间有什么关系？
复数a+bi
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
如图所示：
三. 复数的分类：
例1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部.
例题精析
注:复数a+bi的虚部是b,而不是bi
例2 实数m取什么值时，复数
是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数？
解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数．
（2）当 ，即 时，复数z 是虚数．
（3）当
即 时，复数z 是
纯虚数．
区别实数虚数的准则：判断实部或虚部是否为0
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
例3 已知
(其中 ), 求
解: 由复数相等的充要条件，得
得:
充要性
练习1. (m2-m)+(m3-2m2-m+2)i是纯虚数，求实数m的值.
Z=a+bi 是纯虚数的充要条件是：
解：
练习2.
m取什么实数值时，复数 z=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i 是
实数，是虚数，是纯虚数？
选做：
1.虚数单位i的引入；
2.复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部 、虚部
复数相等
虚数、纯虚数
复数的发展简史
在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.
后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.
几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.