数学参考答案(理科)
1.D 因为A=(-∞,-1)∪(1,+∞),B={x|x<},所以A∩B=(-∞,-1)∪(1,).
2.A ?p:?t∈(0,1),tan
t≠1.
3.D 因为cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=-,cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β=,所以cos
αcos
β==-,
则cos(π-α)cos(π+β)=-cos
α(-cos
β)=cos
αcos
β=-.
4.B 因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C与D.因为f()=-<0,所以排除A,故选B.
5.C 因为a⊥b,所以2x+y-x2=0,则y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1.
6.A 因为a==x3=,b=log32>log3=,c=()1.2<()1=,所以b>a>c.
7.B 正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥,由勾股定理求得斜高,再由棱锥的体积公式即可求解.
由边长为2,可得正八面体上半部分的斜高为=,高为=,则其体积为×2=,其表面积为8××22=8,所以此正八面体的体积与表面积之比为.
8.A 因为0
x<0,所以lg
x4+logx10=4lg
x+=-(-4lg
x-)≤-2=-4,
当且仅当-4lg
x=-,即x=时,等号成立,故当x=时,lg
x4+logx10有最大值-4.
9.C 若f(x)<0对x∈[1,3]恒成立,则解得m>3,故选C.
10.B 设等比数列{an}的公比为q,因为S4=a1+a2+a3+a4=(1+q)(a1+a3),所以q=3,则====q2+1=10.
11.D 因为底面ABCD为平行四边形,且球O是直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球,所以底面ABCD必为矩形,从而四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体.设AD=a,AA1=h,则AB=2a,ah=6,
所以球O的表面积S=4π()2=π(5a2+h2)≥2π×ah=12π,
当且仅当5a2=h2,即a=时,等号成立,故球O表面积的最小值为12π.
12.C 设g(x)=,则g'(x)=>0,则g(x)在R上单调递增.因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,则g(0)=0.不等式组等价于
即g(x+1)>g(2x-3)>g(0),则解得13. 因为=3,所以=+=+,所以λ+μ=.
14.15 作出可行域(图略),由图可知,当直线z=2x+y经过点A(5,5)时,z取得最大值,且最大值为15.
15.9 因为S17=17a9<0,所以a9<0.因为S18=9(a9+a10)>0,所以a9+a10>0,所以a10>0,所以等差数列{an}从第10项开始为正,则当Sn取最小值时,n的值为9.
16.①②③④ 若x∈[,],则ωπx-∈[,],f(x)∈[-2,],所以①为真命题.因为f(0)≠0,所以f(x)的图象不可能经过坐标原点,所以②为真命题.
若f(x)的最小正周期为2,则=2?ω=1,则f(1)=2sin=,所以③是真命题.若f(1-x)=f(1+x),则f(x)的图象关于x=1对称,则ωπ-=+kπ(k∈Z),所以ω=+k(k∈Z),因为ω>0,所以ω的最小值为,所以④为真命题.
17.解:(1)因为m为正数,x>0,所以f(x)=x2+≥2,
1分
当且仅当x2=,即x=时,等号成立.
2分
若q为真命题,则2≥2,解得m≥1,即m的取值范围为[1,+∞).
4分
(2)若p为真命题,则
5分
解得06分
因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以p,q一真一假.
7分
若p真q假,则08分
若q真p假,则m≥3.
9分
综上,m的取值范围为(0,1)∪[3,+∞).
10分
18.解:(1)因为b2+c2-a2=bc,
所以cos
A==.
4分
(2)因为sin
C=2sin
B,所以c=2b.
5分
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A=b2,
7分
则a=b.
8分
因为△ABC的周长为6+,所以3b+b=6+,
解得b=2.
9分
所以△ABC的面积为×b×2b×=,
11分
因为=15.2,所以△ABC的面积为3.8.
12分
19.解:(1)当m≤0时,2x-m>0恒成立,则f(x)的定义域为R;
3分
当m>0时,由2x-m≥0,得x≥log2m,则f(x)的定义域为[log2m,+∞).
6分
(2)因为g(x)=(-2)2+2≥2,
7分
所以a=2.
8分
因为f(x)在[2,+∞)上单调递增,
9分
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(2)=.
10分
因为当x∈[2,+∞)时,f(x)11分
解得012分
20.解:(1)当λ=时,平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1分
证明如下:
如图,当λ=时,点E为棱BB1的中点,
记A1C与AC1相交于点D,记线段AC的中点为O,
2分
易证DO与EB平行且相等,
则四边形EDOB为平行四边形,则ED∥BO.
3分
因为△ABC为正三角形,则BO⊥AC,易知AA1⊥BO,AA1∩AC=A,
则BO⊥平面A1ACC1,
4分
则ED⊥平面A1ACC1,因为ED?平面AEC1,
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
5分
(2)以O为坐标原点,以的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,则A(0,-1,0),E(,0,2),C(0,1,0),A1(0,-1,4),
则=(0,2,0),=(,-1,2),=(0,2,-4).
6分
设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即
7分
令x1=2,得n1=(2,0,-).
8分
设平面A1EC的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则即
9分
令z2=1,得n2=(0,2,1).
10分
cos==-,
11分
由图可知二面角A-EC-A1为钝角,故二面角A-EC-A1的余弦值为-.
12分
21.(1)证明:因为2Sn=an+1+4n-3,所以2Sn-1=an+4(n-1)-3(n≥2),
1分
所以2an=an+1-an+4,所以an+1=3an-4,
2分
所以an+1-2=3(an-2),即=3(n≥2).
4分
当n=1时,2S1=a2+4-3=6,所以a2=5,所以=3满足上式,
5分
故数列{an-2}是以1为首项,3为公比的等比数列.
6分
(2)解:由(1)可得an-2=3n-1,则an=3n-1+2.
7分
所以=9n-1+4·3n-1+4,
8分
故Tn=(1+9+…+9n-1)+4(1+3+…+3n-1)+4n=+4×+4n
10分
=+2(3n-1)+4n
=.
12分
22.解:(1)函数f(x)=aln
x-x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-1=.
1分
若a>0,则当00,函数f(x)在(0,a)上单调递增;
当x>a时,f'(x)<0,函数f(x)在(a,+∞)上单调递减.
3分
若a≤0,f'(x)=<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
5分
(2)不等式f(x)≥(e-1)x-ex在[1,+∞)上恒成立,即aln
x+ex-ex≥0恒成立,设g(x)=aln
x+ex-ex,g'(x)=+ex-e,令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex-.
6分
①当a≥0时,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,
即a≥0符合题意;
8分
②当a<0
时,h'(x)>0恒成立,所以g'(x)单调递增,
又因为g'(1)=a<0,g'(ln(e-a))=-a=>0,
10分
所以存在x0∈(1,ln(e-a)),使得g'(x0)=0,且当x∈(1,x0)时,g'(x)<0,
即g(x)在(1,x0)上单调递减,所以g(x0)11分
综上,a的取值范围为[0,+∞).
12分安康市2020
年
年级第二次教学质量联考
多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本
它们的多种
体,一直是科
术、哲学灵感的
图,该几何体
棱长
为2的正八面体,则此
积之比为
考生
本试卷
题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时
钟
2.请将各题答案填写在答题卡
语、函数与导数、三角函数
知函数f
成
A.充分不必要条
充要条
第Ⅰ卷
要不充分条
既不充分也不必要条
选择
每
在每
公
等比数
和为Sn,若
设集
设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的每
都在球O的球面上,底面ABCD为平
AD,侧面ADD1A
O表面积的最小值为
知奇函数
的定义域为
对任意x∈R,f(
恒成
设命题
为
解集是
A.Ht∈
B.(
第Ⅱ卷
填空题:本大题共4小题,每小题5分
案填在答题
4.函数
内的图象大致为
在平行四边形ABCD中,CD=3CE,且AE
4.若x,y满足约束条
大值为
设等差数列{an})的前n项和为S,若
当Sn取最小值
为
关于函数
设向量
的最小值为
域
图象不可能经过坐标原
设
(x)的最小正周期为2,则f(
其中所有真命题的序号是
安康市
学年度高三年级第二次教学质量联考数学第1页《共4页)理科
安康市2020~2021学年度高三年级第二次教学质量联考数学第2页(共4页
解答题:共70分.解答应写出文字说
过程或演算步骤
分)
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1是底面边长为2,高为
棱柱,点E在棱
为正数,p:不等式x2>m-3对
成立,g:函数f(x)
的最
平面AEC1⊥平面A
明你的理
命题,求m
求二面角
C-A1的余弦值
(2)若p∧q为假命题,p∨q为真命
取值范
分
分)
ABC内角A,B,C的对边.已知b2+c
n项和为
(1)证明:数
(2)若△ABC的周长为
积(结果用小数表示,取√2
求数列{a2}的
数f(
知函数f(
(1)讨论函数f(x)的单
若函数g(x)=x
最小值为a,且当x∈
解,求m
若不等式f(x)≥(
)恒成立,求
康市2020
级第二次教学质量联考数学
安康市2020~2021学年度高三年级第二次教学质量联考数学第4页(共4页)理科】