华东师大版数学八年级上册第11章数的开方单元测试1（Word版 含解析）

数的开方单元测试
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
　
评卷人
得
分
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中的无理数为（　　）
A．0.533333
B．
C．（）2
D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．
=±3
B．
=﹣2
C．
=﹣3
D．
+=
3．估计2+的值（　　）
A．在2和3之间
B．在3和4之间
C．在4和5之间
D．在5和6之间
4．关于的叙述不正确的是（　　）
A．
=2
B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数
D．在数轴上可以找到表示的点
5．9的算术平方根为（　　）
A．3
B．±3
C．﹣3
D．81
6．如果=2.872，
=28.72，则=（　　）
A．0.2872
B．28.72
C．2.872
D．0.02872
7．若一个数的平方根与它的立方根完全相同．则这个数是（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．±1，0
8．关于的叙述正确的是（　　）
A．在数轴上不存在表示的点
B．
=+
C．
=±2
D．与最接近的整数是3
9．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：
82
[]=9
[]=3
[]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．已知mn＜0且1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
　
评卷人
得
分
二．填空题（共4小题）
11．在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是　
　．
12．写出一个比3大且比4小的无理数：　
　．
13．在实数范围内定义一种新运算“?”，其运算规则为：a?b=﹣2ab，如：1?5=﹣2×1×5=﹣10，则式子?=　
　．
14．有一个数值转换器，原理如下：
当输入的数是16时，则输出的数是　
　．
　
评卷人
得
分
三．解答题（共6小题）
15．计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017．
16．（1）计算：﹣；
（2）解方程组：．
17．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3=　
　，i4=　
　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
18．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a，b都有a☆b=b2+a．例如7☆4=42+7=23．
（1）已知m☆2的结果是6，则m的值是多少？
（2）将两个实数n和n+2用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n的值是多少？
19．在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．
（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；
（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．
20．先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中的无理数为（　　）
A．0.533333
B．
C．（）2
D．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：0.53333，，（）2是有理数，
是无理数，
故选：D．
　
2．下列计算正确的是（　　）
A．
=±3
B．
=﹣2
C．
=﹣3
D．
+=
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=3，故A错误；
（B）原式=﹣2，故B正确；
（C）原式==﹣3，故C错误；
（D）与不是同类二次根式，故D错误；
故选（B）
　
3．估计2+的值（　　）
A．在2和3之间
B．在3和4之间
C．在4和5之间
D．在5和6之间
【分析】直接得出2＜＜3，进而得出2+的取值范围．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴4＜2+＜5，
∴2+的值在4和5之间，
故选：C．
　
4．关于的叙述不正确的是（　　）
A．
=2
B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数
D．在数轴上可以找到表示的点
【分析】=2，是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．
【解答】解：A、=2，所以此选项叙述正确；
B、面积是8的正方形的边长是，所以此选项叙述正确；
C、=2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；
D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点；所以此选项叙述正确；
本题选择叙述不正确的，
故选C．
　
5．9的算术平方根为（　　）
A．3
B．±3
C．﹣3
D．81
【分析】首先根据算术平方根的定义求出，然后再求出它的算术平方根即可解决问题．
【解答】解：∵=3，
而9的算术平方根即3，
∴9的算术平方根是3．
故选A．
　
6．如果=2.872，
=28.72，则=（　　）
A．0.2872
B．28.72
C．2.872
D．0.02872
【分析】根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【解答】解：∵=2.872，
∴=0.2872；
故选A．
　
7．若一个数的平方根与它的立方根完全相同．则这个数是（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．±1，0
【分析】根据任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，进行进行解答．
【解答】解：根据平方根与立方根的性质，
一个数的平方根与它的立方根完全相同，
则这个数是0．
故选C．
　
8．关于的叙述正确的是（　　）
A．在数轴上不存在表示的点
B．
=+
C．
=±2
D．与最接近的整数是3
【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，算术平方根的计算法则计算即可求解．
【解答】解：A、在数轴上存在表示的点，故选项错误；
B、≠+，故选项错误；
C、=2，故选项错误；
D、与最接近的整数是3，故选项正确．
故选：D．
　
9．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：
82
[]=9
[]=3
[]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
【解答】解：121
[]=11
[]=3
[]=1，
∴对121只需进行3次操作后变为1，
故选：C．
　
10．已知mn＜0且1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答．
【解答】解：∵mn＜0，
∴m，n异号，
由1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，可知m＜0，0＜n＜1，|m|＞|n|．
假设符合条件的m=﹣4，n=0.2
则=5，n+=0.2﹣=﹣
则﹣4＜﹣＜0.2＜5
故m＜n+＜n＜．
故选D．
　
二．填空题（共4小题）
11．在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是　π　．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
π＞＞0＞＞﹣5，
故实数﹣5，，0，π，其中最大的数是π．
故答案为：π．
　
12．写出一个比3大且比4小的无理数：　π　．
【分析】根据无理数的定义即可．
【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π，
故答案为：π．
　
13．在实数范围内定义一种新运算“?”，其运算规则为：a?b=﹣2ab，如：1?5=﹣2×1×5=﹣10，则式子?=　﹣2　．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式=﹣2××=﹣2，
故答案为：﹣2
　
14．有一个数值转换器，原理如下：
当输入的数是16时，则输出的数是　　．
【分析】把16代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．
【解答】解：
∵=4，4是有理数，
∴继续转换，
∵=2，2是有理数，
∴继续转换，
∵2的算术平方根是，是无理数，
∴符合题意，
故答案为：．
　
三．解答题（共6小题）
15．计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，立方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣2+1=1．
　
16．（1）计算：﹣；
（2）解方程组：．
【分析】（1）原式利用立方根及算术平方根定义计算即可得到结果；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）原式=2﹣=；
（2），
①﹣②×2得：x=﹣2，
把x=﹣2代入②得：y=﹣3，
则方程组的解为．
　
17．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3=　﹣i　，i4=　1　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
【分析】（1）把i2=﹣1代入求出即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=﹣1代入求出即可；
（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．
【解答】解：（1）i3=i2?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．
故答案为：﹣i，1；
（2）（1+i）×（3﹣4i）
=3﹣4i+3i﹣4i2
=3﹣i+4
=7﹣i；
（3）i+i2+i3+…+i2017
=i﹣1﹣i+1+…+i
=i．
　
18．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a，b都有a☆b=b2+a．例如7☆4=42+7=23．
（1）已知m☆2的结果是6，则m的值是多少？
（2）将两个实数n和n+2用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n的值是多少？
【分析】（1）已知代数式利用题中新定义化简列出方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）利用新定义列出方程，求出方程的解即可得到n的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m☆2=4+m=6，
解得：m=2；
（2）根据题意得：n☆（n+2）=4，即（n+2）2+n=4，
解得：n=0或n=﹣5；
（n+2）☆n=n2+n+2=4，
解得：n=﹣2或n=1，
则n=0或﹣5或﹣2或1．
　
19．在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．
（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；
（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．
【分析】（1）根据四位“对称等和数”中k=4得：s≤4，t≤4，分别令s=1，2，3，4进行讨论，由是整数，可得对应t的值，分别写出可能的四位数，根据能被11整除的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除；可知，只有2222和4400能被11整除；
（2）下面介绍两种证法：
证法一：先根据对称等和数的定义，得2a=1+5，a=3，则A=135，设：B=，C=，则b+c=2x，d+e=2y，根据已知得：
=1665，即百位上的数字和为15或16，分情况进行讨论即可．
证法二：设：B=，C=，可得+=1665，化简得：x+y==139﹣8（m+n）+，根据题意可知：是整数，即1+m+n能被4整除，由3≤1+m+n≤19，则1+（m+n）=4，8，12，16，可得结论．
【解答】（1）解：当s=1时，
∵是整数，
∴t为偶数，
∵k=4，
∴t≤4，
∴t=2或4，
则这个四位“对称等和数”可以是：
①1223，不能被11整除，不符合条件；
②1403，不能被11整除，不符合条件；
当s=2时，
∵是整数，
∴t=1，2，3，4，
则这个四位“对称等和数”可以是：
③2132，不能被11整除，不符合条件；
④2222，2222÷11=202，符合条件；
⑤2312，不能被11整除，不符合条件；
⑥2402，不能被11整除，不符合条件；
当s=3时，
∵是整数，t≤4，
∴t=2或4，
则这个四位“对称等和数”可以是：
⑦3221，不能被11整除，不符合条件；
⑧3401，不能被11整除，不符合条件；
当s=4时，
同理得t=1，2，3，4，
分别为4130，4220，4310，4400，只有4400能被11整除；
综上所述，这个四位“对称等和数”有2个，分别是：2222，4400；
（2）证法一：
证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A=（1≤a≤9，a为整数），
∴2a=1+5，a=3，
∴A=135，
由题意设：B=，C=，则b+c=2x，d+e=2y，
∵A+B+C=1800，
∴B+C=1800﹣135=1665，
∴=1665，
∴15≤b+d≤16，
①当b+d=15时，x+y=16，c+e=5，
∴b+d+c+e=15+5=20，
即2x+2y=20，
x+y=10≠16，不符合题意；
②当b+d=15时，x+y=15，c+e=15，
∴b+d+c+e=15+15=30，
即2x+2y=30，
x+y=15，符合题意；
∴y=﹣x+15，
③当b+d=16时，x+y=6，c+e=5，
∴b+d+c+e=16+5=21，
即2x+2y=21，
x+y=10.5≠6，不符合题意；
④当b+d=16时，x+y=5，c+e=15，
∴b+d+c+e=16+15=31，
即2x+2y=31，
x+y=15.5≠5，不符合题意；
综上所述，则y=﹣x+15．
证法二：
证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A=（1≤a≤9，a为整数），
∴2a=1+5，a=3，
∴A=135，
由题意设：B=，C=，
∵A+B+C=1800，
即135++=1800，
+=1665，
100m+10x+2x﹣m+100n+10y+2y﹣n=1665，
99（m+n）+12（x+y）=1665，
33（m+n）+4（x+y）=555，
x+y==139﹣8（m+n）+，
∵0≤x≤9，0≤y≤9，且x、y是整数，
∴是整数，
∵1≤m≤9，1≤n≤9，
∴2≤m+n≤18，
∴3≤!+m+n≤19，
则1+（m+n）=4，8，12，16，
∴m+n=3，7，11，15，
当m+n=3时，x+y=139﹣8×3+=114（舍），
当m+n=7时，x+y=139﹣8×7+=81（舍），
当m+n=11时，x+y=139﹣8×11+=48（舍），
当m+n=15时，x+y=139﹣8×15+=15，
∴y=﹣x+15．
　
20．先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
【分析】（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；
（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
【解答】解：
（1），
验证：
=；
（2）（n为正整数）．