人教版 九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习卷（Word版 含解析）

22.2
二次函数与一元二次方程
一．选择题
1．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（　　）
A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2
D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
2．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．已知不等式ax+b＞0的解集为x＜2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b＜3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣＜m＜0．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴是直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣m＝0（m为实数）在﹣1＜x＜2的范围内有实数根，则m的取值范围为（　　）
A．2≤m＜6
B．m≥2
C．6＜m＜11
D．2≤m＜11
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
7．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．
其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．x1+x2＜0
B．4＜x2＜5
C．b2﹣4ac＜0
D．ab＞0
9．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b
B．a＜m＜b＜n
C．m＜a＜b＜n
D．a＜m＜n＜b
10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（　　）
A．y＝x
B．y＝x+1
C．y＝x+
D．y＝x+2
11．如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．﹣12＜t＜3
B．﹣12＜t≤4
C．3＜t≤4
D．t＞﹣12
12．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2020的值为（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
二．填空题
13．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是　
　．
14．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　
　．
15．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为　
　．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　
　．
17．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是　
　．
18．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过　
　象限．
三．解答题
19．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．
（1）求AB的长度和点D的坐标；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）点P是第四象限抛物线上一点，当2S△PAC＝S△PAB时，求点P的坐标．
20．如图，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴的正半轴交于点A，其顶点为M，点P在该抛物线上且位于A、M两点之间，过点P作PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，PC与抛物线的另一交点为D，连接BD．
（1）求该抛物线的对称轴及点A的坐标．
（2）当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，求点P的坐标．
21．如图，二次函数y＝ax2+bx+4与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接CM、BM，求四边形COBM的面积．
22．如图，二次函数y＝﹣x2+（n﹣1）x+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C，求线段PC长度的最大值．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．
24．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当
y＜0时，求x的取值范围．
25．已知二次函数y＝x2+mx+m﹣5（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点；
（2）若该二次函数的图象过点（0，﹣3），则将函数图象沿x轴怎样平移能使抛物线过原点？
参考答案
一．选择题
1．解：A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，故该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故A正确，符合题意；
B．函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，故当x＞1时，y随x的增大而增大，故B错误，不符合题意；
C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝﹣2x2+4x+m2+2m＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，故C错误，不符合题意；
D．函数的对称轴为x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，故顶点的纵坐标最小值为1，故D错误，不符合题意．
故选：A．
2．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，
则二次函数
y＝ax2+bx﹣1
的大致图象如图1所示，
函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，
位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，
由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2
的不相同实数根的个数是3个，
故选：B．
3．解：（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣＝2，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故结论正确；
（2）函数y＝ax2+bx+c中，令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∵即b＝﹣2a，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4ac＝4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，
∴△＝4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b＝﹣2a，
∴﹣＝1，＝＝c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x＝1时，直线y＝ax+b＝a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b＝﹣2a，
∴由2a﹣mb﹣m＝0，得到﹣b﹣mb﹣m＝0，
∴b＝﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，y最小值＝2，当x＝﹣1时，y最大值＝6．
∴当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是2≤y＜6，
当y＝m时，m＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣m＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣m＝0（m为实数）在﹣1＜x＜2的范围内有实数根，
∴m的取值范围是2≤m＜6，
故选：A．
5．解：根据题意：将点（﹣1，﹣3）、（0，1）、（1，3）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
所以二次函数y＝﹣x2+3x+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
所以①正确；
∵y＝﹣x2+3x+1＝﹣（x﹣）2+，
则图象的对称轴为直线x＝，
所以②错误；
∵图象的对称轴为直线x＝，
∴当x＜时，函数值y随x的增大而增大，
所以③错误；
当y＝0时，﹣（x﹣）2+＝0，
解得x1＝，x2＝，
∵3＜＜4，
∴3＜＜，
所以方程ax2+bx+c＝0有一个根小于4，
所以④错误．
综上所述：其中正确的结论有①．
故选：A．
6．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．
故选：D．
7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，
当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②错误；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4＝，
∴a＝﹣，
当AC＝BA时，4＝，
∴a＝﹣，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点D（1，4a），
∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，
若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，
∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，
∴a＝﹣，
若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，
∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，
∴a＝﹣1，
∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或﹣，故④错误．
故选：B．
8．解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴＝2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；
∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，
∴﹣1＜4﹣x2＜0，
解得：4＜x2＜5，故选项B正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴ab＜0，故选项D错误；
故选：B．
9．解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
10．解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0，求得y＝﹣3，
∴B（3，0），A（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴A′的横坐标为1，
设A′（1，n），则B′（4，n+3），
∵点B'落在抛物线上，
∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，
∴A′（1，2），B′（4，5），
设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，
故选：B．
11．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝6时，y＝﹣x2+4x＝﹣36+24＝﹣12，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜6时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，﹣12＜t≤4，
故选：B．
12．解：将（m，0）代入抛物线表达式得：m2﹣m﹣1＝0，
则﹣2m2+2m+2020＝﹣2（m2﹣m）+2020＝﹣2+2020＝2018，
故选：A．
二．填空题
13．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
14．解：由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
15．解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
∴n的最小值是4，
故答案为：4．
16．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
17．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是2≤y＜11，
当y＝t时，t＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣t＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
∴t的取值范围是2≤t＜11，
故答案为：2≤t＜11．
18．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，
∴△＝b2+4c＜0，
∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c中，二次项系数﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵判别式＝（﹣b）2﹣4×（﹣1）×c＝b2+4c＜0，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线在x轴的下方，
∴抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过第三、四象限；
故答案为：三、四．
三．解答题
19．解：（1）令y＝0，得y＝x2+2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，﹣4）；
（2）令x＝0，得y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3；
（3）设P（m，m2+2m﹣3）（0＜m＜1），过P作PQ⊥x轴于点Q，如下图，
则PQ＝﹣m2﹣2m+3，OQ＝m，AQ＝m+3
∵2S△PAC＝S△PAB，
∴2（S△AOC+S梯形OQPC﹣S△APQ）＝S△PAB，
即＝，
解得，m＝﹣3（舍），m＝，
∴．
20．解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝2，
令y＝﹣x2+4x＝0，解得：x＝0或4，
故点A（4，0）；
（2）当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，作点P关于BD的对称点H，
则BH＝BP，
∴∠HBD＝∠DBP＝45°，
∵PD∥OA，
∴∠HBD＝∠PDB＝45°，
∴PD＝PB，
设点P（m，﹣m2+4m），则点D（4﹣m，﹣m2+4m），
则4﹣m﹣m＝﹣m2+4m，解得：m＝1±（舍去负值），
故m＝1，
故点P（1+，2﹣2）．
21．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0），
∴，得，
即经过A，B，C三点的抛物线的解析式是y＝﹣x2+x+4；
（2）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+，
∴点C的坐标为（0，4），点M的坐标为（3，），
∴四边形COBM的面积是：（4+）×3÷2+＝31，
即四边形COBM的面积是31．
22．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+（n﹣1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点B（﹣2，0），
∴0＝﹣（﹣2）2+（n﹣1）×（﹣2）+3，
解得，n＝，
∴y＝﹣x2﹣x+3，
即二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴点A的坐标为（0，3），
设过点A（0，3），B（﹣2，0）的直线解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线AB的解析式为y＝x+3，
设点P的坐标为（a，﹣a2﹣a+3），则点C的坐标为（a2﹣a，﹣a2﹣a+3），
则PC＝a2﹣a﹣a＝﹣（a+1）2+，
∵点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点，
∴﹣2＜a＜0，
∴当a＝﹣1时，线段PC取得最大值，此时PC＝，
即线段PC长度的最大值是．
23．解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入y＝ax2+bx得，解得，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；
（2）当y＝3时，﹣x2+4x＝3，解得x1＝1，x2＝3，则C点坐标为（3，3），
所以△ABC的面积＝×2×3＝3；
（3）作PQ⊥BH，如图，设P（m，﹣m2+4m）
∵S△ABH+S梯形APQH＝S△PBQ+S△ABP，
∴×3×3+（3+m﹣1）×（m2﹣4m）＝×（m﹣1）×（3+m2﹣4m）+6，
整理得m2﹣5m＝0，解得m1＝0（舍去），m2＝5，
∴P点坐标为（5，﹣5）．
24．解：（1）∵把C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C＝﹣6，把A（﹣2，0）代入y＝x2+bx﹣6得：b＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6．
∴y＝（x﹣）2﹣．
∴抛物线的顶点坐标D（，﹣）．
（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y＝（x+2）2﹣．
令y＝0得：（x+2）2﹣＝0，解得：x1＝，x2＝﹣．
∵a＞0，
∴当y＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜．
25．解：（1）令y＝0得关于x的一元二次方程：x2+mx+m﹣5＝0，则△＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣5）＝m2﹣4m+20＝（m﹣2）2+16．
∵不论m为何值，（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+16＞0．
∴不论m为何值，一元二次方程x2+mx+m﹣5＝0一定有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点．
（2）∵函数图象过点（0，﹣3），
∴m﹣5＝﹣3，m＝2，
∴二次函数表达式为y＝x2+2x﹣3，
∵令y＝0得：x2+2x﹣3＝0解得：x1＝1，x2＝﹣3．
∴函数的图象与x轴的两个交点为：（1，0）和（﹣3，0）．
∴将函数图象沿x
轴向右平移3个单位或向左平移1个单位就能使抛物线过原点．