2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级上学期期末数学试卷（五四学制） （Word版 含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题）.
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣4x＝3 B．xy﹣3＝5 C．3x﹣1＝ D．x+2y＝1
2．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3．在平面直角坐标系中，点P（3，4）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列四个实数中，无理数的是（　　）
A． B．3.14 C． D．﹣π
6．在平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点A的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
7．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（　　）倍．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知等式ac＝bc，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．ac+1＝bc+1 B．ac﹣2＝bc﹣2 C．3ac＝3bc D．a＝b
9．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．若设这个班有x名学生，则依题意所列方程正确的是（　　）
A．3x﹣20＝4x﹣25 B．3x+20＝4x+25
C．3x﹣20＝4x+25 D．3x+20＝4x﹣25
10．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共10小题）.
11．﹣的相反数是　 　．
12．列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为　 　．
13．的立方根是　 　．
14．若关于x的方程2x+a﹣4＝0的解是x＝﹣2，则a＝　 　．
15．在平面直角坐标系中，点P（5，y）在第四象限，则y的取值范围是　 　．
16．在梯形面积公式s＝（a+b）h中，已知s＝60，b＝4，h＝12，则a＝　 　．
17．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝　 　°．
18．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为　 　．
19．如图，在一块长为a米，宽为10米的长方形草地上，修建两条宽为2米的长方形小路，若这块草地的绿地面积（图中空白部分）为144平方米，则a＝　 　．
20．A、B两地之间的公路长108千米，小光骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都沿这条公路匀速前进，其中两人的速度都小于27千米/时．若同时出发3小时相遇，则经过　 　小时两人相距36千米．
三、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分）
21．（8分）计算：
（1）；
（2）．
22．（8分）解方程：
（1）2x+3x+4x＝18；
（2）﹣2＝．
23．（8分）如图，AB，CD相交于点E，∠ACE＝∠AEC，∠BDE＝∠BED，过A作AF⊥BD，垂足为F．求证：AC⊥AF．
证明：∵∠ACE＝∠AEC，∠BDE＝∠BED．
又∠AEC＝∠BED，（　 　）
∴∠ACE＝∠BDE．
∴AC∥DB．（　 　）
∴∠CAF＝∠AFD．（　 　）
∵AF⊥DB，
∴∠AFD＝90°．（　 　）
∴∠CAF＝90°．
∴AC⊥AF．
24．（8分）已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
25．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．将三角形ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1．
（1）画出平移后的三角形；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标：A1（　 　，　 　），B1（　 　，　 　），C1（　 　，　 　）；
（3）请直接写出三角形的面积为　 　．
26．（10分）某公园门票价格规定如下表：
购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上
单张票价 13元 11元 9元
某校七年级两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？
27．（10分）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣4x＝3 B．xy﹣3＝5 C．3x﹣1＝ D．x+2y＝1
解：A、是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是二元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故本选项符合题意；
D、是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线m的垂线，可作无数条．
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，点P（3，4）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵3＞0，4＞0，
∴点P（3，4）位于第一象限．
故选：A．
4．在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2不是对顶角；
故选：B．
5．下列四个实数中，无理数的是（　　）
A． B．3.14 C． D．﹣π
【解答】解；A、＝4，不是无理数，错误；
B、3.14不是无理数，错误；
C、不是无理数，错误；
D、﹣π是无理数，正确；
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点A的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
解：∵在平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，
∴A点的坐标是（0，2），
故选：C．
7．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（　　）倍．
A．2 B．3 C．4 D．5
解：一个正方体的体积扩大为原来的27倍，它的棱长变为原来的倍，即3倍．
故选：B．
8．已知等式ac＝bc，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．ac+1＝bc+1 B．ac﹣2＝bc﹣2 C．3ac＝3bc D．a＝b
解：A、ac＝bc两边都加1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、ac＝bc两边都减去2，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、ac＝bc两边都乘以3，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、ac＝bc两边都除以c，条件是c≠0，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
故选：D．
9．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．若设这个班有x名学生，则依题意所列方程正确的是（　　）
A．3x﹣20＝4x﹣25 B．3x+20＝4x+25
C．3x﹣20＝4x+25 D．3x+20＝4x﹣25
解：设这个班有学生x人，
由题意得，3x+20＝4x﹣25．
故选：D．
10．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；
②∵（﹣4）2的平方根是±4，
∴本小题说法是假命题；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；
④∵两直线平行，同旁内角互补，
∴本小题说法是假命题；
故选：C．
二、填空题（共10小题）.
11．﹣的相反数是　　．
解：﹣的相反数是：．
故答案为：．
12．列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为　3a+5＝4a　．
解：由题意，得
3a+5＝4a，
故答案为：3a+5＝4a．
13．的立方根是　　．
解：∵＝，
∴的立方根是，
故答案为：．
14．若关于x的方程2x+a﹣4＝0的解是x＝﹣2，则a＝　8　．
解：把x＝﹣2代入方程2x+a﹣4＝0，得2×（﹣2）+a﹣4＝0，解得a＝8，
故答案为：8．
15．在平面直角坐标系中，点P（5，y）在第四象限，则y的取值范围是　y＜0　．
解：∵点P（5，y）在第四象限，
∴y＜0．
故答案为y＜0．
16．在梯形面积公式s＝（a+b）h中，已知s＝60，b＝4，h＝12，则a＝　6　．
解：把s＝60，b＝4，h＝12代入公式s＝h（a+b）得：60＝×12×（a+4），
解得：a＝6，
故答案为：6
17．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝　42　°．
解：∵∠AOD＝132°，
∴∠COB＝132°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠COE＝132°﹣90°＝42°，
故答案为：42．
18．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为　（3，2）　．
解：过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，
交点为（3，2），即为第四个顶点坐标．故答案为（3，2）．
19．如图，在一块长为a米，宽为10米的长方形草地上，修建两条宽为2米的长方形小路，若这块草地的绿地面积（图中空白部分）为144平方米，则a＝　20　．
解：除小路外的部分可合成长（a﹣2）米，宽（10﹣2）米的长方形，
依题意得：（a﹣2）（10﹣2）＝144，
解得：a＝20．
故答案为：20．
20．A、B两地之间的公路长108千米，小光骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都沿这条公路匀速前进，其中两人的速度都小于27千米/时．若同时出发3小时相遇，则经过　2或4　小时两人相距36千米．
解：设经过x小时两人相距36千米，
当两人没有相遇前，，
解得：x＝2，
当两人相遇后，，
解得x＝4，
综上所述：经过2或4小时两人相距36千米，
故答案为：2或4．
三、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分）
21．（8分）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝
＝．
（2）
＝0.2﹣2﹣0.25
＝﹣2.05．
22．（8分）解方程：
（1）2x+3x+4x＝18；
（2）﹣2＝．
解：（1）合并得：9x＝18，
解得：x＝2；
（2）去分母得：2（x+1）﹣8＝x，
去括号得：2x+2﹣8＝x，
移项得：2x﹣x＝﹣2+8，
解得：x＝6．
23．（8分）如图，AB，CD相交于点E，∠ACE＝∠AEC，∠BDE＝∠BED，过A作AF⊥BD，垂足为F．求证：AC⊥AF．
证明：∵∠ACE＝∠AEC，∠BDE＝∠BED．
又∠AEC＝∠BED，（　对顶角相等　）
∴∠ACE＝∠BDE．
∴AC∥DB．（　内错角相等，两直线平行　）
∴∠CAF＝∠AFD．（　两直线平行，内错角相等　）
∵AF⊥DB，
∴∠AFD＝90°．（　垂直定义　）
∴∠CAF＝90°．
∴AC⊥AF．
【解答】证明：∵∠ACE＝∠AEC，∠BDE＝∠BED．
又∠AEC＝∠BED，（对顶角相等）
∴∠ACE＝∠BDE．
∴AC∥DB．（内错角相等，两直线平行）
∴∠CAF＝∠AFD．（两直线平行，内错角相等）
∵AF⊥DB，
∴∠AFD＝90°．（垂直定义）
∴∠CAF＝90°．
∴AC⊥AF．
故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义．
24．（8分）已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
【解答】（1）证明：∵EM∥FN，
∴∠EFN＝∠FEM．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．
∴∠CFE＝∠BEF．
∴AB∥CD．
（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠CFN，
∵∠AEF＝2∠CFN，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴∠CFN＝∠EFN＝45°，
∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，
同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．
∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．
25．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．将三角形ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1．
（1）画出平移后的三角形；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标：A1（　2　，　2　），B1（　﹣1　，　﹣3　），C1（　4　，　﹣1　）；
（3）请直接写出三角形的面积为　　．
解：（1）如图所示，
△A1B1C1即为所求．
（2）A1（2，2），B1（﹣1，﹣3），C1（4，﹣1），
（3）△ABC的面积＝＝，
故答案为：（2）2；2；﹣1；﹣3；4；﹣1；（3）．
26．（10分）某公园门票价格规定如下表：
购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上
单张票价 13元 11元 9元
某校七年级两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？
解：（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有（104﹣x）个学生，
根据题意得：13x+11（104﹣x）＝1240，
解得：x＝48，
∴104﹣x＝56．
答：七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生．
（2）1240﹣9×104＝304（元）．
答：如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱．
（3）51×11＝561（元），48×13＝624（元），
∴561＜624，
∴如果七年级（1）班单独组织去游园，购买51张门票最省钱．
27．（10分）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠EGF＝∠AEG+∠GFC；
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点N作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CGH＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CGH＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．