北师大版数学八年级下册　1.1.3等腰三角形（共15张）

1.1.3等腰三角形
想一想
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题
的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等？
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
议一议
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D．则
∠ADB=∠ADC．
∵在△ABD与△ACD中，
∠B＝∠C ，∠ADB＝∠ADC， AD＝AD ，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC．
C
B
A
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
几何的三种语言
A
C
B
练习1　如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
A
B
C
D
随堂练习
证明：答案不唯一，可找一个等腰△ABC．
在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
练习2：已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．
随堂练习
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠C，（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．（等角对等边）
想一想
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
C
B
A
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.
假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，
可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°
“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，
因此△ABC中不可能有两个直角．
上面的证法有什么共同的特点呢?
在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
合作探究 体验发现
反证法的步骤：
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结
论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，
得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定
命题的结论正确。
练习：写出下列各结论的反面：
（1）a//b
（2）a≥0
（3）b是正数
( 4 )至多有一个
（5）至少有一个
a<0
b是0或负数
a∥b
一个也没有
至少有两个
反思提炼 加深认识
适用反证法的题型：
1、直接证明困难
2、需分成很多类进行讨论类命题
3、结论为“至少”、“至多”、“无穷多个”类命题
4、唯一性、存在性命题
5、否定性命题
反思提炼 加深认识
常用互为否定的表述形式：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}正
面
词
＝
＞
＜
是
都是
至少
一个
至多
n个
反
面
词
≠
≤
≥
不是
不都是
一个也没有
至少(n+1)个
隋堂练习
1
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
活动与探究
1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
分析：要求△AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到△AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口．
N
M
C
B
A
D
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.