京改版八年级上册数学12.12勾股定理的逆定理课件（53张）

勾股定理的逆定理
初二年级 数学
复习回顾
1.直角三角形的定义.
2.性质
3.判定
角
直角三角形的两个锐角互余；
边
勾股定理.
有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
角
角
边
有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
角
复习回顾
1.直角三角形的定义
2.性质
3.判定
互逆定理
？
直角三角形的两个锐角互余；
勾股定理.

原定理
写出逆命题
真
逆定理
假
无逆定理
判断真假
新知探索
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

如果一个三角形是直角三角形，


如果一个三角形是直角三角形，那么它的两直角边
的平方和等于斜边的平方.

？




如果三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，
那么这个三角形是直角三角形.


？

如果三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，
那么这个三角形是直角三角形.



如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形.

？
动手操作
尺规作图
已知：三条线段的长分别为3 cm，4 cm和5 cm.
求作：△ABC，使BC = 3 cm，AC = 4 cm，AB = 5 cm.

尺规作图
已知：三条线段的长分别为3 cm，4 cm和5 cm.
求作：△ABC，使BC = 3 cm，AC = 4 cm，AB = 5 cm.
作法：（1）作线段BC = 3 cm；

尺规作图
已知：三条线段的长分别为3 cm，4 cm和5 cm.
求作：△ABC，使BC = 3 cm，AC = 4 cm，AB = 5 cm.
作法：（1）作线段BC = 3 cm；
（2）分别以点B，C为圆心，以5cm，4cm为
半径作弧，两弧交于点A；

尺规作图
已知：三条线段的长分别为3 cm，4 cm和5 cm.
求作：△ABC，使BC = 3 cm，AC = 4 cm，AB = 5 cm.
作法：（1）作线段BC = 3 cm；
（2）分别以点B，C为圆心，以5cm，4cm为
半径作弧，两弧交于点A；
（3）分别连接AB，AC.
所以△ABC就是所求作的三角形.

尺规作图
已知：三条线段的长分别为3 cm，4 cm和5 cm.
求作：△ABC，使BC = 3 cm，AC = 4 cm，AB = 5 cm.
用量角器测量
∠C=90°
尺规作图
已知：三条线段的长分别为3 cm，4 cm和5 cm.
求作：△ABC，使BC = 3 cm，AC = 4 cm，AB = 5 cm.
思考 这三边长满足了怎样的数量关系呢？
3?+4?=5?
画一画 分别以下列各组数为边长画三角形（单位：cm).
(1)8，15，17； ?? ???? ?(2)5，12，13.



量一量 三角形的形状
(1)8，15，17； ?? ???? ?(2)5，12，13.


思考
三边长分别为8，15，17和5，12，13的两个三角形都
满足两边的平方和等于第三边的平方吗？
8?+15?=17?；5?+12?=13?．
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边a，b，c，满足 a2+b2=c2?，那么
这个三角形是直角三角形.

你能写出已知
和求证吗？
已知：如图，△ABC 中，AB =c，BC =a，AC =b，且a2+b2 =c2．
求证：∠C =90°．

已知：如图，△ABC 中，AB =c，BC =a，AC =b，且a2+b2 =c2．
求证：∠C =90°．
证明:?作△A'B'C'，使∠C' =90°，B'C' =BC =a， A'C' =AC =b．


已知：如图，△ABC 中，AB =c，BC =a，AC =b，且a2+b2 =c2．
求证：∠C =90°．
证明:?作△A'B'C'，使∠C' =90°，B'C' =BC =a， A'C' =AC =b．
∴A'B' 2 =a2+b2．


已知：如图，△ABC 中，AB =c，BC =a，AC =b，且a2+b2 =c2．
求证：∠C =90°．
证明:?作△A'B'C'，使∠C' =90°，B'C' =BC =a， A'C' =AC =b．
∴A'B' 2 =a2+b2．
∵c2 =a2+b2，
∴A'B' 2 =c2 =AB2．
∴A'B' =AB．



已知：如图，△ABC 中，AB =c，BC =a，AC =b，且a2+b2 =c2．
求证：∠C =90°．
证明:?作△A'B'C'，使∠C' =90°，B'C' =BC =a， A'C' =AC =b．
∴A'B' 2 =a2+b2．
∵c2 =a2+b2，
∴A'B' 2 =c2 =AB2．
∴A'B' =AB．
在△ABC 和 △A'B'C'中，


BC =B'C'，
AC =A'C'，
AB =A'B' ，
已知：如图，△ABC 中，AB =c，BC =a，AC =b，且a2+b2 =c2．
求证：∠C =90°．
证明:?作△A'B'C'，使∠C' =90°，B'C' =BC =a， A'C' =AC =b．
∴A'B' 2 =a2+b2．
∵c2 =a2+b2，
∴A'B' 2 =c2 =AB2．
∴A'B' =AB．
在△ABC 和 △A'B'C'中，


∴△ABC ≌ △A'B'C'．

BC =B'C'，
AC =A'C'，
AB =A'B' ，
已知：如图，△ABC 中，AB =c，BC =a，AC =b，且a2+b2 =c2．
求证：∠C =90°．
证明:?作△A'B'C'，使∠C' =90°，B'C' =BC =a， A'C' =AC =b．
∴A'B' 2 =a2+b2．
∵c2 =a2+b2，
∴A'B' 2 =c2 =AB2．
∴A'B' =AB．
在△ABC 和 △A'B'C'中，


∴△ABC ≌ △A'B'C'．
∴∠C =∠C' =90°．
BC =B'C'，
AC =A'C'，
AB =A'B' ，
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边a，b，c，满足 a2+b2=c2?，
那么这个三角形是直角三角形.
在△ABC中，
∵a2+b2=c2（已知），
∴△ABC 是直角三角形，且∠C =90°
（勾股定理逆定理）.
判定直角三
角形的依据
例 判断下列以 a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形:
(1) a =1，b =1，c = ；
(2) a =3，b =5，c =7；
(3) a =10，b =8，c =6.

（1）a = 1，b = 1，c = ；
解:
①计算平方
③得出结论
∴a2 + b2 = c2.
∵a2 = 12 = 1，
b2 = 12 = 1，
c2 =( )2 = 2.
∴a2 + b2 = 2.
∴这个三角形是直角三角形，
且∠C =90°.
②判断关系
∴a2 + b2 ≠ c2.
∴这个三角形不是直角三角形.
∵a2 = 32 = 9，
b2 = 52 = 25，
c2 =72 = 49.
∴a2 + b2 = 34.
（2）a = 3，b = 5，c = 7；
解:
∴这个三角形是直角三角形，
且∠B =90°.
∴ a2 +c2= b2.
∴a2 + b2 ≠ c2.
∴这个三角形不是直角三角形.
∵a2 = 32 = 9，
b2 = 52 = 25，
c2 =72 = 49.
∴a2 + b2 = 34.
∵a2 = 82 =64，
b2 = 102 = 100，
c2 = 62 = 36.
∴a2 + c2 = 100.
（2）a = 3，b = 5，c = 7； （3）a = 8，b = 10，c = 6.
解: 解:


计算三边的平方

较短两边的平方和与
最长边平方的关系
相 等
是直角三角形
不是直角三角形
不相等
判断思路
最长边所对的角是直角
思考
3，4，5；
6，8，10；
9，12，15 ?
思考
∴(3k)2 +(4k)2 =(5k)2.
∵(3k)2 +(4k)2 = 25k2，
(5k)2=25k2，
...
3k，4k，5k (k>0).
3，4，5；
6，8，10；
9，12，15；
如果以 a，b，c 为边的三角形是直角三角形，那么
以 ak，bk，ck (k>0) 为边的三角形也是直角三角形.
∴(3k)2 +(4k)2 =(5k)2.
∵(3k)2 +(4k)2 = 25k2，
(5k)2=25k2，
...
3k，4k，5k (k>0).
3，4，5；
6，8，10；
9，12，15；
例 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD =13，∠B?= 90°.求四边形 ABCD 的面积.??

分析 AB =3 BC =4 ∠B?=90°
例 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD =13，∠B?= 90°.求四边形 ABCD 的面积.??

分析 AB =3 BC =4 ∠B?=90°
（勾股定理）
AC =5

例 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD =13，∠B?= 90°.求四边形 ABCD 的面积.??

分析 AB =3 BC =4 ∠B?=90°
CD=12 AC =5 AD=13
（勾股定理）
例 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD =13，∠B?= 90°.求四边形 ABCD 的面积.??
分析 AB =3 BC =4 ∠B?=90°
CD=12 AC =5 AD=13

△ACD?是直角三角形(勾股定理逆定理)
例 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD =13，∠B?= 90°.求四边形 ABCD 的面积.??
分析 AB =3 BC =4 ∠B?=90°
CD=12 AC =5 AD=13


△ACD?是直角三角形(勾股定理逆定理)
例 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD =13，∠B?= 90°.求四边形 ABCD 的面积.??
？
不规则图形的面积
从未知入手
规则图形的面积
转化
例 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD =13，∠B?= 90°.求四边形 ABCD 的面积.??
思考：连接 BD 可求吗？
不可求
例 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD =13，∠B?= 90°.求四边形 ABCD 的面积.??
解：连接AC.
在Rt△ABC中，∠B=90°，
∵AB =3，BC =4，
∴AC =5（勾股定理）.
解：连接AC.
在Rt△ABC中，∠B=90°，
∵AB =3，BC =4，
∴AC =5（勾股定理）.
∵CD=12，AD=13，
∴AC2 + CD2 =AD2.
解：连接AC.
在Rt△ABC中，∠B=90°，
∵AB =3，BC =4，
∴AC =5（勾股定理）.
∵CD=12，AD=13，
∴AC2 + CD2 =AD2.
∴△ACD 为直角三角形，
且∠ACD?=90°(勾股定理逆定理).
∴ ， .
∴

.
课堂小结?


1.勾股定理的逆定理
计算三边的平方
不是直角三角形
相 等

较短两边的平方和与
最长边平方的关系
是直角三角形
不相等
最长边所对的角是直角
计算平方
判断关系
得出结论


2.探索勾股定理的逆定理
构造逆命题
画图验证
推理证明
得到逆定理
课堂小结?
角
边
直角三角形的两个锐角互余；
勾股定理.
有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
角
(1)直角三角形的定义
(2)性质
(3)判定
勾股定理的逆定理.
边?
3.直角三角形
课堂小结?
作业
判断下列以 a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形:
(1) a = 5，b = 7，c = 9；
(2) a = 1，b = 2，c = ；
(3) a = 2，b = 2，c = ；
(4) a = ，b = ，c = .



同学们再见！