九年级数学上册-第3章 对圆的进一步认识 复习课件-青岛版(39张PPT)

第3章 对圆的进一步认识
复习课件
1、了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理。
2、探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
3、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算。
【学习目标】
【重难点】
1、垂径定理；
2、与圆有关的位置关系；
3、弧长公式和扇形面积公式的应用。
1、垂径定理；
2、切线的性质与判定。
重点
难点
圆
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
三角形与圆
圆中的计算
圆的对称性
与圆有关的角的性质
轴对称
垂径定理
中心对称
圆心角、弧、弦
之间的关系定理
圆周角定理
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
三角形的外接圆
三角形的内切圆
弧长和扇形面积的计算
【知识网络】
【教学内容】
知识点一：圆的有关概念
1、圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦、直径、弧的概念
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；
小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）。
想一想
判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
（2）半圆是弧；
（3）过圆心的线段是直径；
（4）过圆心的直线是直径；
（5）半圆是最长的弧；
（6）直径是最长的弦；
（7）等弧就是拉直以后长度相等的弧
合作学习
请将自己所画的圆与同伴所画的圆进行比较， 它们是否能够完全重合？并思考什么情况下两个圆能够完全重合？
O1
r
O2
r
半径相等的两个圆叫做等圆。
圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；
半径相等的两个圆是等圆。
判断题
（一）垂径定理
●O
A
B
C
D
M└
③AM=BM，
重视：模型“垂径定理直角三角形”
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④ AC= BC，
⌒
⌒
⑤ AD= BD。
　　1.定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
知识点二：圆的有关性质
垂径定理的逆定理
②CD⊥AB，
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC，
⌒
⌒
⑤AD=BD。
●O
C
D
●
M
A
B
┗
　　平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧。
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
?
?
?
A
B
C
D
O
（1）
A
B
C
D
?O
（2）
A
B
C
D
?O
（3）
（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
?
?
?
A
B
C
?O
（4）
A
B
C
D
?O
（5）
A
B
C
D
?O
（6）
E
（7）平分弦的直径垂直于弦。
?
在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
如由条件：
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
（二）圆心角、弧、弦、弦心距的关系
（三）圆周角定理及推论
90°的圆周角所对的弦是 。
●O
A
B
C
●O
B
A
C
D
E
●O
A
B
C
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这弧所对的圆心角的一半。
推论：直径所对的圆周角是 。
直角
直径
知识点三：与圆有关的位置关系
（一）点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，
则有：点P在圆外d>r
点P在圆上d=r
点P在圆内d不在同一直线上的三点确定一个圆．
也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
（二）直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，
直线L和⊙O相交
d直线L和⊙O相切
d=r
直线L和⊙O相离
d>r
切线的判定定理
定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
C
D
●O
A
　如图
　∵OA是⊙O的半径， 且CD⊥OA，
∴ CD是⊙O的切线.
经过圆外一点的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这个点到圆的切线长。
从圆一点外可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理：
P
A
O
B
P
A
三角形与圆的位置关系
从一块三角形材料中，能否剪下一个圆，使其与各边都相切?
老师提示：
假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三边的距离相等.因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离。
A
B
C
A
B
C
┓
┗
┗
┓
I●
●
●
●
●
┓
┗
┗
┓
┗
┗
┓
┗
┗
I●
┓
●
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
　　∵CD切⊙O于Ａ， OA是⊙O的半径
C
D
●O
A
∴CD⊥OA
知识点四：圆中的计算问题
弧长公式
扇形面积公式
知识精华：
2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
１.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
O
A
B
F
D
C
E
G
3.中心角：正多边形每以边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
一、知识要点概述
1、弧长公式和扇形面积公式
n°的圆心角所对的弧长l和含n°圆心角的扇形的面积公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：
这样就不至于因死记硬背而出错。
将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：
这一公式与三角形面积公式酷似。为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看成底边上的高即可。
2、弓形面积
弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直观选用下列公式：
①当弓形所含的弧是劣弧时，如图（甲），
S弓形=S扇形OAB－S△AOB；
②当弓形所含的弧是优弧时，如图（乙），
③当弓形所含的弧是半圆时，如图（丙），
三、典型例题赏析
例1、如图，△ABC是正三角形。曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中 的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连结。如果AB=1，那么曲线CDEF的长是多少？
AC、BC、DF
⌒
⌒
⌒
例1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C。
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3cm，
sinP=0.6，求⊙O的直径。
3
方法总结：由AB为⊙O的直径，AB⊥CD得弧BC等于弧BD，从而得∠P=∠A，并连接AC构造Rt△ABC是解题的关键。
【典例解析】
例2、如图，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切于B，AC交⊙O于E，点D是BC边的中点，连结DE。
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为 ， ，求AE。
6
方法总结：
1、如果已知直线与圆有交点，常连接圆心与交点，再证明连线垂直于半径即可；
　　2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可。
方法总结：充分利用“垂径定理”与“等弧或同弧所对的圆周角相等”得出结论。
1、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，则在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB相等的角
【巩固练习】
∠CAB
∠BAD
∠BCD
2、如图所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊，那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是多少？
1米
1米
方法总结：正确画出小羊的最大活动区域是解决问题的关键。
3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线。
解题关键：
证明OD∥AC
方法一：利用等边对等角证∠C=∠BDO；
方法二：利用三线合一证明OD为△ABC的中位线。
【点击中考】
1、（2013年泰安中考）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，
则∠BOC等于（ ）
（A）60 （B）70 （C）120°（D）140°
D
方法总结：连结OA，求出与∠BOC同弧的圆周角。
2、（2013年泰安中考）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点E是 的中点，则下列结论不成立的是（ ）
（A）OC∥AE （B）EC=BC
（C）∠DAE=∠ABE （D）AC⊥OE
D
提示：注意垂径定理与切线的性质应用。
1、如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
8 B. 5 C. 10 D. 2
2、如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A，B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A.50° B.50°或80° C.130° D.50°或130°
B
D
【布置作业】
4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是　　　。
50°
5、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为______cm。
8
6、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N。
（1）求线段OD的长；
（2）若
，求弦MN的长。
E
3
X
2X
5
谢 谢