人教版数学八年级上册14.3.2 第1课时 运用平方差公式因式分解课件（17张）

(共17张PPT)
14.3.2
公式法
第十四章
整式的乘法与因式分解
第1课时
运用平方差公式因式分解
a2-
b2=(a+b)(a-b)
导入新课
情境引入
(a+b)(a-b)=
a2-
b2=
我们知道在整式乘法中
那么，在因式分解中a2-
b2形式怎么因式分解？
a2-
b2
(a+b)(a-b)
同样公式中的中a，b可以指数，字母，单项式或多项式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:
(
)2-(
)2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
=-(x2+y2)
=y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
=(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
=(m+1)(m-1)
=(y-x)(y+x)
=(x-y)(x+y)
例1
分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2
-
b2
=
解:(1)原式=
(2)原式
整体思想
a
b
典例精析
分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
解：原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
当场编题，考考你！
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20152－20142
=
（2mn）2
-
(
3xy)2
=
(x+z)2
-
(y+p)2
=
例2
分解因式：
解：原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y)
解：原式＝ab(a2-1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
＝ab(a+1)(a-1)
分解因式：(1)5m2a4－5m2b4；
(2)a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
例3
已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴－2＝1?(x－y)
解：∵x2－y2＝－2，x＋y＝1
且x2－y2＝(x＋y)(x－y)
∴x－y＝－2
①
②
①+②得：2x＝－1
x＝－0.5
①-②得：2y＝3
y＝1.5
∴x-y=-2，x=-0.5，y=1.5
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4
计算下列各题：(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：原式＝(101＋99)(101－99)
解：原式＝4(53.52－46.52)
＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
＝200×2
＝400
例5
求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2
一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n，
∵n为整数，
∴8n是8的n倍，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
8.
(1)992-1能否被100整除吗？
解：(1)因为
992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3)
×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
当堂练习
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2
B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
当堂练习
D
2.分解因式(2x+3)2
-x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3)
D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21
B．21
C．-10
D．10
A
4.把下列各式分解因式：
(1)
16a2-9b2=_________________;
(2)
(a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3)
9xy3-36x3y=_________________;
(4)
-a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.
4
当堂练习
6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
当堂练习
7.如图，在边长为6.8
cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6
cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－
(2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8
－
3.2)
＝10×3.6
＝36
(cm2)
答：剩余部分的面积为36
cm2.
当堂练习
课堂小结
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.