19.排列(1)
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19.排列(1)
分类计数原理
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法。
N= m1+m2+… +mn
温故知新
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法.
N= m1×m2×… ×mn
总结出两个原理的联系、区别：
(1)都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题;
(2)分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；
(3)分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成，这件事才算完成．
温故知新
问题情境
高二( )准备从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？写出所有的结果。
根据分步计数原理共有：3×2＝6 种不同的方法．
乙
丙
甲
班长
副班长
乙
丙
甲
乙
丙
甲
数学建构
1. 排列定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
当m=n时,这样的排列叫全排列.
注 意：
1.在研究排列问题中，不能有重复元素的排列，也不能重复抽取相同的元素；
2.“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志；
不是，根据排列的定义，两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同。
思考:abc与cba是相同的排列吗 为什么
数学建构
1.下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“√”，否则打“×”．
(1)20位同学互通一封信,问共通多少封信？ ( )
(2)20位同学互通一次电话,问共通多少次？ （ ）
(3)20位同学互相握一次手,问共握手多少次？( )
(4)从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数,问共有几种不同的对数值？
(5)从1 , 3 , 5 , 9中任取两个数相加, 可以得到多少个不同的和 ( )
(6)从1 , 3 , 5 , 9中任取两个数相除, 可以得到多少个不同的商 （ ）
数学应用
例1.写出从a , b , c , d这4个字母中,
(1)每次取出2个字母的所有排列.
(2)每次取出3个字母的所有排列.
(3)每次取出4个字母的所有排列.
数学建构
2. 排列数定义：
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。
2.从a , b , c , d这4个字母中,
(1)每次取出2个字母的排列数为_____.
(2)每次取出3个字母的排列数为_____.
(3)每次取出4个字母的排列数为_____.
4×3
4×3×2
4×3×2×1
数学建构
思考：从n个不同的元素中取出m (m ≤n)
个元素的排列数 =
根据分步计数原理
第1位 第2位 第3位 …… 第m位
有n种方法
有n-1种方法
有n-2种方法
有n-(m-1)种方法
=n (n-1)(n-2) …(n-m+1)
3.排列数公式
=n (n-1)(n-2) …(n-m+1)
说明:
(1)公式的适用范围:m,n∈N*且m ≤n
(2)公式右边:最大因数为n,最小因数为
n-m+1; m个连续正整数的积.
数学建构
通常用n!表示,即 = n!
n · (n-1) ·(n-2) …1
称为n的阶乘.
例2.计算:
(3) 用排列数表示
(55－n)(56－n) … (69－n)
(n∈N* , 且n<55) .
(2) 如果 =18×17× … ×9×8,
则n=_____ , m=______ .
数学应用
3.计算:
(3)化简：n(n+1)(n+2) … (n+m)=____.
(2) 如果 =17×16× … ×5×4,
则n=_____ , m=______ .
，则n=____.
(课练1、3)
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数学应用
例3. 求证：
说明:在一般情况下要计算含有数字的排列数的值,常用连乘积形式进行计算.而要对含有字母的排列数的式子进行证明或进行变形常用阶乘式表示.
例4.求证:(1)
(2)
数学应用
求证：
证明：右边=
即证.
注：n·(n-1)!=n! ， (m+3)·(m+2)!=(m+3)! ……
4. 求证:
(1) A =A A
(2)(n+1)!-n!=n·n!.
例5.(1)化简1×1!+2×2!+3×3!+···+n×n!
(2)化简：
数学应用
(20例2)
例 解方程：
解：原方程可化为：
2x·(2x-1)·(2x-2)=100·x·(x-1)
∵x≠0且x≠1，
∴2x-1=25， 解得x=13.
经检验 x=13 是原方程的根.
例6.求满足下列条件的n .
数学应用
(20例1)
例 求值：
解：
≤
≤4
1．全排列数（阶乘）
2．阶乘变形
例：求证：1!＋2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1
分析：n·n!=(n+1)!-n!
作业布置:
1.订正教案18、第7练；
2.完成教案19、第8练。
19.排列(1)
分类计数原理
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法。
N= m1+m2+… +mn
温故知新
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法.
N= m1×m2×… ×mn
总结出两个原理的联系、区别：
(1)都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题;
(2)分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；
(3)分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成，这件事才算完成．
温故知新
问题情境
高二( )准备从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？写出所有的结果。
根据分步计数原理共有：3×2＝6 种不同的方法．
乙
丙
甲
班长
副班长
乙
丙
甲
乙
丙
甲
数学建构
1. 排列定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
当m=n时,这样的排列叫全排列.
注 意：
1.在研究排列问题中，不能有重复元素的排列，也不能重复抽取相同的元素；
2.“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志；
不是，根据排列的定义，两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同。
思考:abc与cba是相同的排列吗 为什么
数学建构
1.下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“√”，否则打“×”．
(1)20位同学互通一封信,问共通多少封信？ ( )
(2)20位同学互通一次电话,问共通多少次？ （ ）
(3)20位同学互相握一次手,问共握手多少次？( )
(4)从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数,问共有几种不同的对数值？
(5)从1 , 3 , 5 , 9中任取两个数相加, 可以得到多少个不同的和 ( )
(6)从1 , 3 , 5 , 9中任取两个数相除, 可以得到多少个不同的商 （ ）
数学应用
例1.写出从a , b , c , d这4个字母中,
(1)每次取出2个字母的所有排列.
(2)每次取出3个字母的所有排列.
(3)每次取出4个字母的所有排列.
数学建构
2. 排列数定义：
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。
2.从a , b , c , d这4个字母中,
(1)每次取出2个字母的排列数为_____.
(2)每次取出3个字母的排列数为_____.
(3)每次取出4个字母的排列数为_____.
4×3
4×3×2
4×3×2×1
数学建构
思考：从n个不同的元素中取出m (m ≤n)
个元素的排列数 =
根据分步计数原理
第1位 第2位 第3位 …… 第m位
有n种方法
有n-1种方法
有n-2种方法
有n-(m-1)种方法
=n (n-1)(n-2) …(n-m+1)
3.排列数公式
=n (n-1)(n-2) …(n-m+1)
说明:
(1)公式的适用范围:m,n∈N*且m ≤n
(2)公式右边:最大因数为n,最小因数为
n-m+1; m个连续正整数的积.
数学建构
通常用n!表示,即 = n!
n · (n-1) ·(n-2) …1
称为n的阶乘.
例2.计算:
(3) 用排列数表示
(55－n)(56－n) … (69－n)
(n∈N* , 且n<55) .
(2) 如果 =18×17× … ×9×8,
则n=_____ , m=______ .
数学应用
3.计算:
(3)化简：n(n+1)(n+2) … (n+m)=____.
(2) 如果 =17×16× … ×5×4,
则n=_____ , m=______ .
，则n=____.
(课练1、3)
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数学应用
例3. 求证：
说明:在一般情况下要计算含有数字的排列数的值,常用连乘积形式进行计算.而要对含有字母的排列数的式子进行证明或进行变形常用阶乘式表示.
例4.求证:(1)
(2)
数学应用
求证：
证明：右边=
即证.
注：n·(n-1)!=n! ， (m+3)·(m+2)!=(m+3)! ……
4. 求证:
(1) A =A A
(2)(n+1)!-n!=n·n!.
例5.(1)化简1×1!+2×2!+3×3!+···+n×n!
(2)化简：
数学应用
(20例2)
例 解方程：
解：原方程可化为：
2x·(2x-1)·(2x-2)=100·x·(x-1)
∵x≠0且x≠1，
∴2x-1=25， 解得x=13.
经检验 x=13 是原方程的根.
例6.求满足下列条件的n .
数学应用
(20例1)
例 求值：
解：
≤
≤4
1．全排列数（阶乘）
2．阶乘变形
例：求证：1!＋2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1
分析：n·n!=(n+1)!-n!
作业布置:
1.订正教案18、第7练；
2.完成教案19、第8练。