23.组合（1）
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22.组合(1)
练习：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种
C
数学应用
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
有顺序
无顺序
问题情境:
(3)从1、2、3三个数字中选两个数字,
能构成多少个不同的集合
这两个问题与上一节中相应的排列问题
有何区别 有何联系
问题情境:
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
排列与组合的联系与区别：
1、都是从n个不同的元素中取出m个元素，且m≤n
2、有序问题是排列，无序问题是组合。
3、同一组合只要元素完全相同。
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示。
建构数学:
例1、下列问题中哪些是排列问题？哪些是组合问题？
（1）从1,3,5,9中任取两个数相加，可得多少个不同的和？
（2）从1,3,5,7中任取两个数相除，可得多少个不同的商？
（3）从50件不同的产品中抽出5件来检查，有多少种不同的抽法？
（4）5个人互送照片一张，共送了多少张照片？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
多少种车票
有多少种不同的火车票价？
排列问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法
排列问题
组合问题
（1）集合A={a,b,c,d,e}的含有3个元素的子集有多少个？
组合问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
ab , ac , bc
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b c d
b
c d
c
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(3个)
6个
从n个不同的元素中取出m个元素的排列，可以分成两步：
第一步：先从n个不同的元素中取出m个元素进行组合。
组合数公式：
第二步：再求每一个组合中m个元素的全排列。
例1计算：⑴
⑵
．
例2求证：
例3.求证: Cnm = Cnm+1 .
例4.在歌手大奖赛的文化素质测试中,选手需从
5个试题中任意选答3题,问;
有几种不同的选题方法
若有一道题是必答题,有几种不同的选题方法
问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n m个元素的组合数
1、组合数性质1：
证明：根据组合数公式有
数学应用
说明：
2、 为了使性质1在m＝n时也能成立，规定
1、为简化计算，当m＞ 时，通常将计算 改为计算
1、组合数性质1：
4、练习：计算
问题2：
从n+1个元素中取出m个元素的组合，可以看成从n+1个元素中分两类抽取，其中一类是含元素 时抽取m-1个即 ，另一类是不含元素 时抽取m个即 ，由分类计数原理有： .
2、组合数性质2：
证明：
说明：
①性质2常用于恒等式变形和证明等式.规律是“下标相同,上标相邻的两个组合数相加,结果是一个组合数:下标加 1,上标取大”.
②性质2既体现了“分解性”由左到右，又体现了“合并性”由右到左. 应灵活运用，以便解题；
③以上两个性质，既可用组合数公式证明，也可根据组合定义得到.
④练习：计算
例题讲解：
例1、计算
例2、解方程或不等式
例3、求值：
n=3
m=7、8、9
学生活动
2．证明
1．解方程
例4.某医院有内科医生8人, 外科医生5人, 现欲从中抽调5名医生组成医疗小分队奔赴抗洪第一线,
变1:内科医生至少3人,外科医生至少1人, 有多少种不同的抽调方法
变2:内科医生和外科医生都要有人参加,有多少种不同的抽调方法
内科医生3人, 外科医生2人, 有多少种不同的抽调方法
房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯照明，有多少种不同的方法？
可以直接法,也可间接法.比较两种解法,你能得出什么结论
学生活动
课堂小结：
1、组合数的两个性质既可以用组合数公式进行推导证明，也可以用解决组合问题的基本思路来推导；
2、性质 1 常用于 ＞ 时组合数的计算，
性质 2 常用于恒等式变形和证明等式；
3、利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时可结合题目的特点，灵活运用公式变形达到解题目的.
课堂小结：
1、组合数的两个性质既可以用组合数公式进行推导证明，也可以用解决组合问题的基本思路来推导；
2、性质 1 常用于 ＞ 时组合数的计算，
性质 2 常用于恒等式变形和证明等式；
3、利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时可结合题目的特点，灵活运用公式变形达到解题目的.
学生活动
例5.在100件产品中, 有98件合格品, 2件不合格品, 从这100件产品中任意抽出3件.
(1)一共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件不合格品的抽法有多少种
22.组合(1)
练习：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种
C
数学应用
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
有顺序
无顺序
问题情境:
(3)从1、2、3三个数字中选两个数字,
能构成多少个不同的集合
这两个问题与上一节中相应的排列问题
有何区别 有何联系
问题情境:
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
排列与组合的联系与区别：
1、都是从n个不同的元素中取出m个元素，且m≤n
2、有序问题是排列，无序问题是组合。
3、同一组合只要元素完全相同。
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示。
建构数学:
例1、下列问题中哪些是排列问题？哪些是组合问题？
（1）从1,3,5,9中任取两个数相加，可得多少个不同的和？
（2）从1,3,5,7中任取两个数相除，可得多少个不同的商？
（3）从50件不同的产品中抽出5件来检查，有多少种不同的抽法？
（4）5个人互送照片一张，共送了多少张照片？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
多少种车票
有多少种不同的火车票价？
排列问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法
排列问题
组合问题
（1）集合A={a,b,c,d,e}的含有3个元素的子集有多少个？
组合问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
ab , ac , bc
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b c d
b
c d
c
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(3个)
6个
从n个不同的元素中取出m个元素的排列，可以分成两步：
第一步：先从n个不同的元素中取出m个元素进行组合。
组合数公式：
第二步：再求每一个组合中m个元素的全排列。
例1计算：⑴
⑵
．
例2求证：
例3.求证: Cnm = Cnm+1 .
例4.在歌手大奖赛的文化素质测试中,选手需从
5个试题中任意选答3题,问;
有几种不同的选题方法
若有一道题是必答题,有几种不同的选题方法
问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n m个元素的组合数
1、组合数性质1：
证明：根据组合数公式有
数学应用
说明：
2、 为了使性质1在m＝n时也能成立，规定
1、为简化计算，当m＞ 时，通常将计算 改为计算
1、组合数性质1：
4、练习：计算
问题2：
从n+1个元素中取出m个元素的组合，可以看成从n+1个元素中分两类抽取，其中一类是含元素 时抽取m-1个即 ，另一类是不含元素 时抽取m个即 ，由分类计数原理有： .
2、组合数性质2：
证明：
说明：
①性质2常用于恒等式变形和证明等式.规律是“下标相同,上标相邻的两个组合数相加,结果是一个组合数:下标加 1,上标取大”.
②性质2既体现了“分解性”由左到右，又体现了“合并性”由右到左. 应灵活运用，以便解题；
③以上两个性质，既可用组合数公式证明，也可根据组合定义得到.
④练习：计算
例题讲解：
例1、计算
例2、解方程或不等式
例3、求值：
n=3
m=7、8、9
学生活动
2．证明
1．解方程
例4.某医院有内科医生8人, 外科医生5人, 现欲从中抽调5名医生组成医疗小分队奔赴抗洪第一线,
变1:内科医生至少3人,外科医生至少1人, 有多少种不同的抽调方法
变2:内科医生和外科医生都要有人参加,有多少种不同的抽调方法
内科医生3人, 外科医生2人, 有多少种不同的抽调方法
房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯照明，有多少种不同的方法？
可以直接法,也可间接法.比较两种解法,你能得出什么结论
学生活动
课堂小结：
1、组合数的两个性质既可以用组合数公式进行推导证明，也可以用解决组合问题的基本思路来推导；
2、性质 1 常用于 ＞ 时组合数的计算，
性质 2 常用于恒等式变形和证明等式；
3、利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时可结合题目的特点，灵活运用公式变形达到解题目的.
课堂小结：
1、组合数的两个性质既可以用组合数公式进行推导证明，也可以用解决组合问题的基本思路来推导；
2、性质 1 常用于 ＞ 时组合数的计算，
性质 2 常用于恒等式变形和证明等式；
3、利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时可结合题目的特点，灵活运用公式变形达到解题目的.
学生活动
例5.在100件产品中, 有98件合格品, 2件不合格品, 从这100件产品中任意抽出3件.
(1)一共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件不合格品的抽法有多少种