1.1.1 等腰三角形（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.1
等腰三角形
第1课时
等腰三角形1
【知识清单】
一、全等三角形的判定定理：
1.判别两三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形).?
2.全等三角形对应边相等，对应角相等
二、等腰三角形的性质：
1.等腰三角形两边相等；(定义).
2.等腰三角形的两个底角相等，(简写成“等边对等角”).
3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
【经典例题】
例题1、如图，在△ABC中，AB=AC，点E在△ABC的内部，且BE=CE，连接AE，并延长AE交底边BC于点D．求证：(1)△ABE≌△ACE；(2)BD=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABE≌△ACE；
(2)利用(1)的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE；然后根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACD；最后根据全等三角形的对应边相等知BD=CD．
【解答】证明：(1)在△ABE和△ACE中，
∵，
∴△ABE≌△ACE(SSS)；???
(2)由(1)知△ABE≌△ACE，
∴∠BAE=∠CAE，即∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD?(SAS)，
∴BD=CD(全等三角形的对应边相等)
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．全等三角形的判定是解答此类问题的关键．
例题2、如图在△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC，
(1)写出图中所有等腰三角形；
(2)求∠C的度数．
【考点】?等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理．
【分析】(1)根据，AB=AC，DC=AC，BD=AD可判断出等腰三角形．
(2)设∠B=x，
BD=AD，则∠DAB=∠B=x；AB=AC，则∠C=∠B=x；由∠ADC=∠B+∠BAD=2x；DC=AC，则∠ADC=∠DAC=2x.在△ADC中，则∠ADC+∠DAC+∠C=180°，2x+2x+x=180°，即可求解．
【解答】(1)△ABC，△ACD．△ABD，
(2)设∠B=x，
∵BD=AD，
∴∠DAB=∠B=x，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x，
∵DC=AC，
∴∠CAD=∠ADC=∠DAB+∠B=2x，
在△ACD中，由∠CAD+∠ADC+∠C=180°，得2x+2x+x=180，
解得x=36°，∴∠C=36°．
答：∠C的度数为36°．
【点评】此题考查学生对等腰三角形判定与性质和三角形内角和定理的理解和掌握，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解决问题的关键.
【夯实基础】
1、如图，已知AB=BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DBC的是(　　)
A．∠BCA=∠BCD
B．∠ABC=∠DBC
C．∠A=∠D=90°
D．AC=DC
2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角
形共有(　　)
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
3、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
4、若a、b为实数，且满足
，以a、b的值为两边长的等腰三角形的周长是(
)
A．16
B．16或20
C．20
D．无法确定
5、在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=26°，则∠α=
13°
.
6、等腰三角形ABC中，腰AB=AC=15cm，底边长为24cm，AD是这个三角形的底边的中线，则AD=
.
7、等腰三角形的一腰长为10，一边上的高为6，则这个等腰三角形的底边长为
.
8、如图，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线，AB=AC，求证：AE∥BC.
9、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．
(1)求证：∠ABC=∠EDC；
(2)求∠E的度数．
【提优特训】
10、已知等腰三角形的一个内角为50°，则其顶角为(
).
A．50°
B．80°
C．50或80°
D．40°或60°
11、等腰三角形一腰的中线，将这个三角形的周长分成15cm和18cm的面部分，则这个等腰
三角形的底边长为(
)
A．9
B．9或11
C．11
D．8或3
12、点D是ABC中BC边上的一点，且AB=AC，AC=CD，则∠α与∠β的关系为(
)．
A．∠α=2∠β
B．∠α+∠β=90°
C．2∠α∠β=180°
D．3∠α∠β=180°
13、已知等腰三角形一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的腰长为(
)．
A．
B．9
C．
D．或
14、已知等腰三角形的一个外角为70°，则其顶角为
.
15、等腰三角形的底边长为10cm，则腰长a的取值范围是
.
16、若∠MAN=10°，A1，A3，…在AN上，A2，A4，…在AM上，△AA1A2，△A1A2A3，…均是等
腰三角形，且AA1=A1A2=A2A3，…在∠MAN中长度为AA1的线段，最多能作出
条.
17、如图，AC⊥BD，于点C，若AC=DC，CE=CB，连接DE，并延长交AB于点F，
求证：DF⊥AB.
18．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长
线上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请写出它们之间的数量关系，并证明．
【中考链接】
19、(2020?山东临沂)在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，则∠BCD的度数为(
)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
20、(2020?北京)在△ABC中，AB=AC，点D在BC上(不与点B、C重合).只需要添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是
.
21、(2020?江苏徐州)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于点F，BC交于点G.
(1)求证：AE=BD；
(2)求∠AFD的度数.
22、(2018?江苏南京)如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE．
参考答案
1、A
2、B
3、C
4、C
5、13°
6、9cm
7、16或2或6
10、C
11、B
12、D
13、C
14、110°
15、a>5
16、8
19、D
20、BD=CD或∠BAD=∠CAD或点D为BC边的中点(答案不唯一)
8、如图，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线，AB=AC，求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC=∠B+∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DAC=2∠B，即∠B=∠DAC，
∵
AE是∠DAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠DAC，
∴∠1=∠B，
∴AE∥BC.
9、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．
(1)求证：∠ABC=∠EDC；
(2)求∠E的度数．
解：(1)证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
(2)连接AC，由(1)证得∠ABC=∠CDE，
在△ABC和△EDC中，
∵
∴△ABC≌△EDC(SAS)．
∴
AC=EC，
∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠2+∠BCD=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠E=45°.
17、如图，AC⊥BD，于点C，若AC=DC，CE=CB，连接DE，并延长交AB于点F，
求证：DF⊥AB.
证明：(1)∵AC⊥BD，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
在△DCE与△ACB中，
∵
∴△DCE≌△ACB(SAS)．
∴∠D=∠A.
∵∠DEC=∠AEF，
∴∠AFE=∠DCE=90°，
∴DF⊥AB.
18．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长
线上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请写出它们之间的数量关系，并证明．
证明：(1)延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
则∠ABG=∠ABC=∠D=90°，
在Rt△ABG和Rt△ADF中．
∵
∴Rt△ABG≌Rt△ADF(SAS)．
∴AG=AF，∠4=∠2．
∴∠4+∠1=∠1+∠2=∠3=∠BAD．
即∠GAE=∠FAE．
在△AGE和△AFE中．
∵
∴△AGE≌△AFE
(SAS)．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．
(3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BEFD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
在△ABG和△ADF中．
∵
∴△ABG≌△ADF
(SAS)．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
在△GAE和△FAE中．
∵
∴△GAE≌△FAE
(SAS)．
∴EG=EF.
∵EG=BEBG
∴EF=BEFD．
21、(2020?江苏徐州)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于点F，BC交于点G.
(1)求证：AE=BD；
(2)求∠AFD的度数.
(1)证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB=∠BCD=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠BCD+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中．
∵
∴△ACE≌△BCD
(SAS)．
∴AE=BD；
(2)解：由(1)知△ACE≌△BCD，
∴∠A=∠B，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFG=∠ACG=90°，
∴∠AFD=90°.
22、(2018?江苏南京)如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE．
证明：在△ABE和△ACD中．
∵
∴△ACE≌△BCD
(ASA)．
∴AE=AD，
∵AB=AC，
∴ABAD=ACAE，
∴BD=CE．
第17题图
例题1图
例题2图
第5题图
第16题图
第18题图2
第18题图1
第9题图
第22题图
第8题图
第18题图2
第2题图
第19题图
第1题图
第18题图2
第12题图
第3题图
第20题图
第18题图2
第18题图1
第18题图1
第18题图3
第21题图
第21题图
第22题图
第8题图
第9题图
第9题图
第17题图
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