5.5.2 简单的三角恒等变换
引思
1.半角的正弦、余弦、正切公式是什么?正负号如何选择?2.辅助角公式的推导过程是否理解并掌握?3.三角恒等变换常用的公式、常用的角的变换有哪些?4.如何利用三角恒等变换解决三角函数的图象与性质问题及实际应用问题?
知识清单
1.半角公式
false__________;false__________;false__________=__________=__________.
2.辅助角公式
falsefalse令false则falsefalse=__________,其中false__________.
3.角的变换
在三角化简、求值及证明过程中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差、倍半、互补(互余)的关系,运用角的变换沟通条件与结论中角的差异,使问题获解.常见角的变换如下:
false是false的二倍;false是_______的二倍;false是_______的二倍;false是false的二倍;false是false的二倍;false是______的二倍.
false
falsefalse.
false
思考辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)false ( )
(2)false对任意false都不成立.( )
(3)false的值为false. ( )
(4)false的化简结果是2.( )
课时速练(限时15分钟)
1.计算:false( )
false false false false
2.已知falsefalse则false等于( )
false false false false
3.false化简为( )
A.falseB.false C.false D.false
4.下列函数中,最小正周期为false的是( )
A.false B.false C.false D.false
5.若cos(α+π4)=13,α∈(0,π2),则sinα的值为( )
A.718 B.23 C.4?26 D.4+26
6.false( )
A.false B.false C.1 D.2
7.函数false的最小值是( )
A.8 B.3 C.false D.false
8.已知false,且false,求false的值( )
A.false B.false C.false D.false
5.5.2简单的三角恒等变换
综合达标(限时20分钟)
1.已知false ,false,则有( )
A.false B.false C.false D.不能确定
2.函数false的最大值为( )
A.false B.false C.false D.2
3.如图点A为单位圆上一点,false,点A沿单位圆逆时针方向旋转角false到点Bfalse,则false( )
A.false B.false
C.false D.false
4.已知false,false,则false( )
A.false B.false C.false D.false
5.有一块半径为2,圆心角为45°的扇形钢板,从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边在扇形的半径上),则这个内接矩形的面积最大值为( )
A.false B.false C.false D.false
6.若false,则角false的取值范围是________.
7.函数false的最大值为2,false,则false________.
8.false______.
false
延伸探究(限时10分钟)
10.已知函数false的定义域为false,值域为false,则false的值不可能是( )
A.false B.false C.false D.false
11.已知函数false.
(1)求函数false的最小正周期及在区间false上的最大值和最小值;
(2)若false,求false的值.
5.5.2简单的三角恒等变换
知识清单
1.false;false;false,false,false
2.falsefalse
3.(1)false false false (3)false false false
思考辨析 (1)√(2)×(3)×(4√
课时速练
1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D 7.D 8.B
综合达标
1.B 【解析】因为false ,false,又因为false在false 上增函数,所以false,即false.故选B.
2.A 【解析】由题意,得false
false.故选A.
3.C 【解析】由题意因为false,点Bfalse,所以false,false,
所以false,故选C.
C 【解析】false,
因为false,
所以false,
false.故选C.
5.C 【解析】如图1,
在false中,设false,则false,
在false中,false,所以false,false,
设矩形A BCD的面积为S,则false
false,由于false,所以当false时,false,故选C.
6.false【解析】false,则false,故false,故false.
7.2 【解析】因为false,其中false,false,又因为false的最大值为false,所以false①,因为false,所以false②,联立①②解得false或false,
又false,所以false,所以false.
8.false 【解析】falsefalse,
falsefalse,故答案为false.
证明:左边=false
false
false=右边,所以等式成立.
延伸探究
10.D 【解析】
falsefalse
false,又false,false.
正弦函数false在false这一个周期中,其图象如图2所示.
由图可知,当false,false时,false取最大值,
即false.
当false,false时,false取最小值,
即false.则false,由于false,则D错误.故选D.
11.【解析】(1),所以.又所以
由函数图象知当false即false时.false取得最大值2,当false即false时.false取得最小值-1.
(2)由题意,而所以,所以
所以=.