人教A版高中数学必修一5.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 同步练习（Word含答案）

5.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
引思
1.如何求两个非特殊角差的余弦值？
2.由任意角α，β的正弦、余弦，如何求α-β的余弦？
3.在两角差余弦公式的推导过程中，角α，β以及α-β都是什么范围的角？
知识清单
1.两角差的余弦公式的推导
如图，在平面直角坐标系中，设单位圆与x轴的非负半轴相较于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，则它们终边分别与单位圆相交于点P1( )，A1( ) ，P( ).
2.两角差的余弦公式cos(α-β)= .
3.两角差的余弦公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其 的余弦之间的关系，称为 的余弦公式，记作 .
思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
已知α，β为任意角，判断第（1）-（4）题.
(1)cos(α-β)=cosα+cosβ. ( )
(2)cos(α-β)=cosα-cosβ. ( )
(3)cos(α-β)= cosα?cosβ-sinα?sin. ( )
(4)cos(π2 +α)=sinα. ( )
(5)存在角α，β∈R，使得cos(α-β)=cosα-cosβ. ( )
课时速练（限时10分钟）
1. 计算cos43°cos13°+sin43°sin13°的结果等于 （ ）
A. 12 B. 33 C. 22 D. 32
2.cos15°= ( )
A. 64 +24 B.- 24- 64 C. 24 -64 D. 64 -24
3. 化简cos2x?cos3x+sin2x?sin3x= （ ）
A. -cosx B. cosx C. -cos5x D. cos5x
4.函数f(x)=cosπ3?cosx+cosπ6?sinx的最大值为 ( )
A. 12 B. 32 C.1 D. 3
5.已知α，β∈（π2，π），sinα=1313，cos(α-β)= 51326，则β= ( )
A. 2π3 B. 5π6 C. 3π4 D. 11π12
6. cos80°?cos35°+ cos10°?cos55°的值为 .
7. 已知sinα=-35，α∈(3π2，2π)，则cos(π4-α)的值为 .
8. 已知cos（α-β）=13，求（sinα+ sinβ）2+（cosα+ cosβ）2 的值.


综合达标（限时20分钟）
1.sin100°?sin(-160°)+ cos200°?cos(-280°) 的值为 ( )
A.- 12 B.- 22 C. 12 D. 22
2. 在平面直角坐标系内，已知角α的终边与单位圆的交点为（-22，22），角β的终边与单位圆的交点为（12，-32），则cos(α-β)的值为 ( )
A.-2+64 B.2-64 C.-2+64 D. 2+64
3.若α，β均为锐角，P=cos(α-β)，Q=cosα+sinβ，则 ( )
A. P＞Q B.P＜Q C.P≥Q D.P≤Q
4.若sinα-sinβ=1-32，cosα-cosβ=-12，则cos(α-β)的值为 ( )
A. 12 B. 32 C. 34 D. 1
5.已知sinα=45，α∈(π2，π)，cosβ= -513，β为第三象限角，则cos(α-β) = ( )
A. 3365 B. 1213 C.- 3365 D. 6365
6. 2cos10°-sin20°cos20°=________．
7.已知x，y为锐角，cos(x+y)=1213，cos(2x+y)= 35，则cosx=________．
8.已知π2<α<π，0<β<π2，cos(α-β2)=-19，sin(α2-β)=23，则cosα+β2=________．
9.已知α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，且cos(π4-α)=35，sin(π4+β)=1213，求cos(α+β).
延伸探究（限时10分钟）
10.已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos(α-β)的值为 （ ）
A.- 12 B.- 32 C. 34 D. 1
11.已知α，β，γ满足cosα+kcosβ+2-kcosγ=0sinα+ksinβ+2-ksinγ=0 (k为常数，且0




















第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
引思
1.两角和的余弦、两角和与差的正弦、正切公式是怎样推导出来的？
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是能解决怎样的问题.
知识清单
1.两角和的余弦公式
cos（α+β）= .
2.两角和与差的正弦公式
sin（α-β）= . sin（α+β）= .
3.两角和与差的正切公式
tan（α+β）= .tan（α-β）= . (α,β,α±β≠false,k∈Z)
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的本质
揭示两角和与差的正弦、余弦、正切值与两角的正弦、余弦、正切值的关系.
5.公式的应用
①化简求值；②给值求角.
思考辨析（对的打“√”错的打“×”）
（1）sin 20°cos 60°＋cos 60°sin 20°=sin 80°. ( )
（2）存在α，β∈R,使得sin（α+β）=sinα+sinβ. ( )
（3）对于任意α，β∈R,sin（α-β）=sinα-sinβ 都不成立. ( )
（4）对于任意α，β∈R,都有cos（α+β）=cosαcosβ -sinαsinβ. ( )
（5）存在α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ. ( )
（6）对于任意α，β∈R,tan（α+β）=false都成立. ( )
课时速练（限时10分钟）
1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75= (　　)
A．0　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.1
2. 已知α是第三象限的角，若cosα＝﹣false，则tan（false+false）＝ (　　)
A.-7 B.7 C. D.2
3．已知cosαcosβ－sinαsinβ＝0，那么sinαcosβ＋cosαsinβ的值为 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．±1
4. 如图，点A（x1，y1），B（x2，y2）分别是单位圆O上的点，角α，β的终边分别为射线OA和射线OB，则x1x2+y1y2表示的值为 （　　）
A. sin（α+β） B．sin（α﹣β）
C．cos（α+β） D．cos（α﹣β）
5.在△ABC中，角C=60?，且tanfalse+tanfalse=false，则tanfalse·tanfalse= （ ）
A．1 B．false C．false D．2
6．如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα=________.
7.已知是第四象限角，求false，false，false的值．

综合达标（限时20分钟）
1. sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝ （　　）
A．-false B．false C．-false D．false
2 . tan17°+tan28°+tan17°tan28°= （ ）
A．-false B．false C．-1 D．1
3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是 （ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
4．在锐角△ABC中，设x＝sin A·sin B，y＝cos A·cos B，则x,y的大小关系为 (　　)
A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
5.false ( )
A.false B.false C.false D.false
6. 函数f（x）=falsecosx+falsesinx的最小值是________，最大值是________.
7. 已知α，β∈(0，)，tan α＝.，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝________.
8．若锐角α,β满足cosα＝，cos（α＋β）＝，则sinβ的值是________.
9．已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos（α＋β）．
延伸探究（限时10分钟）
10.《周髀算经》中给出了弦图，如图所示，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中的直角三角形两锐角分别为false,false，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则cos（false）的值为 (　　)
5720715312420
A．false B．false C．false D．false
11.在三角形ABC中，sin（A－B）＝，sinC＝，求证：tanA＝2tanB．





第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
引思
1.二倍角的正弦、余弦和正切公式的形式是怎样的？这几个公式是怎么推导出来的？
2. 二倍角的正弦、余弦和正切公式有哪些应用？
知识清单
1.倍角公式
sin2α= .
cos 2α= = = .
tan2α= .
2.倍角公式的变形应用
（1）倍角公式的逆用
①2sinα cos α=sin2α；sinα=false； cos α=false；
②cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α= ；2.（1）②cos2α
③false=tan2α;2tanα=tan2α(1-tan2α).
（2）配方变形
1±sin2α=sin2α+cos2α±sin2α= ；
（3）因式分解变形
cos 2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)
（4）升幂公式
1+cos2α= ；1-cos2α= .
（5）降幂公式
sin2 = ；cos2 = ；tan2 = .
(6)sin2α+cos2α=1的应用
sin2α=2sinα cos α=false；

cos2α=cos2α-sin2α=false
思考辨析（对的打“√”错的打“×”）
（1）二倍角的正切公式的适用范围不是任意角. （ ）
（2）对于任意角α，总有sin2α=2sinα. （ ）
（3）cos5αsin5α=falsesin10α对任意的角α都成立 . （ ）
（4）一定存在角α，使得cos2α=2cosα. （ ）
（5）倍角公式中的“倍角”仅指α和2α. （ ）
课时速练（限时10分钟）
1. sin15°cos15°= （　 ）
A．false B．false C．false D．false
2.sin2false-cos2false= （ ）
A.false B. -false C.false D.-false
3.若sin ＝，则cos α＝ (　　)
A．－ B．－ C. D.
4. 已知角false的终边经过点P（-1，false），则false （ ）
A．false B．false C．false D．false
5.已知false=2，则tan=　 　.
6. 已知x∈（-false，0），cosx=false，则tan2x等于　　
7. 已知false，则false________.
8. 已知sinfalse=false，false∈（false，false），求sin2，cos2，tan2的值．
综合达标（限时20分钟）

1.设a=2sin13°cos13°,b=false,c=false,则有 （ ）
A. c2．函数y＝2cos2（x－）－1是 （ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
3．2false+false= （ ）
A．2cos2 B．2sin2 C．4sin2+2cos2 D．2sin2+4cos2
4. 已知false，则false （ ）
A．false B．false C．false D．false
5．若＝－，则cosα＋sinα的值为 （ ）
A．－ B．－ C． D．
6．如果|cosθ|＝，<θ<3π，则sin的值是________．
7．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈，则α＝________．
8．已知tan＝3，则＝______．
9.化简下列各式：
（1）false； （2）false.
延伸探究（限时10分钟）

10. 若tan（false+false）＝3，则false＝ （　　）
A．-false B．false C．﹣false D．false
11. 已知cos＝，≤α<，求cos的值．
5.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
知识清单
1.（cosα,sinα） （cosβ,sinβ） (cos（α-β），sin（α-β）)
2.cosαcosβ+sinαsinβ
3.差角α-β 差角 C(α-β)
思考辨析(1)× (2)×(3) ×(4) ×(5)√
课时速练
1. D 2. A 3. B 4. C 5. 22 6. 210
7.【解析】（sinα+ sinβ）2+（cosα+ cosβ）2=sin2α+ 2sinαsinβ+sin2β+cos2α+2cosαcosβ+ cos2β=2cos（α-β）+2=23 +2=83.
综合达标
1.A 【解析】原式=sin(180°-80°)?sin(-180°+20°)+cos(20°+180°)?cos(80°-360°)
=sin80°?sin(-20°)+ (-cos20°)?cos80°=-(cos20°?cos80°+ sin20°?sin80°)=-cos(20°-80°)=- 12.
2. A 【解析】由题意知cosα=- 22 ，sinα=22 ，cosβ=12 ，sinβ=- 32.所以cos（α-β）=（-22）×12 +22×（-32）=-2+64.
3. B 【解析】因为α，β均为锐角，所以0＜cosβ＜1，0＜sinα＜1.所以P=cos(α-β)=cosα?cosβ+sinα?sinβ＜cosα+sinβ=Q.
4. B 【解析】由题意知（sinα+ sinβ）2=74-3，①（cosα- cosβ）2=14，② ①+②得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2-3.所以cosαcosβ+sinαsinβ=32，即cos(α-β)=32.故选B.
5. C【解析】因为sinα=45，α∈(π2，π)，所以cosα=-1-sin2α=-1-(45)2=-35，因为β为第三象限角，所以sinβ=-1-cos2β=-1-(-513)2=- 1213，所以cos(α-β)=cosα?cosβ+sinα?sinβ= (-35)×(-513)+ 45×(-1213)=- 3365.
6. 3 【解析】原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=3cos20°+sin20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.
7. 1665 【解析】 因为x，y为锐角，cos(x+y)=1213，所以sin(x+y)=513. 因为x，y为锐角，cos(2x+y)= 35，所以sin(2x+y)= 45. 所以cosx=cos[(2x+y)-(x+y)]=cos(2x+y)cos(x+y)-sin(2x+y)sin(x+y)= 35×1213- 45×513= 1665.
8. 7527 【解析】由已知得π4<α-β2<π，-π4<α2-β<π2，于是cos(α2-β)=53，sin(α-β2)=459，所以cosα+β2=cos[(α-β2)-( α2-β)]=7527.
9. 【解析】由α∈(π4，3π4)，得-α∈(-3π4，-π4)，所以π4-α∈(-π2，0).
又cos(π4-α)=35，所以sinπ4-α=-45.
由β∈(0，π4)，得π4+β∈(π4，π2).
又sin(π4+β)= 1213，所以cos(π4+β)=513.
所以cos(α+β)=cos[(π4+β)-( π4-α)]=cosπ4+β?cosπ4-α+sin(π4+β)?sinπ4-α=513×35+1213×-45=-3365.
延伸探究
10. A 【解析】由已知，得sinα+sinβ= -sinγ， ① cosα+cosβ=-cosγ， ②
将①②两式分别平方相加，得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1， 所以cos(α-β)=-12.
2. 【解析】由已知得cosα=-kcosβ-2-kcosγ，sinα=-ksinβ-2-ksinγ，
两式平方相加，得[kcosβ+(2-k)cosγ]2+[ksinβ+(2-k)sinγ]2=1，
即k2+(2-k) 2+2k(2-k)cosβcosγ+2k(2-k)sinβsinγ=1，
亦即k2+(2-k)2+2k(2-k)cos(β-γ) =1，
所以cos(β-γ)=-k2+(2-k)2-12k(2-k)=-2k2-4k+32k(2-k)=-2k(k-2)+32k(2-k)=1+32k(k-2)=1+32(k-1)2-2，
因为0而cos(β-γ)≥-1，故cos(β-γ)的最小值为-1，
此时1+32(k-1)2-2=-1，解得k=12或k=32.
综上所述，当k=1时，cos(β-γ)有最大值-12；当k=12或k=32时，cos(β-γ)有最小值-1.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
知识清单
1.cosαcosβ -sinαsinβ
2.sinαcosβ -cosαsinβ sinαcosβ +cosαsinβ
3. false false
思考辨析（1）√（2）√（3）×（4）√（5）√（6）×
课时速练
1.D 2. B 3. D 4. C 5. B 6.
7. 【解析】 因为是第四象限角，所以false=false，tanα=false
所以false=sinfalsefalse-falsecosfalse=false×false-false×（-false）=false.
false= cosfalsefalse-falsesinfalse=false×false-false×（-false）=false．
tan(false)=false=false=-7.
综合达标
1. D 2. D
3. A 【解析】tanA＋tanB＝，tanAtanB＝，所以tan（A＋B）＝，所以tanC＝－tan（A＋B）＝－，所以C为钝角．
4. B【解析】y－x＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，所以y－x＜0，即x＞y.
5. A【解析】 依题意，falsefalsefalse.
false,故原式的值为．
6.-5,5【解析】f（x）=5sin（x+false），故函数f（x）的最小值和最大值分别为-5,5
7. 【解析】因为0<α<，0<β<，cos（α＋β）＝>0，所以0<α＋β<，所以sinα＝，sin（α＋β）＝，所以sinβ＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝×－×＝．因为0<α<，0<β<，cos（α＋β）＝>0，所以0<α＋β<，所以sinα＝，sin（α＋β）＝，所以sinβ＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝×－×＝．
8.【解析】由tan α＝.由3sin β＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，化简得tan(α＋β)＝2tan α＝1.由于α，β∈(0，)，故α＋β∈(0，)，所以α＋β＝.
9．【解析】因为0<α<<β<，所以<＋α<π，－<－β<0，
又sin＝，cos＝，所以cos＝－，sin＝－，
那么cos（α＋β）＝sin＝sin
＝sincos－cossin＝×－×＝－．
延伸探究
1.A 【解析】设大正方形的边长为1，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则小正方形的边长为false，则cosfalse- sinfalse= false， ① sinfalse- cosfalse= false，② 由图可得cosfalse= sinfalse，sinfalse= cosfalse，由①×②可得false= cosfalsesinfalse+ sinfalsecosfalse- cosfalsecosfalse- sinfalsesinfalse= sin2false+ cos2false-cos（false-false）=1- cos（false-false），所以cos（false-false）=false.故选A.
2．【解析】因为A＋B＋C＝π，所以C＝π－（A＋B），
所以sinC＝sin（A＋B）＝，所以sinAcosB＋cosAsinB＝，①
因为sin（A－B）＝sinAcosB－cosAsinB，所以sinAcosB－cosAsinB＝，②
由①②联立得：
得＝2，所以tanA＝2tanB．
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
知识清单
1.2cosαsinα cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α false
2.（1）②cos2α (2)(sinα±cosα)2 （4）2cos2α 2sin2α
4. (2)false false false
思考辨析（1）√（2）×（3）√（4）√ （5）×
课时速练
1.A 2. D 3. C 4. B 5. false 6. false 6. - false
7. 【解析】因为sinfalse=false，false∈（false，false），所以cosfalse=-false，
所以sin2false=2sinfalsecosfalse=-false，
cos2false=2cos2false-1=false，
tan2false=false=-false.
综合达标
1.A 【解析】 a=2sin13°cos13°=sin26°,b=false,c=false,所以c2. A【解析】因为y＝2cos2（x－）－1＝cos（2x－）＝sin2x为奇函数，T＝＝π．
3.B 【解析】false=false=false=sin2+cos2
false=false=false=false=-2cos2
所以2false+false=2sin2+2cos2-2cos2=2sin2.故选B．
4.D【解析】由题false，则false，故false=-4false，故选D．

5．C 【解析】＝＝－（sinα＋cosα）＝－，所以sinα＋cosα＝．
6．－ 【解析】因为<θ<3π，|cosθ|＝，所以cosθ<0，cosθ＝－，因为<<，所以sin<0，由sin2＝＝，所以sin＝－．
7． 【解析】因为sin22α＋sin2αcosα－（cos2α＋1）＝0，所以4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0，因为α∈，所以2cos2α>0，所以2sin2α＋sinα－1＝0，所以sinα＝（sinα＝－1舍），所以α＝．
8．3 【解析】＝＝＝tan＝3．
9.【解析】（1）原式=false
（2）原式=
false
延伸探究
10.A 【解析】 因为tan（false+false）＝false＝3，所以解得tanα＝false，所以false
＝false
＝false=false=false=-false．故选A．
11.【解析】sin2α＝－cos＝－cos2＝1－2cos2＝，
因为≤α<π，所以π≤α＋<π，π≤2α<3π，
又cos>0，所以π<α＋<π，所以π<α<π，π<2α<3π，
所以cos2α＝－＝－，
所以cos＝cos2αcos－sin2αsin＝－．