从将军饮马到阿氏圆
学习重难点
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识母子型相似的模型，能运用模型解决一些简单的实际问题。
知识点梳理
知识点梳理一、模型认识
在前面的“将军饮马”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，当遇到“kPA+PB”最值问题时，我们要根据其中P点轨迹来运用不同的解题方法加以解决，如果是P点轨迹直线，就是我们所说的“胡不归”问题。而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。今天我们就通过模型的认识来学习一下“kPA+PB”最值问题的解题策略。
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。点P满足PA：PB=k（k=1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为AB两点的中垂线。
知识点梳理二、模型建立
【模型讲解】如图
1
所示，⊙O
的半径为R，点
A、B
都在⊙O
外
，P为⊙O上一动点，已知R=OB，连接
PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P
点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段
OB
上截取OC使
OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当
A、P、C
三点共线时，“PA+PC”值最小。
知识点梳理三、技巧总结
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
计算出这两条线段的长度比
在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
则，当A、P、C三点共线时可得最小值
三．典型例题
考点1：向内构造型
【例1】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为
。
【答案】
【变式1-1】
如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①，②，③，④的最小值。
【答案】①=，②=2，③=，④=
考点2：向外构造型
【例2】
如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上。求2PC＋PD的最小值。
【答案】
【变式2-1】
如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上。求2PC＋3PD的最小值。
【答案】
考点3：与坐标系相结合型
【例3】
如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是
。
【答案】5
【变式3-1】
如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为
。
【答案】5
四．课堂训练
【练1】
如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值。
【答案】
【练2】
如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA+PB的最小值为
。
【答案】
【练3】
如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为
。
【答案】
【练4】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？
【答案】
【练5】
如图，在平面直角坐标系中，，，，，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则的最小值是多少？
【答案】
【练6】
如图，的半径为，，MO＝2，∠POM＝90?，Q为上一动点，则的最小值为
。
【答案】
【练7】
如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为
。
【答案】10
Syman从将军饮马到阿氏圆
学习重难点
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识母子型相似的模型，能运用模型解决一些简单的实际问题。
知识点梳理
知识点梳理一、模型认识
在前面的“将军饮马”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，当遇到“kPA+PB”最值问题时，我们要根据其中P点轨迹来运用不同的解题方法加以解决，如果是P点轨迹直线，就是我们所说的“胡不归”问题。而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。今天我们就通过模型的认识来学习一下“kPA+PB”最值问题的解题策略。
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。点P满足PA：PB=k（k=1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为AB两点的中垂线。
知识点梳理二、模型建立
【模型讲解】如图
1
所示，⊙O
的半径为R，点
A、B
都在⊙O
外
，P为⊙O上一动点，已知R=OB，连接
PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P
点的位置如何确定？
知识点梳理三、技巧总结
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
计算出这两条线段的长度比
在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
则，当A、P、C三点共线时可得最小值
三．典型例题
考点1：向内构造型
【例1】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为
。
【变式1-1】
如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①，②，③，④的最小值。
考点2：向外构造型
【例2】
如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上。求2PC＋PD的最小值。
【变式2-1】
如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上。求2PC＋3PD的最小值。
考点3：与坐标系相结合型
【例3】
如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是
。
【变式3-1】
如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为
。
四．课堂训练
【练1】
如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值。
【练2】
如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA+PB的最小值为
。
【练3】
如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为
。
【练4】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？
【练5】
如图，在平面直角坐标系中，，，，，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则的最小值是多少？
【练6】
如图，的半径为，，MO＝2，∠POM＝90?，Q为上一动点，则的最小值为
。
【练7】
如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为
。
Syman
