第18章 勾股定理达标检测卷（含答案）
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沪科版八年级数学下册
第18章
达标检测卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
班级：________
姓名：________
分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列各组数中是勾股数的是
( )
A．0.3，0.4，0.5
B．3k，4k，5k
C．7，24，25
D．，，1
2．下列各组线段中能组成直角三角形的是( )
A．a＝，b＝，c＝
B．a＝，b＝，c＝
C．a＝2，b＝3，c＝4
D．a＝3，b＝3，c＝3
3．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且∠A
∶∠B
∶∠C＝1∶1∶2，则下列说法中错误的是( )
A．∠C＝90°
B．a2＝b2－c2
C．c2＝2a2
D．a＝b
4．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A．－1－
B．1－
C．－
D．－1＋
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))
5．将一根24
cm的筷子，置于底面直径为15
cm，高8
cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为h
cm，则h的取值范围是( )
A．h≤15
B．h≥8
C．8≤h≤17
D．7≤h≤15
6．(甘井子区期末)如图，点A的坐标为(3，0)，B是y轴正半轴上一点，AB＝5，则点B的坐标为( )
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(0，5)
D．(0，)
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
7．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若AB＝，则图中阴影部分的面积为( )
A．
B．
C．
D．5
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))
8．(大悟县期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为
( )
A．9
B．6
C．5
D．4
9．如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形．如果CD＝7，BE＝3，那么AC的长为( )
A．8
B．5
C．3
D．4
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
10．★如图，P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，以AC为边在三角形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论中错误的是( )
A．△APP′是正三角形
B．△PCP′是直角三角形
C．∠APB＝150°
D．∠APC＝135°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知直角三角形的两直角边长分别是3，4，则它的周长为
．
12．若三角形的三边长分别为x＋1，x＋2，x＋3，当x＝
时，此三角形是直角三角形．
13．如图，在一棵树的10米高处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高
米．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
14．★(霍邱县期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，延长BC至点D，连接AD，若△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于
．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．(庆云县期中)计算：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c；
(2)直角三角形的两边分别为3和5，求第三边．
16．(武川县期末)如图，网格中小正方形的边长均为1.请在网格中画出一个△ABC，要求：顶点都在格点(即小正方形的顶点)上；三边长满足AB＝，BC＝2，
AC＝，并求出该三角形的面积．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．(香坊区期末)我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为(3，4，5)，可以看作(22－1，2×2，22＋1)；同时8，6，10也为勾股数组，记为(8，6，10)，可以看作(32－1，2×3，32＋1).类似的，依次可以得到第三个勾股数组(15，8，17).
(1)请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；
(2)若设勾股数组中间的数为2n(n≥2，且n为整数)，根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．
18．(建邺区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC＝3，D是CA延长线上一点，AD＝5，BD＝4.求证：AB⊥BD.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25
km，C，D为两村庄，AC＝10
km，BD＝15
km，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
20．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝DC，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由．
六、(本题满分12分)
21．(内乡县期末)如图，是超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC＝24
cm，CB＝18
cm，两轮中心的距离AB＝30
cm，求点C到AB的距离．(结果保留整数)
七、(本题满分12分)
22．如图①所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图②所示．已知展开图中每个正方形的边长均为1.
(1)求在该展开图中可画出的最长线段的长度，这样的线段可以画几条？
(2)求∠B′A′C′的度数？说明理由；
(3)在图①中若蚂蚁从点A′沿着正方体的表面爬行到点C
，试求爬行的最短路程．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(①))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(②))
八、(本题满分14分)
23．(蜀山区期中)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，
BC＝6厘米，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)求出发2秒后，
PQ的长；
(2)点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列各组数中是勾股数的是
( C )
A．0.3，0.4，0.5
B．3k，4k，5k
C．7，24，25
D．，，1
2．(宜城期末)下列各组线段中能组成直角三角形的是
( D )
A．a＝，b＝，c＝
B．a＝，b＝，c＝
C．a＝2，b＝3，c＝4
D．a＝3，b＝3，c＝3
3．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且∠A
∶∠B
∶∠C＝1∶1∶2，则下列说法中错误的是
( B )
A．∠C＝90°
B．a2＝b2－c2
C．c2＝2a2
D．a＝b
4．(瑶海区期末)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为
( A )
A．－1－
B．1－
C．－
D．－1＋
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))
5．将一根24
cm的筷子，置于底面直径为15
cm，高8
cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为h
cm，则h的取值范围是
( C )
A．h≤15
B．h≥8
C．8≤h≤17
D．7≤h≤15
6．(甘井子区期末)如图，点A的坐标为(3，0)，B是y轴正半轴上一点，AB＝5，则点B的坐标为
( B )
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(0，5)
D．(0，)
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
7．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若AB＝，则图中阴影部分的面积为
( D )
A．
B．
C．
D．5
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))
8．(大悟县期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为
( C )
A．9
B．6
C．5
D．4
9．如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形．如果CD＝7，BE＝3，那么AC的长为
( B )
A．8
B．5
C．3
D．4
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
10．★如图，P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，以AC为边在三角形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论中错误的是
( D )
A．△APP′是正三角形
B．△PCP′是直角三角形
C．∠APB＝150°
D．∠APC＝135°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知直角三角形的两直角边长分别是3，4，则它的周长为12．
12．若三角形的三边长分别为x＋1，x＋2，x＋3，当x＝2时，此三角形是直角三角形．
13．如图，在一棵树的10米高处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高15米．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
14．★(霍邱县期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，延长BC至点D，连接AD，若△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于5或
．
选择、填空题答题卡
一、选择题(每小题4分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
答案
C
D
B
A
C
B
D
C
B
D
二、填空题(每小题5分，共20分)得分：________
11．__12__ 12.__2__
13．__15__
14.__5或__
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．(庆云县期中)计算：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c；
解：利用勾股定理，得
c＝＝＝17，即c＝17.
(2)直角三角形的两边分别为3和5，求第三边．
解：当5是直角边时，第三边＝＝，
当5是斜边时，第三边＝＝4，
∴第三边长为或4.
16．(武川县期末)如图，网格中小正方形的边长均为1.请在网格中画出一个△ABC，要求：顶点都在格点(即小正方形的顶点)上；三边长满足AB＝，BC＝2，
AC＝，并求出该三角形的面积．
解：如图，△ABC即为所求．
则S△ABC＝3×3－×1×3－×2×2－×1×3＝4.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．(香坊区期末)我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为(3，4，5)，可以看作(22－1，2×2，22＋1)；同时8，6，10也为勾股数组，记为(8，6，10)，可以看作(32－1，2×3，32＋1).类似的，依次可以得到第三个勾股数组(15，8，17).
(1)请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；
(2)若设勾股数组中间的数为2n(n≥2，且n为整数)，根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．
解：(1)上述四组勾股数组的规律是
32＋42＝52，62＋82＝102，82＋152＝172，
即(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2，
∴第5个勾股数组为(35，12，37).
(2)勾股数组为n2－1，2n，n2＋1.
18．(建邺区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC＝3，D是CA延长线上一点，AD＝5，BD＝4.求证：AB⊥BD.
证明：∵∠ABC＝∠ACB，AC＝3，
∴AB＝AC＝3，
又∵AD＝5，BD＝4，
∴AB2＋BD2＝25＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25
km，C，D为两村庄，AC＝10
km，BD＝15
km，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
解：设AE＝x，则
BE＝25－x，
在Rt△ACE中，
CE2＝AC2＋AE2
＝102＋x2.
在Rt△BDE中，
DE2＝BD2＋BE2＝152＋(25－x)2.
由题意可知CE＝DE.
∴102＋x2＝152＋(25－x)2，解得x＝15.
∴E应建在距A点15
km处．
20．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝DC，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由．
解：BE⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4k，则
AE＝ED＝2k，DF＝k，CF＝3k.
在Rt△ABE中，
BE2＝AB2＋AE2＝(4k)2＋(2k)2＝20k2.
在Rt△DEF中，
EF2＝ED2＋DF2＝(2k)2＋k2＝5k2.
在Rt△CFB中，
FB2＝CF2＋CB2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2.
在△BEF中，∵BE2＋EF2＝20k2＋5k2＝FB2，
∴△BEF是直角三角形，且∠BEF是直角，∴BE⊥EF.
六、(本题满分12分)
21．(内乡县期末)如图，是超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC＝24
cm，CB＝18
cm，两轮中心的距离AB＝30
cm，求点C到AB的距离．(结果保留整数)
解：过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即为点C到AB的距离，
在△ABC中，∵AC＝24，CB＝18，AB＝30，
∴AC2＋CB2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵S△ABC＝AC·BC＝CE·AB，
∴AC·BC＝CE·AB，即24×18＝CE×30，
∴CE＝14.4≈14，
答：点C到AB的距离约为14
cm.
七、(本题满分12分)
22．如图①所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图②所示．已知展开图中每个正方形的边长均为1.
(1)求在该展开图中可画出的最长线段的长度，这样的线段可以画几条？
(2)求∠B′A′C′的度数？说明理由；
(3)在图①中若蚂蚁从点A′沿着正方体的表面爬行到点C
，试求爬行的最短路程．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(①))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(②))
解：(1)如图②，A′H＝1＋1＋1＝3，C′H＝1，
即最长线段A′C′的长度是＝，这样的线段可以画4条，如图②线段EB′，线段FM，线段A′C′，线段GH.
(2)连接B′C′，
由图形可知：A′B′＝，B′C′＝，A′C′＝，
∴A′B′2＋B′C′2＝A′C′2.
即△A′B′C′是等腰直角三角形，
∴∠B′A′C′＝45°.
(3)如图所示展开：连接A′C，则线段A′C的长就是蚂蚁从点A′沿着正方体的表面爬行到点C的最短路程，
在Rt△A′C′C中，A′C′＝1＋1＝2，C′C＝1，∠A′C′C＝90°，
由勾股定理，得A′C＝＝.
答：爬行的最短路程为.
八、(本题满分14分)
23．(蜀山区期中)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，
BC＝6厘米，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)求出发2秒后，
PQ的长；
(2)点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
解：(1)BQ＝2×2＝4，
BP＝AB－AP＝8－2×1＝6，
∵∠B＝90°，
PQ＝
＝2(厘米).
INCLUDEPICTURE
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答图①
答图②
答图③
(2)分三种情况：
①当CQ＝BQ时，
如答图①所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC＋CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒；
②当CQ＝BC时，如答图②所示，
则BC＋CQ＝12，
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如答图③所示，
过点B作BE⊥AC于点E，
由勾股定理得
AC＝＝10，
则BE＝＝＝4.8，
∴CE＝＝3.6，
∴CQ＝2CE＝7.2，∴BC＋CQ＝13.2，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
综上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
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精品试卷·第
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沪科版八年级数学下册
第18章
达标检测卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
班级：________
姓名：________
分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列各组数中是勾股数的是
( )
A．0.3，0.4，0.5
B．3k，4k，5k
C．7，24，25
D．，，1
2．下列各组线段中能组成直角三角形的是( )
A．a＝，b＝，c＝
B．a＝，b＝，c＝
C．a＝2，b＝3，c＝4
D．a＝3，b＝3，c＝3
3．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且∠A
∶∠B
∶∠C＝1∶1∶2，则下列说法中错误的是( )
A．∠C＝90°
B．a2＝b2－c2
C．c2＝2a2
D．a＝b
4．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A．－1－
B．1－
C．－
D．－1＋
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))
5．将一根24
cm的筷子，置于底面直径为15
cm，高8
cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为h
cm，则h的取值范围是( )
A．h≤15
B．h≥8
C．8≤h≤17
D．7≤h≤15
6．(甘井子区期末)如图，点A的坐标为(3，0)，B是y轴正半轴上一点，AB＝5，则点B的坐标为( )
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(0，5)
D．(0，)
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
7．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若AB＝，则图中阴影部分的面积为( )
A．
B．
C．
D．5
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))
8．(大悟县期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为
( )
A．9
B．6
C．5
D．4
9．如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形．如果CD＝7，BE＝3，那么AC的长为( )
A．8
B．5
C．3
D．4
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
10．★如图，P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，以AC为边在三角形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论中错误的是( )
A．△APP′是正三角形
B．△PCP′是直角三角形
C．∠APB＝150°
D．∠APC＝135°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知直角三角形的两直角边长分别是3，4，则它的周长为
．
12．若三角形的三边长分别为x＋1，x＋2，x＋3，当x＝
时，此三角形是直角三角形．
13．如图，在一棵树的10米高处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高
米．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
14．★(霍邱县期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，延长BC至点D，连接AD，若△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于
．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．(庆云县期中)计算：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c；
(2)直角三角形的两边分别为3和5，求第三边．
16．(武川县期末)如图，网格中小正方形的边长均为1.请在网格中画出一个△ABC，要求：顶点都在格点(即小正方形的顶点)上；三边长满足AB＝，BC＝2，
AC＝，并求出该三角形的面积．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．(香坊区期末)我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为(3，4，5)，可以看作(22－1，2×2，22＋1)；同时8，6，10也为勾股数组，记为(8，6，10)，可以看作(32－1，2×3，32＋1).类似的，依次可以得到第三个勾股数组(15，8，17).
(1)请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；
(2)若设勾股数组中间的数为2n(n≥2，且n为整数)，根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．
18．(建邺区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC＝3，D是CA延长线上一点，AD＝5，BD＝4.求证：AB⊥BD.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25
km，C，D为两村庄，AC＝10
km，BD＝15
km，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
20．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝DC，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由．
六、(本题满分12分)
21．(内乡县期末)如图，是超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC＝24
cm，CB＝18
cm，两轮中心的距离AB＝30
cm，求点C到AB的距离．(结果保留整数)
七、(本题满分12分)
22．如图①所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图②所示．已知展开图中每个正方形的边长均为1.
(1)求在该展开图中可画出的最长线段的长度，这样的线段可以画几条？
(2)求∠B′A′C′的度数？说明理由；
(3)在图①中若蚂蚁从点A′沿着正方体的表面爬行到点C
，试求爬行的最短路程．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(①))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(②))
八、(本题满分14分)
23．(蜀山区期中)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，
BC＝6厘米，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)求出发2秒后，
PQ的长；
(2)点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列各组数中是勾股数的是
( C )
A．0.3，0.4，0.5
B．3k，4k，5k
C．7，24，25
D．，，1
2．(宜城期末)下列各组线段中能组成直角三角形的是
( D )
A．a＝，b＝，c＝
B．a＝，b＝，c＝
C．a＝2，b＝3，c＝4
D．a＝3，b＝3，c＝3
3．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且∠A
∶∠B
∶∠C＝1∶1∶2，则下列说法中错误的是
( B )
A．∠C＝90°
B．a2＝b2－c2
C．c2＝2a2
D．a＝b
4．(瑶海区期末)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为
( A )
A．－1－
B．1－
C．－
D．－1＋
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))
5．将一根24
cm的筷子，置于底面直径为15
cm，高8
cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为h
cm，则h的取值范围是
( C )
A．h≤15
B．h≥8
C．8≤h≤17
D．7≤h≤15
6．(甘井子区期末)如图，点A的坐标为(3，0)，B是y轴正半轴上一点，AB＝5，则点B的坐标为
( B )
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(0，5)
D．(0，)
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
7．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若AB＝，则图中阴影部分的面积为
( D )
A．
B．
C．
D．5
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))
8．(大悟县期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为
( C )
A．9
B．6
C．5
D．4
9．如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形．如果CD＝7，BE＝3，那么AC的长为
( B )
A．8
B．5
C．3
D．4
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
10．★如图，P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，以AC为边在三角形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论中错误的是
( D )
A．△APP′是正三角形
B．△PCP′是直角三角形
C．∠APB＝150°
D．∠APC＝135°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知直角三角形的两直角边长分别是3，4，则它的周长为12．
12．若三角形的三边长分别为x＋1，x＋2，x＋3，当x＝2时，此三角形是直角三角形．
13．如图，在一棵树的10米高处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高15米．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
14．★(霍邱县期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，延长BC至点D，连接AD，若△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于5或
．
选择、填空题答题卡
一、选择题(每小题4分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
答案
C
D
B
A
C
B
D
C
B
D
二、填空题(每小题5分，共20分)得分：________
11．__12__ 12.__2__
13．__15__
14.__5或__
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．(庆云县期中)计算：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c；
解：利用勾股定理，得
c＝＝＝17，即c＝17.
(2)直角三角形的两边分别为3和5，求第三边．
解：当5是直角边时，第三边＝＝，
当5是斜边时，第三边＝＝4，
∴第三边长为或4.
16．(武川县期末)如图，网格中小正方形的边长均为1.请在网格中画出一个△ABC，要求：顶点都在格点(即小正方形的顶点)上；三边长满足AB＝，BC＝2，
AC＝，并求出该三角形的面积．
解：如图，△ABC即为所求．
则S△ABC＝3×3－×1×3－×2×2－×1×3＝4.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．(香坊区期末)我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为(3，4，5)，可以看作(22－1，2×2，22＋1)；同时8，6，10也为勾股数组，记为(8，6，10)，可以看作(32－1，2×3，32＋1).类似的，依次可以得到第三个勾股数组(15，8，17).
(1)请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；
(2)若设勾股数组中间的数为2n(n≥2，且n为整数)，根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．
解：(1)上述四组勾股数组的规律是
32＋42＝52，62＋82＝102，82＋152＝172，
即(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2，
∴第5个勾股数组为(35，12，37).
(2)勾股数组为n2－1，2n，n2＋1.
18．(建邺区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC＝3，D是CA延长线上一点，AD＝5，BD＝4.求证：AB⊥BD.
证明：∵∠ABC＝∠ACB，AC＝3，
∴AB＝AC＝3，
又∵AD＝5，BD＝4，
∴AB2＋BD2＝25＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25
km，C，D为两村庄，AC＝10
km，BD＝15
km，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
解：设AE＝x，则
BE＝25－x，
在Rt△ACE中，
CE2＝AC2＋AE2
＝102＋x2.
在Rt△BDE中，
DE2＝BD2＋BE2＝152＋(25－x)2.
由题意可知CE＝DE.
∴102＋x2＝152＋(25－x)2，解得x＝15.
∴E应建在距A点15
km处．
20．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝DC，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由．
解：BE⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4k，则
AE＝ED＝2k，DF＝k，CF＝3k.
在Rt△ABE中，
BE2＝AB2＋AE2＝(4k)2＋(2k)2＝20k2.
在Rt△DEF中，
EF2＝ED2＋DF2＝(2k)2＋k2＝5k2.
在Rt△CFB中，
FB2＝CF2＋CB2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2.
在△BEF中，∵BE2＋EF2＝20k2＋5k2＝FB2，
∴△BEF是直角三角形，且∠BEF是直角，∴BE⊥EF.
六、(本题满分12分)
21．(内乡县期末)如图，是超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC＝24
cm，CB＝18
cm，两轮中心的距离AB＝30
cm，求点C到AB的距离．(结果保留整数)
解：过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即为点C到AB的距离，
在△ABC中，∵AC＝24，CB＝18，AB＝30，
∴AC2＋CB2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵S△ABC＝AC·BC＝CE·AB，
∴AC·BC＝CE·AB，即24×18＝CE×30，
∴CE＝14.4≈14，
答：点C到AB的距离约为14
cm.
七、(本题满分12分)
22．如图①所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图②所示．已知展开图中每个正方形的边长均为1.
(1)求在该展开图中可画出的最长线段的长度，这样的线段可以画几条？
(2)求∠B′A′C′的度数？说明理由；
(3)在图①中若蚂蚁从点A′沿着正方体的表面爬行到点C
，试求爬行的最短路程．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(①))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(②))
解：(1)如图②，A′H＝1＋1＋1＝3，C′H＝1，
即最长线段A′C′的长度是＝，这样的线段可以画4条，如图②线段EB′，线段FM，线段A′C′，线段GH.
(2)连接B′C′，
由图形可知：A′B′＝，B′C′＝，A′C′＝，
∴A′B′2＋B′C′2＝A′C′2.
即△A′B′C′是等腰直角三角形，
∴∠B′A′C′＝45°.
(3)如图所示展开：连接A′C，则线段A′C的长就是蚂蚁从点A′沿着正方体的表面爬行到点C的最短路程，
在Rt△A′C′C中，A′C′＝1＋1＝2，C′C＝1，∠A′C′C＝90°，
由勾股定理，得A′C＝＝.
答：爬行的最短路程为.
八、(本题满分14分)
23．(蜀山区期中)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，
BC＝6厘米，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)求出发2秒后，
PQ的长；
(2)点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
解：(1)BQ＝2×2＝4，
BP＝AB－AP＝8－2×1＝6，
∵∠B＝90°，
PQ＝
＝2(厘米).
INCLUDEPICTURE
"ZHS101A.tif"
答图①
答图②
答图③
(2)分三种情况：
①当CQ＝BQ时，
如答图①所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC＋CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒；
②当CQ＝BC时，如答图②所示，
则BC＋CQ＝12，
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如答图③所示，
过点B作BE⊥AC于点E，
由勾股定理得
AC＝＝10，
则BE＝＝＝4.8，
∴CE＝＝3.6，
∴CQ＝2CE＝7.2，∴BC＋CQ＝13.2，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
综上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
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精品试卷·第
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