北京市丰台区2021届高三上学期期末练习数学试题 Word版含答案

丰台区2020~2021学年度第一学期期末练习
高三数学 2021.01
考生须知：
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 本试卷共150分，考试时间120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合false，那么false
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（2）在等差数列false中，若false，则false
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（4）若函数false则函数false的值域为
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（5）若关于false的方程组false无解，则false
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（6）下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意false，都有false；②存在区间false，false在区间false上单调递减的函数是
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（7）已知false是等比数列，false为其前false项和，那么“false”是“数列false为递增数列”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科）．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节；物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（9）在平面直角坐标系中，false是直线false上的两点，且false．若对于任意点false，存在false使false成立，则false的最大值为
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（10）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度false(毫克/立方米)与时间false(分钟)之间的函数关系为false(false为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是
（A）9:40
（B）9:30
（C）9:20
（D）9:10
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在复平面内，复数false对应的点在直线false上，则实数false_____．-1746885152400-1746885152400-1746885162560-1175385162560
（12）已知双曲线false的一条渐近线方程为false，那么该双曲线的离心率为_____．
（13）已知正六边形false的边长为1，那么false_____；若false，则false_____．
（14）函数false的最小正周期false_____，将函数false的图象向左平移false个单位长度，得到函数false的图象. 若函数false的最大值为2，则false的值可以为_____．
（15）对于平面直角坐标系内的任意两点false，定义它们之间的一种“距离”为false．已知不同三点false满足false，给出下列四个结论：
①false三点可能共线；
②false三点可能构成锐角三角形；
③false三点可能构成直角三角形；
④false三点可能构成钝角三角形．
其中所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
357060546990如图，在三棱柱false中， 侧面false和false
都是正方形，平面false平面false，false分别为
false的中点．
（Ⅰ）求证：false平面false；
（Ⅱ）求直线false与平面false所成角的正弦值．
（17）（本小题13分）
在false中，已知false，false,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）求false；
（Ⅱ）求false的面积．
条件①：false；条件②：false．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数据按不同年龄段整理如下表：
男性
女性
打包
不打包
打包
不打包
第1段
250
650
450
650
第2段
300
600
550
550
第3段
600
400
750
250
第4段
850
350
650
150
假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立．
（Ⅰ）分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率，该市女性居民外出就餐有剩余时打包的概率；
（Ⅱ）从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取1人，记这2人中恰有false人外出就餐有剩余时打包，求false的分布列；
（Ⅲ） 假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，用“false”表示第false段居民外出就餐有剩余时打包，“false”表示第false段居民外出就餐有剩余时不打包(false)，写出方差false的大小关系．（只需写出结论）
（19）（本小题15分）
已知函数false．
（Ⅰ）当false时，求曲线false在点false处的切线方程；
（Ⅱ）如果函数false在区间false上有极值，且false对于false恒成立，求false的取值范围．
（20）（本小题15分）
已知椭圆false过false两点．
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（Ⅱ）直线false与false轴交于点false，过点false作不垂直于坐标轴且与false不重合的直线false，false与椭圆false交于false两点，直线false分别交直线false于false两点，求证：false为定值．
（21）（本小题15分）
已知false是由正整数组成的无穷数列，该数列前false项的最大值记为false，最小值记为false，令false．
（Ⅰ）若false，写出false的值；
（Ⅱ）证明：false；
（Ⅲ）若false是等比数列，证明：存在正整数false，当false时，false是等比数列．
丰台区2020—2021学年度第一学期期末练习
高三数学 答案
2021．01
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
C
A
B
D
C
B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．false 12．false 13． false
14．false，false（答案不唯一） 15．①③④（全部选对得5 分，不选或有错选得0分，其他得3 分）
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
3942080212090（Ⅰ）证明：取false中点false，连接false，
在false中，false分别是false的中点，
所以falsefalse，false．
在三棱柱false中，
四边形false为正方形，false为false中点，
所以falsefalse，false．
所以false，false．
所以四边形false为平行四边形．
所以false．
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false．
（Ⅱ）解： 因为平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
正方形false中falsefalse，
所以false平面false．
所以false．
正方形false中false．

如图建立平面直角坐标系false．
不妨设false，则false，false，false，false，false，
false，false．
所以false，false，false．
378079015875 设平面false的法向量false，则
false， 即false．
令false，则false．
于是false．
设直线false与平面false所成的角为false，
所以false．
所以直线false与平面false所成角的正弦值为false．
（17）（本小题13分）
解①：（Ⅰ） 因为false，
所以false．
所以false．
所以false．
（Ⅱ） 由正弦定理得false．
所以false．
解②：（Ⅰ） 由false得false．
由正弦定理得false．
（Ⅱ）由余弦定理false，得
false．
即false，
解得false（false舍）．
所以false．
（18）（本小题14分）
（Ⅰ）解： 设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件false；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件false.
男性居民外出就餐有剩余时打包的有250+300+600+850=2000人，男性居民外出就餐有剩余时不打包的有650+600+400+350=2000人，被调查的男性居民有2000+2000=4000人，
所以false．
女性居民外出就餐有剩余时打包的有450+550+750+650=2400人，女性居民外出就餐有剩余时不打包的有650+550+250+150=1600人，被调查的女性居民有2400+1600=4000人，
所以false．
（Ⅱ）解： false的所有可能取值为0,1,2.
由题设知，事件false与false相互独立，且
false，false．
所以false，
false，
false．
所以false的分布列为
false
0
1
2
false
false
false
false
（Ⅲ）解： false
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ） 当false时，因为false，
所以false．
因为false，false，
所以曲线false在点false处的切线方程为false，
即false．
（Ⅱ）因为false，函数false在区间false上有极值，
所以false．
所以false．
当false变化时，false，false的变化情况如下表：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
因为false对于false恒成立，
所以false，且false．
所以false，即false．
因为false，
所以false．
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ） 由椭圆false过false，false两点，得
false，false．
所以false．
所以椭圆W的方程为false．
（Ⅱ） 由false，
设直线false的方程为false.
由false得false．
且false.
设false，则false．
记直线false的方程为false，
令false，得false点的纵坐标false．
记直线false的方程为false，
令false，得false点的纵坐标false．
false
所以false为定值1．
方法2：
false
false
所以false为定值1．
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ） false，false，false．
（Ⅱ） 由题意知false，false，
所以false．
所以false，即false．
（Ⅲ） 由题意知false，及false，
①当false时，得false，即false．
所以false．
所以false．
即false为公比等于1的等比数列．
②当false时，令false，则false．
当false时，
显然false．
若false，则false，与false矛盾，
所以false，即false．
取false，当false时，
false，显然false是等比数列．
综上，存在正整数false，使得false时，false是等比数列.