海淀区2020-2021学年第一学期期末练习
高一数学
2021.01
学校
班级
姓名
成绩
考
生
须
知
1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题.
满分100分.
考试时间90分钟.
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名.
3．试题答案一律填涂或书写在试卷上.
4．考试结束，请将本试卷交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合，集合
A
与
B
的关系如图所示，则集合可能是
（
）
A.
B.
C.
D.
（2）
若，则为
（
）
A.
B.
C.
D.
（3）
下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是
（
）
A.
B.
C.
D.
（4）
某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样
的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了
（
）
A.
18人
B.
36人
C.
45人
D.
60人
（5）
已知，且，则下列不等式一定成立的是
（
）
A.
B.
C.
D.
（6）
从数字2,
3,
4,
6中随机取两个不同的数，分别记为x和y，则为整数的概率是
（
）
A.
B.
C.
D.
（7）
已知函数，下列区间中含有的零点的是
（
）
A.
B.
C.
D.
（8）
已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的
（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
（9）
对任意的正实数x,y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
（10）植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.
现要根据这
些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是
（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.
（11）不等式的解集为_________.
（12）某超市对6个时间段内使用两种移动支付方式的
次数用茎叶图作了统计，如图所示.
使用支付方式A
的次数的极差为_______；若使用支付方式B的次数
的中位数为17，则m
=________.
（13）已知，则a，b，c的大小关系是________________.（用“＜”连结）
（14）函数的定义域为D，给出下列两个条件：
①
对于,
当时，总有；
②
在定义域内不是单调函数.
请写出一个同时满足条件①②的函数，则_________.
（15）已知函数给出下列四个结论：
①
存在实数a，使函数为奇函数；
②
对任意实数a，函数既无最大值也无最小值；
③
对任意实数a和k，函数总存在零点；
④
对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数在区间上单调递减.
其中所有正确结论的序号是_____________.
三、解答题：本大题共4小题，共40.
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（16）（本小题共9分）
已知全集，，.
求：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
（17）（本小题共10分）
已知函数.
（Ⅰ）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；
（Ⅱ）解不等式.
（18）（本小题共10分）
某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年.
现
从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故
障发生在保修期内的数据如下：
型号
甲
乙
首次出现故障的
时间（年）
硬盘数（个）
2
1
2
1
2
3
假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.
（Ⅰ）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的
概率；
（Ⅱ）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故
障发生在保修期的第3年（即）的概率.
（19）（本小题共11分）
函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数
具有性质.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.
①
；
②
；
（Ⅱ）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.
求证：是偶函数；
（Ⅲ）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值
范围.
高一年级（数学）
第2页（共2页）海淀区2020-2021学年第一学期期末练习
高一数学
参考答案及评分建议
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
D
B
C
A
C
B
二、填空题：
（11）
（12）23；8
（13）a＜c＜b
（14）（答案不唯一）
（15）①②④
注：第（11）题解答正确但未写成集合形式或集合书写不正确的得3分；第（12）题每空2分；第（13）题写成b＞c＞a的不扣分；第（14）题答案不唯一，只要解析式符合题意均得满分；第（15）题分为0分，2分和4分三档，不答或含有③的得0分，答案是①②④中的一个或两个的得2分，答案是①②④的得4分.
三、解答题：本大题共4题，共40.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（16）解：不等式的解为，
故.
……………………………………………………………………………2分
（Ⅰ）.
…………………………………5分
（Ⅱ），
…………………………………………………………………7分
.
………………………9分
（17）（Ⅰ）证明：任取，且，
……………………………………………1分
则
………………………………………………………2分
………………………………………………………4分
∵，且，
∴.
…………………………………………………………………5分
∴.
即.
∴函数在区间上单调递增.
………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵,
……………………………………………………………………………7分
又∵函数在区间上单调递增，且,
∴，
…………………………………………………………………………………8分
∴,
…………………………………………………………………………………9分
∴.
∴不等式的解集为.
……………………………………………………………………10分
（18）解：（Ⅰ）在图表中甲品牌的个样本中，首次出现故障发生在保修期内的频率为，即.
………………………………………………………………………………………1分
设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内为事件.
………………………………………………………………………………………2分
利用频率估计概率，得.
所以从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，估计其首次出现故障发生在保修期内的
概率为.
………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）在图表中甲品牌的个样本中，首次出现故障发生在保修期第3年的频率为，即.
在图表中乙品牌的个样本中，首次出现故障发生在保修期第3年的频率为.
………………………………………………………………………………………5分
设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内的第三年为事件，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内的第三年为事件.
……………………………………………………………………………6分
利用频率估计概率，得，.
………………………………………7分
所以某人在该商城同时购买了甲、乙两个品牌的固态硬盘各一个，估计保修期内恰有一个首次出现故障的概率为.
……………………………………………………………………………10分
（19）解：（Ⅰ）对于①
，对于任意实数x，可得,
所以具有性
质；
…………………………………………………………………………………………………2分
对于②，对于任意实x，可得.
易知,
只需取,
则可得,
所以不具有性质
…………………………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）设二次函数满足性质.
则对于任意实数x,
满足.
…………………………………………………………………………………………………5分
若,
则可取,
有,
矛盾.
…………………………………………………………………………………………………6分
所以,
此时
即为偶函数.
…………………………………………………………………………………………………7分
（Ⅲ）由于,
函数的定义域为R.
易知.
若函数具有性质，则对于任意实数x,
有
.
即.
…………………………………………………………………8分
即.
由于函数在上单调递增,
可得.
…………………………………………………………………9分
即.
当时，得，对任意实数x恒成立.
当时，易知，由，得，得，
得.
依题意，对任意实数x恒成立，
所以即
当时，易知，由，得，得，
得.
依题意，对任意实数x恒成立，
所以即
综上所述，a的取值范围为.
……………………………………………………………………………………………11分
注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.
海淀高一期末数学参考答案
第2页（共2页）
