北师大版 八年级下册数学 1.1.1等腰三角形课件（27张PPT）

八年级数学（下）第一章 三角形的证明
第一课时 等腰三角形
学习目标
1、了解作为证明基础的8条基本事实
2、经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，学会综合法证明等腰三角形的有关性质定理
3、让学生学会分析几何证明题的思路、基本步骤和书写格式
4、学会根据图形的性质学会添加辅助线的规律
学习重点和难点
重点：等腰三角形的性质定理的证明
难点：用语言叙述的几何命题的证明
自学指导
阅读课本2-4页，回答下列问题：
1、回顾：作为证明基础的8条基本事实
2、运用基本事实和已学过的定理能证明三角形全等的结论么？
三角形全等的判定公理有-----------------
三角形的全等又能得到那些正确的结论--------
3、等腰三角形有哪些性质---------------------
利用已有的公理和定理证明上述结论：
总结命题证明题的思路、基本步骤和书写格式
4、 尝试证明：等边对等角。还有其他方法么？
5、根据等腰三角形的-------------得出添加辅助线的规律
6、自学检测：随堂练习和习题1、2
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ）
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
　推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
证明:
∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）,
AB=A′B′（已知）,
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
′
驶向胜利的彼岸
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证:△ABC≌△A′B′C′.
几何的三种语言
推论:
两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
在△ABC与△A′B′C′中
∵∠A=∠A′
　∠C=∠C′
　AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
′
驶向胜利的彼岸
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
证明后的结论,以后可以直接运用.
1.如图:已知在△ABC和△DEF 中AC=DF,AB=DE,∠C=∠F=100°,则△ABC和△DEF会全等吗?若能请证明;若不能请说明理由.
A
B
C
D
E
F
其它条件不变若∠B=∠E=70°
等腰三角形的性质
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).
你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
议一议P2
1
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
1
2
A
C
B
D
定理 等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角
已知：如图，在ΔABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C
A
C
B
证明：取BC的中点D，连接AD。
D
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)
◆做∠BAC的平分线，交BC边于D； 过点A做AD⊥BC。
你还有其他证明方法吗 与同伴进行交流。
命题的证明
议一议P2
2
此时AD还是什么线?
胜利属于敢想敢干的人.
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
已知:
如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
在Rt△ABD与Rt△ACD中
∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）,
∴ △ABD≌△ACD（HL）.
D
证明:
过点A作AD⊥BC,交BC于点D.
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
几何的三种语言
议一议P2
3
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知).
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知).
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.
知识的巩固
◆证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论;
(2)根据题意画出相应的图形;
(3)根据题设和结论写出已知,求证;
(4)分析证明思路,写出证明过程.
1.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,
且AC垂直BD,AC=BC=CD.
(1) 求证:△ABD是等腰三角形
(2)求∠ABD的度数
A
B
C
D
开拓思维
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内:
已知:如图,AB=CD,AD=CB.
求证:∠A=∠C.
证明:连接BD,
在△BAD和△DCB中,
∵ AB=CD( )
AD=CB( )
BD=DB( )
∴ △BAD≌ △DCB( )
∴ :∠A=∠C ( )
A
B
C
D
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证:∠A=∠D
A
B
C
D
E
F
等腰三角形△ABC,AB=AC,BD⊥AC
探索∠DBC与∠A之间关系?
┏
A
B
C
D
探索与拓展
等腰三角形△ABC,AB=AC, DE⊥AC, DF⊥AB, CH⊥AB
探索DE、DF、 CH的关系?
A
B
C
A
B
C
D
┓
┓
┓
等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高
E
F
H
D
┓
┓
┓
E
F
H
DE+DF=CH
演示
A
B
C
方法1：在HC上取一点G，使FD=HG
D
┓
┓
┓
E
F
H
●
G
DE+DF=CH
A
B
C
方法2：过D点作DG∥HF
D
┓
┓
┓
E
F
H
●
G
DE+DF=CH
A
B
C
D
┓
┓
┓
E
F
H
●
G
DE+DF=CH
方法3：过D点作DG⊥HF
还有好方法吗？
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
已知:
如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
在Rt△ABD与Rt△ACD中
∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）,
∴ △ABD≌△ACD（HL）.
D
证明:
过点A作AD⊥BC,交BC于点D.
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
几何的三种语言
议一议P2
3
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.