北师大版九年级数学下册第二章教学课件：2.4.1 应用二次函数 求几何图形最值(共21张PPT)

第二章
二次函数
2.4.1 应用二次函数求几何图形最值
教学目标
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．（重点）
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．（难点）
新课导入
情境引入
二次函数的最值求法：
①当a>0时,y有最小值＝
②当a<0时,y有最大值＝
二次函数
顶点坐标为
新课导入
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
N
40m
30m
A
B
C
D
┐
例题1：
新课导入
解析：
新知探究
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少(结果精确到0.01m?)?
跟踪训练：
新知探究
解：
因此，当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约是 4.02m2.
新知探究
例题2 :
在美化城市的建设中,某街道想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设BC=xm.
(1)若花园的面积为195m2,求x的值.
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是6m和8m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S(m2)的最大值.
新知探究
(1)根据题意,BC=xm,则AB=(28-x)m,故x(28-x)=195,
解得x=13或x=15.
解 :
(2)∵P与墙CD,AD的距离分别是6m和8m,
∴x≥6且28-x≥8,解得6≤x≤20,
由题意可得S=x(28-x)=-x?+28x
=-(x-14)2+196,
∴当x=14时,S取得最大值,最大值为196.
答:花园面积S的最大值为196m2.
课堂小结
“最大面积” 问题解决的基本思路:
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系.
3.用数量关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
规律方法：
课堂小结
先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
课堂小测
1.用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．
课堂小测
解：
根据题意，可得
m,
m
m
m
m
课堂小测
2．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．
（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿
色地面砖的费用为每平方米20元.当广场四角小正方形的边
长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多
少？
课堂小测
(1)、设矩形广场四角的小正方形的边长为x米.
根据题意,得4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5200，
整理得x2－45x＋350＝0，
解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，
所以要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，
则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
解 ：
课堂小测
（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，
广场四角的小正方形的边长为x米，则
y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]
即y＝80x2－3600x＋240000，配方得
y＝80（x－22.5）2＋199500，
当x＝22.5时，y的值最小，最小值为199500，
所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，
铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199500元．
课堂小测
课堂小测
(1)在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，
解:
课堂小测
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，
（2）当m=8时，
∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
当EC=6时,
m=CD=BE=2,
m=CD=BE=6;
∴当EC=2时，
化成顶点式:
，得
x
得关于x的方程:
（3）由
，及
x
课堂小测
4.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
课堂小测
（1）依题意得y=(40-2x)x．
∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0< x <20．
（2）当y=210时，由（1）可得-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0．
∵ a=1，b=-20，c=105，
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
解：
∴
，