从将军饮马到胡不归
——“PA+k?PB”型的最值问题探究
学习重难点
能够题目中找到基本模型，并能正确添加辅助线；
能利用胡不归模型解答一般问题。
知识点梳理
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
今天我们就要学习“胡不归”问题的解题技巧和策略。
知识点梳理一、模型认识
在前面的“将军饮马”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，当遇到“kPA+PB”最值问题时，我们要根据其中P点轨迹来运用不同的解题方法加以解决，如果是P点轨迹直线，就是我们所说的“胡不归”问题。
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题。
知识点梳理二、模型建立
【模型讲解】将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
少年想要尽快回家，应沿着驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
知识点梳理三、技巧总结——“胡不归”构造某角正弦值等于小于1的系数
起点构造所需角（k=sin∠CAE）——过终点作所构角边的垂线——利用垂线段最短解决问题
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
思考：当k值大于1的时候，“PA+k?PB”线段求和问题该如何转化呢？
提取系数k即可。
三．典型例题
考点1：与三角形有关的“胡不归”问题
【例1】
如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为AC中点，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是
．
【答案】5
【解析】
解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，
∵△ABC是等边三角形，AB＝10，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝10
∴CF＝ACsinA＝10×＝5，
∵点E为AC中点，
∴∠ABE＝＝30°，
∴DH＝，
∴CD+BD＝CD+DH≥CF，
∴CD+BD≥5，
∴CD+BD的最小值是5，
【变式1-1】
如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是
．
【答案】4
【解析】
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
【变式1-2】
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，P为AC上一动点，AB＝10，则2BP+AP的最小值为
．
【答案】5+5
【解析】
解：如图，在射线AC的下方作射线AM，使得∠CAM＝45°，过点P作PH⊥AM于H，过点B作BT⊥AM于T，交AC于K．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，∠ABC＝60°，
∴BC＝ABcos60°＝5，AC＝ABsin60°＝5，
∵∠ATK＝90°，∠TAK＝45°，
∴∠AKT＝∠CK＝∠CBK＝45°，
∴CK＝BC＝5，AK＝AC﹣CK＝5﹣5，
∴KT＝AK＝﹣，BK＝5，
∴BT＝KT+BK＝，
∵∠PHA＝90°，
∴PH＝PA，
∴2PB+PA＝2（PB+PA）＝2（PB+PH），
∵PB+PH≥BT，
∴PB+PH≥，
∴PB+PH的最小值为，
∴2PB+PA的最小值为5+5．
【变式1-3】
在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，P是AB边上一动点，则PC+AP的最小值为
．
【答案】2
【解析】
解：如图，
在△ABC外作∠MAB＝∠BAC＝30°
过点C作CE⊥AM于点E，交AB于点P，
∴EP＝AP
当CP⊥AM时，PC+AP＝PC+PE的值最小，
最小值是CE的长，
在Rt△ACE中，∠CEA＝60°，AC＝4
∴CE＝ACsin60°＝2．
∴PC+AP的最小值为2．
【变式1-4】
如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为
．
【答案】
【解析】
解：如图，
在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，
作CG∥AB
∴∠GCA＝∠CAB＝30°
过点D作DF⊥CG交AC于点E，
∴EF＝CE
所以DE+CE＝DE+EF＝DF最小，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，
∴AB＝＝2
∵D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB＝
∵∠DCF＝60°
∴DF＝DCcos60°＝
所以DE+CE的最小值为．
考点2：与四边形有关的“胡不归”问题
【例2】
如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为
．
【答案】3
【解析】
解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴PE＝AP，
∵∠DAF＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝6＝3，
∴DF＝3，
∵AP+PD＝PE+PD，
∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，
PE+DP的值最小，最小值为DF的长，
∴AP+PD的最小值为3．
故答案为：3．
【变式2-1】
如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为
．
【答案】
【解析】
解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，
∴EH＝1﹣2x，
∴ME+2AF＝+2＝+，
欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），
作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，
∵J′（0，﹣4），K（1，1），
∴KJ′＝＝，
∴ME+2AF的最小值为，
故答案为．
【变式2-2】
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于
．
【答案】3
【解析】
解：如图，过点P作PE⊥AD交AD的延长线于E，过点B作BM⊥AE于M．
在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴BM＝AB＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠PDE＝∠A＝30°，
∵∠PED＝90°，
∴PE＝PD，
∵PB+PD＝BP+PE，
∵BP+PE≥BM，
∴BP+PE≥3，
∴BP+PE的最小值为3，
∴PB+PD的最小值为3．
【变式2-3】
菱形ABCD边长为4，∠ABC＝60°，点E为边AB的中点，点F为AD上一动点，连接EF、BF，并将△BEF沿BF翻折得△BE′F，连接E'C，取E'C的中点为点G，连接DG，则2DG+E′C最小值为
．
【答案】
【解析】
解：过点DA作DH⊥BC交BC的延长线于H，取BC的中点M，连接GM，在MC上截取MQ，使得MQ＝，连接GQ，DG．
∵AE＝EB＝2，
由翻折的性质可知，BE′＝BE＝2，
∵CG＝GE′，CM＝MB，
∴GM＝BE′＝1，
∵BM＝MC＝2，MQ＝，
∴MG2＝MQMC，
∴＝，
∵∠GMQ＝∠GMC，
∴△GMQ∽△CMG，
∴＝＝，
∴GQ＝GC＝CE′，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥CH，
∴CH＝CDcos60°＝2，DH＝CH＝2，
∵QH＝QC+CH＝+2＝，
∴QD＝＝＝，
∵2DG+CE′＝2（DG+CE′）＝2（DG+GQ）≥2DQ＝，
∴2DG+CE′的最小值为．
故答案为．
【变式2-4】
如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为
．
【答案】4
【解析】
解：如图，过点A作AH⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∴MH＝BM，
∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，
∴∠ATB＝90°，
∴AT＝ABsin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥4，
∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值为4，
故答案为4．
【变式2-5】
如图，矩形ABCD中AB＝3，BC＝，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE+CE的最小值为
．
【答案】3
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ET＝AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，
∴CH＝ACsin6°＝2×＝3，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴AE+EC≥3，
∴AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
【变式2-6】
如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是
．
【答案】4
【解析】解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，
∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，
∴∠DBA＝30°，
∴BD＝2AD，
∵BF＝2DE，
∴＝＝2，
∴△DBF∽△ADE，
∴＝＝2，
∴DF＝2AE，
∴AF+2AE＝AF+DF，
∵FB⊥AT，BA＝BT，
∴FA＝FT，
∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，
∵DT＝＝＝4，
∴AF+2AE≥4，
∴AF+2AE的最小值为4，
故答案为：4．
【变式2-7】
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于
．
【答案】6
【解析】
解：如图，过点P作AD的垂线，交AD延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴EP＝DP，即DP＝2EP，
∴2PB+PD＝2（PB+PE），
当点B、P、E三点共线时，PB+EP有最小值，最小值等于BE的长，此时2PB+PD的最小值等于2BE的长，
∵此时在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝6，
∴BE＝AB＝3，
∴2PB+PD的最小值等于6．
故答案为：6．
【变式2-8】
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于
．
【答案】4
【解析】
解：如图过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴EP＝DP，
要求PB+PD的最小值，即求PB+EP的最小值，
当点B、P、E三点共线时，
PB+EP取最小值，最小值为BE的长，
∵在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝8，
∴BE＝AB＝4．
故答案为：4．
【变式2-9】
如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C＝60°，CD＝4，则PB+PD的最小值为
．
【答案】2
【解析】
解：如图，连接PA，连接BD，过点P作PE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD于F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD，△DCB都是等边三角形，
∴AD＝DB，∠ADB＝60°，
∵PA＝PB，DA＝DB，
∴PD⊥AB，
∴∠ADP＝∠BDP＝∠ADB＝30°，
∵PE⊥AD，
∴∠PED＝90°，
∴PE＝PD，
∴PB+PD＝PB+PE，
∵BF⊥AD，
∴PB+PE≥BF，
∵BF＝ABsin60°＝2，
∴PB+PD≥2，
∴PB+PD最小值为2．
故答案为2．
考点3：在平面直角坐标系中的“胡不归”问题
【例3】
如图，已知点A坐标为（，1），B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB度数为
，在点B运动的过程中AB+OB的最小值为
．
【答案】30°；．
【解析】
解：过A作AC⊥x轴于点C，延长AC到点D，使AC＝CD，过D作DE⊥OA于点E，与x轴交于点F，
∵点A坐标为（，1），
∴AC＝CD＝1，OC＝，
∴tan∠AOB＝，
∴∠AOB＝30°，
∴∠DAE＝60°，EF＝OF，
∴DE＝ADsin60°＝，
当点B与点F重合时，AB+OB＝AF+OF＝DF+EF＝DE＝，
根据垂线段最短定理知，此时AB+OB＝为最小值．
故答案为30°；．
【变式3-1】
如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+与x轴交于点C，与y轴变于点A，分别以OC、OA为边作矩形ABCO，点D、E在直线AC上，且DE＝1，则BD+CE的最小值是
．
【答案】
【解析】
解：如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．
y＝﹣x+与x轴交于点C，与y轴变于点A，
∴A（0，），C（，0），
∴OA＝，OC＝，
∴tan∠ACO＝＝，
∴∠ACO＝30°，
∵EH⊥OC，
∴EH＝EC，
∵BB′＝DE，BB′∥DE，
∴四边形DBB′E是平行四边形，
∴BD＝B′E，
∵BM∥AC，
∴∠BMC＝∠ACO＝30°，
∵∠BCM＝90°，BC＝，
∴BM＝2BC＝3，
∴B′M＝1+3，
∵∠MFB′＝90°，
∴B′F＝MB′＝，
∵BD+EC＝B′E+EH≥B′H，B′H≥B′F，
∴BD+EC≥，
∴BD+EC的最小值为，
故答案为．
【变式3-2】
如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC+PB的最小值为
．
【答案】4
【解析】
解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PD＝PB，
∴PC+PB＝（PC+PB）＝（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CD＝AC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为＝4，
故答案为：4．
【变式3-3】
在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B为（0，1），若C为线段OA上一动点，则BC+AC的最小值是
．
【答案】
【解析】
解：过点A作直线AD交y轴于点D，使sin∠OAD＝，过点C作CE⊥AD，交AD于点E，
在Rt△AOD中，
sin∠OAD＝，
∴＝，
设OD＝2x，则AD＝3x，
∵A（25，0），
∴OD2+OA2＝AD2
即（2x）2+（3x）2＝（5）2
解得x＝2，
∴OD＝2x＝4，
∵B（0，1），
∴BD＝5，
在Rt△ACE中，
∵sin∠OAE＝，
∴＝，
∴CE＝AC，
∴BC+AC＝BC+CE
当B，C，E在同一直线上，即BE⊥AD时，BC+AC的值最小，最小值等于垂线段BE的长，
此时，△BDE是直角三角形，
∴∠OAD＝∠DBE，
∴sin∠DBE＝，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
在Rt△BDE中，
BE2＝BD2﹣DE2＝25﹣＝，
∴BE＝，
∴BC+AC的值最小值是，
故答案为：．
考点4：“胡不归”问题与二次函数结合
【例4】如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．
【答案】
【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
∵EH∥AB，
∴∠HEB＝∠ABE，
∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，
设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4（s）
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，
∴AD＋DH的最小值为AQ的长，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，
∴OC＝4，则C（0，4），
设直线BE的解析式为y＝kx＋b，
把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，
∴直线BE的解析式为，
解方程组得或，则E点坐标为，
∴，
∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝（s），
即蚂蚁从A到E的最短时间为．
【变式4-1】
抛物线与轴交于点A、B（A在B的左边），与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标.
【答案】
【解析】在抛物线中，
令，即，解得，
，
令，解得，，
设直线AC的解析式为，将A、C两个点坐标代入得，
解得，∴直线AC的解析式为，
设，∵PF⊥轴，且点E在直线AC上，点P在直线AB上方的抛物线上，
，
，
，
，，∴∠CAO＝30?，
过点E作EH∥AB交y轴于点H，则EH⊥y轴且∠CEH＝∠CAO＝30?，，
∵PF⊥x轴，FO⊥OH，EH⊥y轴，∴四边形EFOH为矩形，
，
∴当时，取得最大值，此时，
，∴PC∥轴，
∵PF⊥轴，CO⊥轴，，∴四边形PFOC为矩形，
，
作C关于轴的对称点D，连接DB1，则B1C=B1D，
过O1作OQ∥B1D且O1Q=B1D，连接DQ、PQ,PQ交轴于点G.则四边形O1B1DQ为平行四边形.
当最小时，四边形的周长最小，
而，∴当点与G重合时，的值最小为PQ的长，
∵点C、D关于轴对称，且，
，
的最小值为，即四边形的周长的最小值为，
设直线PQ的解析式为，
将P、Q坐标代入得，解得，
，
令，解得，，即.
【变式4-2】
如图，已知抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【答案】（1）；（2）或；（3）当点F坐标为（﹣2，）时，点M在整个运动过程中用时最少.
【解析】（1）抛物线y＝（x＋2）（x﹣4），
令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线经过点B（4，0），
∴×4＋b＝0，解得b＝
，
∴直线BD解析式为：．
当x＝﹣5时，y＝
，
∴D（﹣5，）．
∵点D（﹣5，）在抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）上，
∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝
，
∴．
∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．
即．
（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，
∴C（0，﹣k），OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，
∴．
∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝
（x＋2）（x﹣4），
得（x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，
解得：．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，
∴．
∴P（x，x＋），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），
得（x＋2）（x﹣4）＝x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（6，2k）．
∵△ABC∽△PAB，
，
∴，
解得，
∵k＞0，
∴，
综上所述，或．
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5，），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝，ON＝5，BN＝4＋5＝9，
∴tan∠DBA＝，
∴∠DBA＝30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF＋DF，运动时间：t＝AF＋DF，
∴t＝AF＋FG，即运动的时间值等于折线AF＋FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF＋FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：，
∴，
∴F（﹣2，）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，）时，点M在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA＝30°，
∴∠BDH＝30°，
∴FH＝DF×sin30°＝，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，
点M在整个运动中用时为：，
∵lBD：，
∴FX＝AX＝﹣2，
∴F（﹣2，）．
【变式4-3】
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点，C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为 ；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）①5个，②t的取值范围≤t≤
【解析】（1）由题意解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点坐标．
（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB＋PD最小．
理由：∵OA＝1，OB＝，
∴tan∠ABO＝，
∴∠ABO＝30°，
∴PH＝PB，
∴PB＋PD＝PH＋PD＝DH，
∴此时PB＋PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，
∴sin60°＝，
∴DH＝，
∴PB＋PD的最小值为；
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，
②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝，∴∠ABO＝30°，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，
以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．
则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，
∵，
∴OE＝OB﹣EB＝，
∵，EF2＝EB2，
∴，
解得或，
故，G，
∴t的取值范围≤t≤.
四．课堂训练
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连结PD，则PD+PC的最小值是（ ）
A．4
B．2+2
C．2
D．
【答案】A
【解析】
解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴DH＝BDsin45°＝2，
∵PJ⊥CB，
∴∠PJC＝90°，
∴PJ＝PC，
∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），
∵DP+PJ≥DH，
∴DP+PJ≥2，
∴DP+PJ的最小值为2，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：A．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，P为BC上动点，则3AP+BP的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．3
D．3+2
【答案】A
【解析】
解：延长AC到H，使得CH＝AC，连接BH，过点P作PJ⊥BH于J，过点A作AK⊥BH于K．
∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，
∴AB＝＝＝3，
∵BC⊥AH，AC＝CH，
∴BA＝BH＝3，
∴sin∠CBH＝＝，
∴sin∠PBJ＝＝，
∴PJ＝PB，
∵S△ABH＝AHBC＝BHAK，
∴AK＝＝＝，
∵3AP+PB＝3（AP+BP）＝3（AP+PJ），
∵AP+PJ≥AK，
∴3AP+PB≥4，
∴3AP+PB的最小值为4，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值（ ）
A．2+6
B．6
C．
+3
D．4
【答案】B
【解析】
解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，
∴DF＝DC，
∵2AD+DC＝2（AD+DC）
＝2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△ABC中，
∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BC＝4，
∴DC＝2，
∴DF＝DC＝1，
∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，
∴2（AD+DF）＝2AF＝6，
∴2AD+DC的最小值为6，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（ ）
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】
解：如图，
在△ABC内作∠MBA＝30°
过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，
∵∠BAC＝15°，
∴∠APE＝45°
∴EP＝AP
当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，
最小值是BE的长，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2
∴BE＝ABcos30°＝．
∴AP+PB的最小值是．
故选：B．
5．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为（ ）
A．4
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【解析】
解：如图，
作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∵△ABC是等边三角形，
AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°
∴PE＝AP
当BP⊥AC时，
AP+BP＝PE+BP的值最小，
此时，AP＝AD＝8．
故选：B．
6．如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝，P为边AD上任意一点，连接PB，则PB+PD的最小值为（ ）
+
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：如图，
连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝DC＝1．BC＝，
∴tan∠DBC＝＝
∴∠DBC＝30°
作∠DBN＝∠DBC＝30°，
过点D作DM⊥BN于点M，BN交AD于点P．
∴∠MDB＝60°
∵AD∥BC
∴∠PDB＝∠DBC＝30°
∴∠MDP＝30°
∴PM＝PD
此时BP+PD＝BP+PM最小，最小值为BM的长，
∵∠MBD＝∠CBD
∠BMD＝∠C＝90°
BD＝BD
∴△BMD≌△BCD（AAS）
∴BM＝BC＝
答：PB+PD的最小值为．
故选：C．
7．已知：A（﹣1，0），C（0，）在y轴上选一点P，使AP+PC最短，则P点坐标为（ ）
A．（0，）
B．（0，）
C．（0，）
D．（0，）
【答案】D
【解析】
解：如图，取一点D（1，0），连接CD，作AN⊥⊥CD于点N，PM⊥CD于点M，
在Rt△COD中，
∵OC＝，OD＝1
∴CD＝＝2
∵∠PCM＝∠DCO，∠CMP＝∠COD＝90°
∴△CPM∽△CDO
∴＝
即＝
∴PM＝PC
∴AP+PC＝AP+PM
∴当AP⊥CD垂足设为点P′（P′与P重合），AP+CP＝AP′+PM的值最小，最小值为AN的长．
∵△AP′O∽△ADN
∴＝
即＝
∴OP＝
所以使AP+PC最短时P点坐标为（0，）．
故选：D．
8．如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点．例如A（1，5）、B（4，1）、C（4，6）都是格点．
（1）直接写出△ABC的面积；
（2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图，D为线段BC上一动点，当AD+BD最小时，找出点D，操作如下：
第一步：作点A关于直线BC的对称点E，连接BE；
第二步：找格点F，使AF⊥BE，AF交BC于点D，交BE于点H，
请你按照步骤完成作图，并直接写出F点的坐标和AD+BD的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）△ABC的面积＝．理由如下：
∵B（4，1）、C（4，6），
∴BC＝6﹣1＝5，
由网格图可知，A点到BC的距离为3，
∴；
（2）根据题意作出图形如下：
由图网格图可知，F（5，2），AD+BD的最小值为．
理由如下：
∵F（5，2），A（1，5），
∴AM＝4，MF＝3，
∴tan∠MAF＝，
∵B（4，1）、C（4，6），A、E点关于BC对称，
∴AK＝EK＝3，BK＝4，
∴tan，
∴∠MAF＝∠KBE，
∵∠ADK＝∠BDH，
∴∠AKB＝∠BHD＝90°，
∴AH⊥BE，
∵，
∴，
∵，
∴DH＝BDsin∠DBH＝BD，
∴AD+BD＝AD+DH＝AD＝．
9．【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB＝2．
（1）如图①，点E为AD的中点，则点E到AB的距离为
；
（2）如图②，点M为AD上一动点，求AM+MC的最小值．
【问题解决】如图③，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM＝
（千米）处．
【答案】（1）；（2）；解决问题：（480﹣120）km
【解析】
解：【问题探究】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC
∴∠BAD＝30°，BD＝1，
∴AD＝
过E作EM⊥AB，垂足为M，
∵E为AD的中点，
∴AE＝，
∴EM＝，
故答案为：．
（2）如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时最小，最小值等于CN，
∵在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，CN⊥AB，
∴∠ACN＝∠BCN＝30°，
∴AN＝AC＝1，
由勾股定理得，CN＝＝＝，
由（1）知，∴，即的最小值为．
【问题解决】如图，作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN＝30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于M，则点M即为所求；
在Rt△ABD中，∵AB＝600km，BD＝360km，
∴，
易知∠MBD＝∠MAF＝30°，
在Rt△MBD中，∠MBD＝30°，BD＝360km，则MB＝2MD，
由勾股定理得，
∴．
故答案为（480﹣120）km．
一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？
【答案】t的最小值＝+．此时AD′＝
【解析】
解：如图，作射线AM交BC的延长线于M，使得∠MAC＝30°，作DH⊥AM．
∵时间t＝＝（AD+BD），DH＝AD，
∴时间t＝（DH+BD），
∴当D，H，B共线，且BH⊥AM时，时间t最小，
作BH′⊥AM于H′交AC于D′，此时时间最小值＝BH′，
∵AB＝90km，BC＝30km，
∴AC＝60（km），
∴CM＝ACtan30°＝20（km），
在Rt△BMH′中，BH′＝BMcos30°＝（20+30）×＝（30+15）（km），
∴t的最小值＝+．此时AD′＝．
11．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MD+OD的最小值．
【答案】
【解析】
解：如图，
作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，
∴CD′＝OD′
所以当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D）
MD+OD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长，
∴在Rt△OCM中，∠OMC＝30°，OM＝2
∴OC＝1，
∴CM＝．
答：MD+OD的最小值为．
Syman从将军饮马到胡不归
——“PA+k?PB”型的最值问题探究
学习重难点
能够题目中找到基本模型，并能正确添加辅助线；
能利用胡不归模型解答一般问题。
知识点梳理
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
今天我们就要学习“胡不归”问题的解题技巧和策略。
知识点梳理一、模型认识
在前面的“将军饮马”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，当遇到“kPA+PB”最值问题时，我们要根据其中P点轨迹来运用不同的解题方法加以解决，如果是P点轨迹直线，就是我们所说的“胡不归”问题。
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题。
知识点梳理二、模型建立
【模型讲解】将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
少年想要尽快回家，应沿着驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
知识点梳理三、技巧总结——“胡不归”构造某角正弦值等于小于1的系数
起点构造所需角（k=sin∠CAE）——过终点作所构角边的垂线——利用垂线段最短解决问题
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
思考：当k值大于1的时候，“PA+k?PB”线段求和问题该如何转化呢？
提取系数k即可。
三．典型例题
考点1：与三角形有关的“胡不归”问题
【例1】
如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为AC中点，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是
．
【变式1-1】
如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是
．
【变式1-2】
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，P为AC上一动点，AB＝10，则2BP+AP的最小值为
．
【变式1-3】
在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，P是AB边上一动点，则PC+AP的最小值为
．
【变式1-4】
如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为
．
考点2：与四边形有关的“胡不归”问题
【例2】
如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为
．
【变式2-1】
如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为
．
【变式2-2】
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于
．
【变式2-3】
菱形ABCD边长为4，∠ABC＝60°，点E为边AB的中点，点F为AD上一动点，连接EF、BF，并将△BEF沿BF翻折得△BE′F，连接E'C，取E'C的中点为点G，连接DG，则2DG+E′C最小值为
．
【变式2-4】
如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为
．
【变式2-5】
如图，矩形ABCD中AB＝3，BC＝，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE+CE的最小值为
．
【变式2-6】
如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是
．
【变式2-7】
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于
．
【变式2-8】
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于
．
【变式2-9】
如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C＝60°，CD＝4，则PB+PD的最小值为
．
考点3：在平面直角坐标系中的“胡不归”问题
【例3】
如图，已知点A坐标为（，1），B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB度数为
，在点B运动的过程中AB+OB的最小值为
．
【变式3-1】
如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+与x轴交于点C，与y轴变于点A，分别以OC、OA为边作矩形ABCO，点D、E在直线AC上，且DE＝1，则BD+CE的最小值是
．
【变式3-2】
如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC+PB的最小值为
．
【变式3-3】
在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B为（0，1），若C为线段OA上一动点，则BC+AC的最小值是
．
考点4：“胡不归”问题与二次函数结合
【例4】如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．
【变式4-1】
抛物线与轴交于点A、B（A在B的左边），与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标.
【变式4-2】
如图，已知抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【变式4-3】
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点，C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为 ；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
四．课堂训练
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连结PD，则PD+PC的最小值是（ ）
A．4
B．2+2
C．2
D．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，P为BC上动点，则3AP+BP的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．3
D．3+2
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值（ ）
A．2+6
B．6
C．
+3
D．4
4．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（ ）
B．
C．
D．2
5．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为（ ）
A．4
B．8
C．10
D．12
6．如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝，P为边AD上任意一点，连接PB，则PB+PD的最小值为（ ）
+
B．2
C．
D．
7．已知：A（﹣1，0），C（0，）在y轴上选一点P，使AP+PC最短，则P点坐标为（ ）
A．（0，）
B．（0，）
C．（0，）
D．（0，）
8．如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点．例如A（1，5）、B（4，1）、C（4，6）都是格点．
（1）直接写出△ABC的面积；
（2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图，D为线段BC上一动点，当AD+BD最小时，找出点D，操作如下：
第一步：作点A关于直线BC的对称点E，连接BE；
第二步：找格点F，使AF⊥BE，AF交BC于点D，交BE于点H，
请你按照步骤完成作图，并直接写出F点的坐标和AD+BD的最小值．
9．【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB＝2．
（1）如图①，点E为AD的中点，则点E到AB的距离为
；
（2）如图②，点M为AD上一动点，求AM+MC的最小值．
【问题解决】如图③，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM＝
（千米）处．
一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？
11．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MD+OD的最小值．
Syman
