专题强化 小船渡河与关联速度问题
[学习目标]
1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题.2.建立两种模型的一般分析思路和解法.
一、小船渡河问题
1.运动分析
小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动.
2.两类常见问题
(1)渡河时间问题
①渡河时间t取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝.
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图1所示，此时t＝.
图1
(2)最短位移问题
①若v水θ＝v水，如图2甲所示.
图2
②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos
θ＝，最短位移x短＝.
(多选)(2019·宜宾市高一质检)如图3所示为长江一段平行江道，一轮船的船头始终垂直指向江岸方向，轮船在静水中运动的速度保持不变，水匀速流动(假设整个江道水流速度相同)，下列说法正确的是( )
图3
A.水流速度越大，轮船行驶位移越大
B.水流速度增大，轮船行驶位移不变
C.水流速度越大，过江时间越短
D.水流速度增大，过江时间不变
答案 AD
解析 因为船垂直于江岸方向的速度不变，而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分速度，设江道宽为d，船垂直于江岸的速度为v，t＝，所以不论水速多大，船过江时间不变，故C错误，D正确.若水速越大，相同时间内沿水速方向的位移就越大，船在水中运动的总位移也就越大，故B错误，A正确.
已知某船在静水中的速度为v1＝5
m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100
m，水流速度为v2＝3
m/s，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝6
m/s，船在静水中的速度为v1＝5
m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
答案 (1)20
s 20
m (2)25
s (3)不能
解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝＝
s＝20
s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l＝，由题意可得x＝v2t＝3×20
m＝60
m，代入得l＝20
m.
(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5
m/s，大于水流速度v2＝3
m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos
θ＝v2，cos
θ＝＝0.6，则sin
θ＝＝0.8，船的实际速度v＝v1sin
θ＝5×0.8
m/s＝4
m/s，所用的时间为t＝＝
s＝25
s.
(3)当水流速度v2′＝6
m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5
m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.
1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水时.
2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直.
3.要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机(或划行)产生的分速度，后者是合速度.
针对训练1 (2018·泸州市高一检测)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图4所示.已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( )
图4
A.船渡河时间为
B.船渡河时间为
C.船渡河过程被冲到下游的距离为·d
D.船渡河过程被冲到下游的距离为·d
答案 C
解析 小船正对河岸运动，渡河时间最短，t＝，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝·d，故A、B、D错误，C正确.
二、关联速度问题
关联速度分解问题是指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.
(3)常见的速度分解模型(如图5)
图5
(多选)如图6所示，人在岸上用跨过定滑轮的绳子拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )
图6
A.人拉绳行走的速度大小为vcos
θ
B.人拉绳行走的速度大小为
C.船的加速度大小为
D.船的加速度大小为
答案 AC
解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转，因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大小v人＝v∥＝vcos
θ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos
θ－Ff＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误.
针对训练2 (2019·鹤壁市期末)如图7所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则( )
图7
A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsin
α
B.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcos
α
C.物体B也做匀速直线运动
D.物体B做匀加速直线运动
答案 B
解析 如图所示，将A物体的速度按图示两个方向分解，绳子速率v绳＝v∥＝vcos
α；而绳子速率等于物体B的速率，则物体B的速率vB＝v绳＝vcos
α，故A错误，B正确；因物体A向下运动的过程中α减小，则cos
α增大，vB增大，B物体加速运动，但不是匀加速运动，故C、D错误.
1.(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是( )
答案 AB
解析 小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动.虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.
2.(小船渡河模型)(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图8甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是( )
图8
A.船渡河的最短时间为100
s
B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C.船在河中航行的轨迹是一条直线
D.船在河水中的最大速度为7
m/s
答案 AB
解析 由运动的独立性可知，垂直河岸方向速度越大，渡河时间越短，即船头始终与河岸垂直，航行时所用时间最短，tmin＝＝100
s，选项A、B正确；由题图甲可知，水流速度在变化，船的合速度大小及方向均会随位置发生变化，因此轨迹不是直线，选项C错误；船在静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4
m/s，则船在河水中的最大速度为5
m/s，选项D错误.
3.(关联速度模型)(多选)如图9所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到绳与水平方向成45°角时( )
图9
A.小车运动的速度为v0
B.小车运动的速度为v0
C.小车在水平面上做加速运动
D.小车在水平面上做减速运动
答案 BC
解析 将小车速度沿绳方向与垂直绳方向进行分解，如图所示
人拉绳的速度与小车沿绳方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系vcos
45°＝v0，则v＝＝v0，B正确，A错误；随着小车向左运动，绳与水平方向的夹角越来越大，设夹角为α，由v＝知，v越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C正确，D错误.
4.(关联速度模型)(2019·泉港一中高一下学期期末)如图10所示，有人在河面上方20
m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v＝3
m/s拉绳，使小船靠岸，那么( )
图10
A.5
s时绳与水面的夹角为60°
B.5
s时小船前进了15
m
C.5
s时小船的速率为5
m/s
D.5
s时小船到岸边距离为10
m
答案 C
解析 5
s内人前进的距离s＝vt＝3×5
m＝15
m，滑轮至船的距离l′＝－15
m＝25
m，设5
s时拉船的绳与水平方向夹角为θ，则sin
θ＝＝，由此可知，θ＝53°，cos
θ＝，故v船＝5
m/s，小船到岸边的距离s′＝20tan
37°
m＝15
m，则5
s时小船前进的距离为s1＝－s′＝(20－15)
m，故A、B、D错误，C正确.
一、选择题
题型一 小船渡河模型
1.小船船头指向对岸，以相对于静水的恒定速率向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A.水速小时，位移小，时间也短
B.水速大时，位移大，时间也长
C.水速大时，位移大，但时间不变
D.位移、时间大小与水速大小无关
答案 C
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小.
2.(多选)在河道宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1(且v1＞v2)，方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船( )
A.可能的最短渡河时间为
B.可能的最短渡河位移为d
C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水流速度无关
D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水流速度均无关
答案 BD
解析 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为，故A错误；当合速度与河岸垂直时，渡河位移最小为d，故B正确；将船的实际运动沿垂直水流方向和水流方向分解，由于各个分运动互不影响，因而渡河时间等于沿船头方向的分运动时间，为t＝(x1为沿船头指向的分位移)，显然与水流速度无关，故C错误，D正确.
3.(2019·山西平遥中学高一下期中)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A.
B.0
C.
D.
答案 C
解析 摩托艇登陆的最短时间t＝，登陆点到O点的距离s＝v1t＝，故选C.
4.一只小船在静水中的速度为v1＝5
m/s，它要渡过一条宽为d＝50
m的河，河水流速为v2＝4
m/s，则( )
A.这只船过河位移不可能为50
m
B.这只船过河时间不可能为10
s
C.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变
D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变
答案 C
解析 当船头垂直指向河岸航行时，渡河时间最短，tmin＝＝
s＝10
s，B错误；由于船在静水中的速度大于河水流速，船的实际航向可以垂直河岸，即过河最短位移为s＝d＝50
m，A错误；根据运动的独立性，渡河最短时间为10
s，与水速无关，C正确；若河水流速大于船在静水中的速度，则船过河最短位移大小大于河宽，D错误.
5.(2019·厦门市高一下学期期末)某人划小船横渡一条两岸平行的河流，船在静水中的速度大小不变，船头方向始终垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图1所示，则( )
图1
A.各处水流速度大小都一样
B.离两岸越近水流速度越小
C.离两岸越近水流速度越大
D.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最长
答案 B
解析 从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有指向下游的加速度，后具有指向上游的加速度，故加速度是变化的，水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A、C错误，B正确；根据运动的独立性，船身方向垂直于河岸，这种渡河方式耗时最短，故D错误.
6.(多选)(2019·山东省实验中学高一下期中)如图2，河水由西向东流，河宽为800
m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v船＝4
m/s，下列说法正确的是( )
图2
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5
m/s
C.小船渡河的时间是200
s
D.小船在距南岸200
m处的速度小于距北岸200
m处的速度
答案 BC
解析 小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，在沿河岸方向上做变速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，选项A错误；当小船行驶到河中央时水流速度最大，v水＝×400
m/s＝3
m/s，那么小船在河水中的最大速度vmax＝
m/s＝5
m/s，选项B正确；小船船头垂直河岸由南向北渡河，那么小船渡河的时间是t＝＝
s＝200
s，选项C正确；在距南岸200
m处的河水速度大小与距北岸200
m处的河水速度大小相等，根据矢量的合成法则，则两种情况下小船的合速度大小相等，选项D错误.
7.如图3所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则( )
图3
A.t1＞t2，s1＜s2
B.t1＜t2，s1＞s2
C.t1＝t2，s1＜s2
D.t1＝t2，s1＞s2
答案 D
解析 因为AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝，所以两次渡河时间相等.设AB、AC与河岸夹角为θ，船头向着AB方向时，沿河岸方向的分速度v1＝v静cos
θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向的分速度v2＝|v－v静cos
θ|＜v1，水平方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，s1＞s2，故D正确，A、B、C错误.
8.如图4所示，一条小船位于200
m宽的河中央A点处，离A点距离为100
m的下游处有一危险的急流区，当时水流速度为4
m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静止水中的速度至少为( )
图4
A.
m/s
B.
m/s
C.2
m/s
D.4
m/s
答案 C
解析 小船刚好避开危险区域时，小船合运动方向与水流方向的夹角设为θ，则tan
θ＝＝，则θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，在静水中的最小速度vmin＝v水sin
30°＝2
m/s，C正确.
题型二 关联速度模型
9.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图5所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度大小是( )
图5
A.v0sin
θ
B.
C.v0cos
θ
D.
答案 D
解析 由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v＝，所以D正确.
10.如图6所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，小船水平向左运动，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船的速度vx为( )
图6
A.小船做变加速运动，vx＝
B.小船做变加速运动，vx＝v0cos
α
C.小船做匀速直线运动，vx＝
D.小船做匀速直线运动，vx＝v0cos
α
答案 A
11.(2019·康杰中学期中)如图7所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块.汽车匀速向右运动，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是( )
图7
A.物块将竖直向上做匀速运动
B.物块将处于超重状态
C.物块将处于失重状态
D.物块将竖直向上先加速后减速
答案 B
解析 设汽车向右运动的速度为v，绳子与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v′，则vcos
α＝v′，汽车匀速向右运动，α减小，v′增大，物块加速上升，A、D错误；物块的加速度向上，处于超重状态，B正确，C错误.
12.(2019·眉山高中下学期期末质检)如图8所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为( )
图8
A.v1＝v0sin
αcos
θ
B.v1＝
C.v1＝v0cos
αcos
θ
D.v1＝
答案 D
解析 人和A沿绳方向的分速度相等
可得v0cos
α＝v1cos
θ
所以v1＝.
13.如图9所示，
一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
图9
A.v1＝v2
B.v1＝v2cos
θ
C.v1＝v2tan
θ
D.v1＝v2sin
θ
答案 C
解析 将A端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解，沿杆方向的分速度为v1∥＝v1cos
θ，将B端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解，沿杆方向的分速度v2∥＝v2sin
θ.由于v1∥＝v2∥.所以v1＝v2tan
θ，故C正确，A、B、D错误.
二、非选择题
14.如图10所示，河宽d＝120
m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，若船头指向河对岸上游的B点，经过10
min，小船恰好到达河正对岸的C点；若船头指向河正对岸的C点，经过8
min，小船到达C点下游的D点.求：
图10
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.
答案 (1)0.25
m/s (2)0.15
m/s (3)72
m
解析 (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，
故有v1＝＝
m/s＝0.25
m/s.
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos
α，此时渡河时间为t＝，所以sin
α＝＝0.8，故v2＝v1cos
α＝0.15
m/s.
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72
m.
15.一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图11所示.试求：
图11
(1)车向左运动的加速度的大小；
(2)重物m在t时刻速度的大小.
答案 (1) (2)
解析 (1)车在时间t内向左运动的位移：x＝，
由车做匀加速直线运动，得：x＝at2，
解得：a＝＝.
(2)t时刻车的速度：v车＝at＝，
由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即：
v物＝v车cos
θ，
解得：v物＝.(共28张PPT)
专题强化 小船渡河与关联速度问题
第五章 抛体运动
1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题.
2.建立两种模型的一般分析思路和解法.
学习目标
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
探究重点 提升素养
01
1.运动分析
小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动.
2.两类常见问题
(1)渡河时间问题
小船渡河问题
一
图1
图2
(2)最短位移问题
①若v水θ＝v水，如图2甲所示.
例1 (多选)(2019·宜宾市高一质检)如图3所示为长江一段平行江道，一轮船的船头始终垂直指向江岸方向，轮船在静水中运动的速度保持不变，水匀速流动(假设整个江道水流速度相同)，下列说法正确的是
A.水流速度越大，轮船行驶位移越大
B.水流速度增大，轮船行驶位移不变
C.水流速度越大，过江时间越短
D.水流速度增大，过江时间不变
图3
√
√
解析 因为船垂直于江岸方向的速度不变，而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分速度，设江道宽为d，船垂直于江岸的速度为v，t＝
，所以不论水速多大，船过江时间不变，故C错误，D正确.
若水速越大，相同时间内沿水速方向的位移就越大，船在水中运动的总位移也就越大，故B错误，A正确.
例2 已知某船在静水中的速度为v1＝5
m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100
m，水流速度为v2＝3
m/s，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
答案 25
s
(3)若水流速度为v2′＝6
m/s，船在静水中的速度为v1＝5
m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
答案 不能
解析 当水流速度v2′＝6
m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5
m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.
特别提醒
1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水时.
2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直.
3.要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机(或划行)产生的分速度，后者是合速度.
针对训练1 (2018·泸州市高一检测)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图4所示.已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是
图4
√
关联速度分解问题是指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.
关联速度问题
二
(3)常见的速度分解模型(如图5)
图5
例3 (多选)如图6所示，人在岸上用跨过定滑轮的绳子拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时
A.人拉绳行走的速度大小为vcos
θ
图6
√
√
解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转，因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大小v人＝v∥＝vcos
θ，选项A正确，B错误；
针对训练2 (2019·鹤壁市期末)如图7所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则
A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsin
α
B.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcos
α
C.物体B也做匀速直线运动
D.物体B做匀加速直线运动
图7
√
解析 如图所示，将A物体的速度按图示两个方向分解，绳子速率v绳＝v∥＝vcos
α；而绳子速率等于物体B的速率，则物体B的速率vB＝v绳＝vcos
α，故A错误，B正确；
因物体A向下运动的过程中α减小，则cos
α增大，vB增大，B物体加速运动，但不是匀加速运动，故C、D错误.
随堂演练 逐点落实
02
1.(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是
解析 小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动.虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.
1
2
3
4
√
√
2.(小船渡河模型)(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图8甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是
A.船渡河的最短时间为100
s
B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C.船在河中航行的轨迹是一条直线
D.船在河水中的最大速度为7
m/s
1
2
3
4
√
图8
√
由题图甲可知，水流速度在变化，船的合速度大小及方向均会随位置发生变化，因此轨迹不是直线，选项C错误；
船在静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4
m/s，则船在河水中的最大速度为5
m/s，选项D错误.
1
2
3
4
3.(关联速度模型)(多选)如图9所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到绳与水平方向成45°角时
A.小车运动的速度为
v0
B.小车运动的速度为
v0
C.小车在水平面上做加速运动
D.小车在水平面上做减速运动
1
2
3
4
图9
√
√
解析 将小车速度沿绳方向与垂直绳方向进行分解，如图所示
1
2
3
4
4.(关联速度模型)(2019·泉港一中高一下学期期末)如图10所示，有人在河面上方20
m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v＝3
m/s拉绳，使小船靠岸，那么
A.5
s时绳与水面的夹角为60°
B.5
s时小船前进了15
m
C.5
s时小船的速率为5
m/s
D.5
s时小船到岸边距离为10
m
1
2
3
4
图10
√
1
2
3
4(共39张PPT)
4 抛体运动的规律
第五章 抛体运动
1.熟练掌握平抛运动的研究方法.
2.会用运动合成和分解的知识分析求解平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹为抛物线.
3.了解斜抛运动及其运动规律，知道运动的合成与分解是分析抛体运动的一般方法.
学习目标
梳理教材 夯实基础
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材 夯实基础
01
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系.
平抛运动的速度
一
图1
(1)水平方向：不受力，加速度是
，水平方向为
运动，vx＝
.
(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝
；竖直方向的初速度为
，所以竖直方向为
运动，vy＝
.
(3)合速度
0
匀速直线
v0
g
0
自由落体
gt
方向：tan
θ＝
＝
(θ是v与水平方向的夹角).
1.水平位移：x＝
①
2.竖直位移：y＝
②
3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝
，由此可知平抛运动的轨迹是一条
.
平抛运动的位移与轨迹
二
v0t
抛物线
物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ).
(1)水平方向：物体做
运动，初速度v0x＝
.
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝
.如图2所示.
一般的抛体运动
三
匀速直线
v0cos
θ
v0sin
θ
图2
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)抛体运动一定是匀变速运动.( )
(2)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快.( )
(3)平抛运动物体的速度方向与水平方向的夹角越来越大，若足够高，速度方向最终可能竖直向下.( )
(4)平抛运动的合位移的方向与合速度的方向一致.( )
(5)斜上抛运动的物体到达最高点时，速度为零.( )
√
×
×
×
×
2.在距地面高80
m的低空有一小型飞机以30
m/s的速度水平飞行，假定从飞机上释放一物体，g取10
m/s2，不计空气阻力，那么物体落地时间是
s，它在下落过程中发生的水平位移是
m；落地前瞬间的速度大小为
m/s.
4
120
50
水平位移x＝v0t，代入数据得：
x＝30×4
m＝120
m
代入数据得v＝50
m/s.
探究重点 提升素养
02
对平抛运动的理解
一
导学探究
图3为一人正在练投掷飞镖，请思考：(不计空气阻力)
(1)飞镖掷出后，其加速度的大小和方向是否变化？
答案 加速度为重力加速度g，大小和方向均不变.
(2)飞镖的运动是什么性质的运动？
答案 匀变速曲线运动.
图3
知识深化
1.平抛运动的特点
(1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线.
(2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化.
2.平抛运动的速度变化
如图4所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.
图4
例1 (2019·蚌埠市第二学期质检)关于平抛运动，下列说法中正确的是
A.平抛运动是一种变加速运动
B.做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大
C.做平抛运动的物体每秒内速度增量相等
D.做平抛运动的物体每秒内位移增量相等
解析 平抛运动是匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g，故加速度的大小和方向恒定，在Δt时间内速度的改变量为Δv＝gΔt，因此可知每秒内速度增量大小相等、方向相同，选项A、B错误，C正确；
√
由于水平方向的位移x＝v0t，每秒内水平位移增量相等，而竖直方向的位移h＝
gt2，每秒内竖直位移增量不相等，故每秒内位移增量不相等，选项D错误.
平抛运动规律的应用
二
导学探究
图5为小球水平抛出后，在空中做平抛运动的运动轨迹.(自由落体加速度为g，初速度为v0，不计空气阻力)
(1)小球做平抛运动，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？
图5
答案 一般以初速度v0的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，以小球被抛出的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系.
(2)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的速度大小和方向.
(3)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的位移大小和方向.
答案 如图所示，水平方向：x＝v0t
知识深化
1.平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等.
2.平抛运动的规律
3.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan
θ＝2tan
α.
图6
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
例2 (2019·平顶山市高一下学期期末)如图7所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是
A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中
的时间越短
B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C.喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D.喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入
池中的时间都相等
图7
√
例3 以30
m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30°角，不计空气阻力，g取10
m/s2.求：
(1)此时物体相对于抛出点的水平位移大小和竖直位移大小；
(2)再经过多长时间，物体的速度方向与水平方向的夹角为60°.(物体的抛出点足够高)
平抛运动的临界问题
三
例4 (多选)(2019·定远育才学校第二学期期末)如图8所示，水平屋顶高H＝5
m，围墙高h＝3.2
m，围墙到房子的水平距离L＝3
m，围墙外马路宽x＝10
m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，小球离开屋顶时的速度v0的大小的可能值为(围墙厚度忽略不计，忽略空气阻力，g取10
m/s2)
图8
A.6
m/s
B.12
m/s
C.4
m/s
D.2
m/s
√
√
解析 刚好能越过围墙时，水平方向：L＝v0t
解得v0＝5
m/s
刚好能落到马路外边缘时，水平方向：L＋x＝v0′t′
解得v0′＝13
m/s，
所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，速度的取值5
m/s≤v≤13
m/s，故选A、B.
归纳总结
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出满足临界状态的条件.
针对训练 一阶梯如图9所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4
m，一小球以水平速度v从图示位置飞出，不计空气阻力，g取10
m/s2，欲打在第4级台阶上，则v的取值范围是
图9
√
解析 若恰好打在第3级台阶的边缘，则有：
若恰好打在第4级台阶的边缘，
所以打在第4级台阶上应满足的条件：
斜抛运动
四
1.斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图10所示)
①水平方向：v0x＝v0cos
θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin
θ，F合y＝mg.
图10
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos
θ
vy＝v0y－gt＝v0sin
θ－gt
②位移公式：x＝v0cos
θ·t
2.斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间.
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等.
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.
例5 苏格兰的塞尔海峡位于欧洲大陆与塞尔岛之间，这个海峡宽约6
m，假设有一位运动员，他要以与水平面成37°的角度斜向上进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的初速度的最小值是多少？(忽略空气阻力.sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10
m/s2)
解析 设该运动员的最小初速度为v0，其在水平方向运动的距离恰为6
m，则其水平分速度：v0x＝v0cos
37°
水平位移：x＝v0xt
竖直分速度：v0y＝v0sin
37°
随堂演练 逐点落实
03
1.(平抛运动的理解)(多选)关于平抛运动，下列说法正确的是
A.平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B.平抛运动的速度方向与合力方向的夹角保持不变
C.平抛运动的速度大小是时刻变化的
D.平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
解析 做平抛运动的物体只受重力作用，故A正确；
√
1
2
3
4
√
√
2.(平抛运动规律的应用)(多选)(2018·南充市高一检测)如图11所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是
1
2
3
4
图11
√
√
1
2
3
4
3.(平抛运动规律的应用)(2019·永春一中高一下学期期末)如图12所示，喷枪水平放置且固定，图中虚线分别为水平线和竖直线.A、B、C、D为喷枪射出的打在墙上的四个液滴，四个液滴均可以视为质点；不计空气阻力，已知D、C、B、A与水平线的间距依次为1
cm、4
cm、9
cm、16
cm，则下列说法正确的是
A.A、B、C、D四个液滴的射出速度相同
B.A、B、C、D四个液滴在空中的运动时间是相同的
C.A、B、C、D四个液滴出射速度之比应为1∶2∶3∶4
D.A、B、C、D四个液滴出射速度之比应为3∶4∶6∶12
1
2
3
4
图12
√
1
2
3
4
4.(平抛运动的临界问题)如图13所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10
m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面.从高h＝15
m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10
m，d2＝20
m.N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小可能是下列给出数据中的哪个(g取10
m/s2，空气阻力不计)
A.8
m/s
B.4
m/s
C.15
m/s
D.21
m/s
1
2
3
4
图13
√
1
2
3
44 抛体运动的规律
[学习目标]
1.熟练掌握平抛运动的研究方法.2.会用运动合成和分解的知识分析求解平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹为抛物线.3.了解斜抛运动及其运动规律，知道运动的合成与分解是分析抛体运动的一般方法.
一、平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系.
图1
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0.
(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan
θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角).
二、平抛运动的位移与轨迹
1.水平位移：x＝v0t①
2.竖直位移：y＝gt2②
3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝x2，由此可知平抛运动的轨迹是一条抛物线.
三、一般的抛体运动
物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ).
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cos
θ.
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝v0sin
θ.如图2所示.
图2
1.判断下列说法的正误.
(1)抛体运动一定是匀变速运动.( √ )
(2)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快.( × )
(3)平抛运动物体的速度方向与水平方向的夹角越来越大，若足够高，速度方向最终可能竖直向下.( × )
(4)平抛运动的合位移的方向与合速度的方向一致.( × )
(5)斜上抛运动的物体到达最高点时，速度为零.( × )
2.在距地面高80
m的低空有一小型飞机以30
m/s的速度水平飞行，假定从飞机上释放一物体，g取10
m/s2，不计空气阻力，那么物体落地时间是
s，它在下落过程中发生的水平位移是
m；落地前瞬间的速度大小为
m/s.
答案 4 120 50
解析 由h＝gt2，得：t＝，代入数据得：t＝4
s
水平位移x＝v0t，代入数据得：
x＝30×4
m＝120
m
v0＝30
m/s，vy＝＝40
m/s
故v＝
代入数据得v＝50
m/s.
一、对平抛运动的理解
导学探究
图3为一人正在练投掷飞镖，请思考：(不计空气阻力)
图3
(1)飞镖掷出后，其加速度的大小和方向是否变化？
(2)飞镖的运动是什么性质的运动？
答案 (1)加速度为重力加速度g，大小和方向均不变.
(2)匀变速曲线运动.
知识深化
1.平抛运动的特点
(1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线.
(2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化.
2.平抛运动的速度变化
如图4所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.
图4
(2019·蚌埠市第二学期质检)关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A.平抛运动是一种变加速运动
B.做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大
C.做平抛运动的物体每秒内速度增量相等
D.做平抛运动的物体每秒内位移增量相等
答案 C
解析 平抛运动是匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g，故加速度的大小和方向恒定，在Δt时间内速度的改变量为Δv＝gΔt，因此可知每秒内速度增量大小相等、方向相同，选项A、B错误，C正确；由于水平方向的位移x＝v0t，每秒内水平位移增量相等，而竖直方向的位移h＝gt2，每秒内竖直位移增量不相等，故每秒内位移增量不相等，选项D错误.
二、平抛运动规律的应用
导学探究
图5为小球水平抛出后，在空中做平抛运动的运动轨迹.(自由落体加速度为g，初速度为v0，不计空气阻力)
图5
(1)小球做平抛运动，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？
(2)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的速度大小和方向.
(3)以抛出时刻为计时起点，求t时刻小球的位移大小和方向.
答案 (1)一般以初速度v0的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，以小球被抛出的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系.
(2)如图所示，初速度为v0的平抛运动，经过时间t后，其水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy＝gt.根据运动的合成规律可知，小球在这个时刻的速度(即合速度)大小v＝＝，设这个时刻小球的速度方向与水平方向的夹角为θ，则有tan
θ＝＝.
(3)如图所示，水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：
s＝＝
设这个时刻小球的合位移方向与水平方向之间的夹角为α，则tan
α＝＝.
知识深化
1.平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等.
2.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan
θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
3.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan
θ＝2tan
α.
证明：如图6所示，tan
θ＝＝
tan
α＝＝＝
所以tan
θ＝2tan
α.
图6
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan
θ＝＝，解得xA′B＝＝.
(2019·平顶山市高一下学期期末)如图7所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是( )
图7
A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C.喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D.喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
答案 D
解析 由题意可将水的运动看成平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则竖直方向有：h＝gt2，得t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，运动时间一定，故A错误，D正确.水平方向有：x＝v0t＝v0，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远；喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越远，故B、C错误.
以30
m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30°角，不计空气阻力，g取10
m/s2.求：
(1)此时物体相对于抛出点的水平位移大小和竖直位移大小；
(2)再经过多长时间，物体的速度方向与水平方向的夹角为60°.(物体的抛出点足够高)
答案 (1)30
m 15
m (2)2
s
解析 (1)设物体在A点时速度方向与水平方向成30°角，如图所示，tan
30°＝＝，tA＝＝
s
所以在此过程中水平方向的位移xA＝v0tA＝30
m
竖直方向的位移yA＝gtA2＝15
m.
(2)设物体在B点时速度方向与水平方向成60°角，总运动时间为tB，则tB＝＝3
s
所以物体从A点运动到B点所经历的时间Δt＝tB－tA＝2
s.
三、平抛运动的临界问题
(多选)(2019·定远育才学校第二学期期末)如图8所示，水平屋顶高H＝5
m，围墙高h＝3.2
m，围墙到房子的水平距离L＝3
m，围墙外马路宽x＝10
m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，小球离开屋顶时的速度v0的大小的可能值为(围墙厚度忽略不计，忽略空气阻力，g取10
m/s2)( )
图8
A.6
m/s
B.12
m/s
C.4
m/s
D.2
m/s
答案 AB
解析 刚好能越过围墙时，水平方向：L＝v0t
竖直方向：H－h＝gt2
解得v0＝5
m/s
刚好能落到马路外边缘时，水平方向：L＋x＝v0′t′
竖直方向：H＝gt′2
解得v0′＝13
m/s，
所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，速度的取值5
m/s≤v≤13
m/s，故选A、B.
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出满足临界状态的条件.
针对训练 一阶梯如图9所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4
m，一小球以水平速度v从图示位置飞出，不计空气阻力，g取10
m/s2，欲打在第4级台阶上，则v的取值范围是( )
图9
A.
m/sm/s
B.2
m/sm/s
C.
m/sm/s
D.2
m/sm/s
答案 A
解析 若恰好打在第3级台阶的边缘，则有：
3h＝gt32，3l＝v3t3
解得v3＝
m/s
若恰好打在第4级台阶的边缘，
则有4h＝gt42，4l＝v4t4
解得v4＝2
m/s
所以打在第4级台阶上应满足的条件：
m/sm/s.
四、斜抛运动
1.斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.
图10
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图10所示)
①水平方向：v0x＝v0cos
θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin
θ，F合y＝mg.
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos
θ
vy＝v0y－gt＝v0sin
θ－gt
②位移公式：x＝v0cos
θ·t
y＝v0sin
θ·t－gt2
2.斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间.
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等.
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.
苏格兰的塞尔海峡位于欧洲大陆与塞尔岛之间，这个海峡宽约6
m，假设有一位运动员，他要以与水平面成37°的角度斜向上进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的初速度的最小值是多少？(忽略空气阻力.sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10
m/s2)
答案
m/s
解析 设该运动员的最小初速度为v0，其在水平方向运动的距离恰为6
m，则其水平分速度：v0x＝v0cos
37°
水平位移：x＝v0xt
竖直分速度：v0y＝v0sin
37°
运动时间：t＝2
联立并代入数据得：v0＝
m/s.
1.(平抛运动的理解)(多选)关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A.平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B.平抛运动的速度方向与合力方向的夹角保持不变
C.平抛运动的速度大小是时刻变化的
D.平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
答案 ACD
解析 做平抛运动的物体只受重力作用，故A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝知，合速度v在增大，故C正确；对平抛物体的速度方向与加速度(合力)方向的夹角θ，有tan
θ＝＝，因t一直增大，所以tan
θ变小，θ变小，故D正确，B错误.
2.(平抛运动规律的应用)(多选)(2018·南充市高一检测)如图11所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
图11
A.球的速度v等于L
B.球从击出至落地所用时间为
C.球从击球点至落地点的位移等于L
D.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
答案 AB
解析 由平抛运动规律知，在水平方向上有：L＝vt，在竖直方向上有：H＝gt2，联立解得t＝
，v＝L，所以A、B正确；球从击球点至落地点的位移为s＝，C、D错误.
3.(平抛运动规律的应用)(2019·永春一中高一下学期期末)如图12所示，喷枪水平放置且固定，图中虚线分别为水平线和竖直线.A、B、C、D为喷枪射出的打在墙上的四个液滴，四个液滴均可以视为质点；不计空气阻力，已知D、C、B、A与水平线的间距依次为1
cm、4
cm、9
cm、16
cm，则下列说法正确的是( )
图12
A.A、B、C、D四个液滴的射出速度相同
B.A、B、C、D四个液滴在空中的运动时间是相同的
C.A、B、C、D四个液滴出射速度之比应为1∶2∶3∶4
D.A、B、C、D四个液滴出射速度之比应为3∶4∶6∶12
答案 D
解析 液滴在空中做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动.设喷枪到墙的水平距离为x，液滴到墙时下落的高度为h，则有：x＝v0t，h＝gt2，可得：t＝，v0＝x，由题图知：A、B、C、D四个液滴的水平距离x相等，下落高度h不等，则四个液滴的运动时间及射出的初速度一定不同，故A、B错误；四个液滴下落高度之比为16∶9∶4∶1，由v0＝x和数学知识可得：液滴出射速度之比应为3∶4∶6∶12，故C错误，D正确.
4.(平抛运动的临界问题)如图13所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10
m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面.从高h＝15
m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10
m，d2＝20
m.N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小
可能是下列给出数据中的哪个(g取10
m/s2，空气阻力不计)( )
图13
A.8
m/s
B.4
m/s
C.15
m/s
D.21
m/s
答案 C
解析 要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为Δh＝h－h′＝5
m，由t＝得t＝1
s，由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范围为10
m/s≤v0≤20
m/s，故C正确，A、B、D错误.
考点一 平抛运动的理解
1.(2018·三明市三地三校高一下期中)关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A.平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B.平抛运动是曲线运动，其速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
C.做平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
D.平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
答案 D
解析 做平抛运动的物体受重力的作用，故A错误；平抛运动是曲线运动，其速度方向沿轨迹的切线方向，不断改变，所以平抛运动是变速运动；由于其加速度为g，保持不变，所以平抛运动是匀变速曲线运动，故B错误；由平抛运动规律知，做平抛运动的物体的落点远近只与其初速度和下落高度有关，与其质量无关，故C错误；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故D正确.
2.从离地面h高处投出A、B、C三个小球，A球自由下落，B球以速度v水平抛出，C球以速度2v水平抛出，不计空气阻力，它们落地时间tA、tB、tC的关系是( )
A.tAB.tA>tB>tC
C.tAD.tA＝tB＝tC
答案 D
解析 平抛运动物体的飞行时间仅与高度有关，与水平方向的初速度大小无关，故tB＝tC，而平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，所以tA＝tB＝tC，D正确.
3.(2019·林州一中期中)物体做平抛运动时，下列描述物体速度变化量大小Δv随时间t变化的图像，可能正确的是( )
答案 D
解析 根据平抛运动的规律Δv＝gt，可得Δv与t成正比，Δv与t的关系图线为一条过原点的倾斜直线，选项D正确.
考点二 平抛运动规律的应用
4.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地.若不计空气阻力，则( )
A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
答案 D
解析 垒球被击出后做平抛运动，设垒球在空中运动时间为t，由h＝gt2得t＝，故t仅由高度h决定，选项D正确；水平位移x＝v0t＝v0，故水平位移x由初速度v0和高度h共同决定，选项C错误；落地速度v＝＝，故落地速度v由初速度v0和高度h共同决定，选项A错误；设落地速度v与水平方向的夹角为θ，则tan
θ＝，故落地速度v的方向由初速度v0和高度h共同决定，选项B错误.
5.羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图1所示是他表演时的羽毛球场地示意图.图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高.若林丹各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( )
图1
A.击中甲、乙两鼓的两球初速度v甲＝v乙
B.击中甲、乙两鼓的两球初速度v甲>v乙
C.假设某次发球能够击中甲鼓，用相同速度发球可能击中丁鼓
D.击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
答案 B
解析 甲、乙两鼓距飞出点的高度相同，击中甲、乙两鼓的羽毛球的运动时间相同，由于水平位移x甲>x乙，所以v甲>v乙，故A错误，B正确；由题图可知，羽毛球的发球点与甲、丁两鼓，三个点不在同一直线上，所以用能够击中甲鼓的速度，不可能击中丁鼓，故C错误；由于丙、丁两鼓的高度相同，但丁鼓距离发球点的水平距离更大，所以击中丁鼓的初速度一定大于击中丙鼓的初速度，故D错误.
6.(2019·田家炳实验中学高一下学期期末)如图2所示，a、b和c三个小球从同一竖直线上的A、B两点水平抛出，落到同一水平面上，其中b和c是从同一点抛出的，a、b两球落在同一点.设a、b和c三个小球的初速度分别为va、vb、vc，运动时间分别为ta、tb、tc，不考虑空气阻力，则( )
图2
A.va>vb＝vc，ta>tb>tc
B.va>vb>vc，taC.vatc
D.va>vb>vc，ta>tb＝tc
答案 B
解析 a、b、c三个小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，即h＝gt2，则t＝，即小球运动时间由抛出点的高度决定，故taxc，故vb>vc；由于tavb，综上所述：va>vb>vc，故选项B正确，A、C、D错误.
7.在抗震救灾中，一架飞机水平匀速飞行.从飞机上每隔1
s释放1包物品，先后共释放4包(都未落地)，若不计空气阻力，从地面上观察4包物品( )
A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
答案 C
解析 因为不计空气阻力，物品在水平方向将做和飞机速度相同的匀速运动，因而4包物品在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线；因为释放高度相同，物品做平抛运动的时间相同，水平速度相同，释放时间间隔相同，所以它们的落地点是等间距的，故C正确.
8.(多选)如图3所示，高为h＝1.25
m的平台上覆盖一层薄冰.现有一质量为60
kg的滑雪爱好者以一定的初速度v向平台边缘滑去，着地时速度的方向与水平地面的夹角为45°(取重力加速度g＝10
m/s2，不计空气阻力).由此可知下列各项中正确的是( )
图3
A.滑雪者离开平台边缘时的速度大小是5.0
m/s
B.滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是2.5
m
C.滑雪者在空中运动的时间为1
s
D.着地时滑雪者的速度大小是5.0
m/s
答案 AB
解析 由vy2＝2gh，可得vy＝＝
m/s＝5.0
m/s，着地时的速度方向与水平地面的夹角为45°，所以着地时水平速度和竖直速度的大小相等，所以滑雪者离开平台边缘时的速度大小v＝vy＝5.0
m/s，故A正确.由vy＝gt得，滑雪者在空中运动的时间t＝0.5
s，滑雪者在水平方向上做匀速直线运动，水平距离为x＝vt＝2.5
m，故B正确，C错误；滑雪者着地的速度大小为v′＝＝v＝5
m/s，故D错误.
9.(2018·山西省实验中学期中)在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图4所示.现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，落点相距为d，试求刺客离墙壁有多远( )
图4
A.d
B.2d
C.d
D.d
答案 C
解析 设水平距离为x，飞镖的初速度为v0，竖直分速度为vy，则vy＝＝gt，v0＝，联立解得t2＝，下落距离h＝gt2＝，可得hA＝x，hB＝x，根据hB－hA＝d，解得x＝d，故C正确，A、B、D错误.
考点三 斜抛运动
10.(多选)(2018·北大附中期中)如图5所示，水平地面上不同位置的三个小球斜上抛，沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )
图5
A.沿路径1抛出的小球落地的速率最大
B.沿路径3抛出的小球在空中运动的时间最长
C.三个小球抛出的初速度竖直分量相等
D.三个小球抛出的初速度水平分量相等
答案 AC
解析 根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平方向的分速度，三个小球上升高度相同，根据h＝可知三个小球沿竖直方向的分速度相同，故C正确；由t＝及对称性可知，三个小球在空中运动的时间相等，所以B错误；由于沿路径1抛出的小球水平位移最大，而运动时间相等，可知沿路径1抛出的小球水平分速度最大，根据平行四边形定则可知沿路径1抛出的小球落地的速率最大，故A正确，D错误.
11.(2019·长丰二中高一下学期期末)如图6所示，某同学分别在同一直线上的A、B、C三个位置投掷篮球，结果都击中篮筐，击中篮筐时篮球的速度方向均沿水平方向，大小分别为v1、v2、v3，若篮球出手时高度相同，速度的方向与水平方向的夹角分别是θ1、θ2、θ3，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
图6
A.v1B.v1>v2>v3
C.θ1>θ2>θ3
D.θ1＝θ2＝θ3
答案 B
解析 三个篮球都垂直击中篮筐，其逆过程是平抛运动，设某一篮球击中篮筐的速度为v，上升的高度为h，水平位移为x，则有：x＝vt，h＝gt2，可得：v＝x，h相同，则v∝x，则得v1>v2>v3，故B正确，A错误；根据速度的分解有：tan
θ＝，t相同，v1>v2>v3，则得θ1<θ2<θ3，故C、D错误.
12.(2017·浙江4月选考)图7中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方.竖直面内的半圆弧轨道BCD的半径R＝2.0
m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°.游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关，为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g＝10
m/s2)( )
图7
A.0.15
m,4
m/s
B.1.50
m,4
m/s
C.0.15
m,2
m/s
D.1.50
m,2
m/s
答案 A
解析 弹丸从抛出到P点，其水平位移
x＝R＋Rcos
37°＝v0t
竖直位移
y＝h＋Rsin
37°＝gt2
弹丸到达P点时速度方向垂直于P点圆弧切线方向，即v的方向与水平方向的夹角为37°
则有：tan
37°＝＝
由以上三式解得
v0＝4
m/s，h＝0.15
m，故选A.
13.(多选)如图8，在某次比赛中，排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD.已知网高为h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为( )
图8
A.H＝h
B.H＝h
C.v＝
D.v＝
答案 AD
解析 排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt，则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为t1∶t2＝∶s＝1∶2，排球在竖直方向上做自由落体运动，由h＝gt2得，＝＝＝()2＝，解得H＝h，故A正确，B错误；排球从被发出至落在B点的过程中有s＝vt，所以v＝＝＝，故C错误，D正确.
14.(2018·湖北孝感高中期末)如图9所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6
m，墙的厚度d＝0.4
m，某人在离墙壁距离L＝1.4
m、距窗子上沿h＝0.2
m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10
m/s2，不计空气阻力.则v的取值范围是( )
图9
A.v＞7
m/s
B.v＜2.3
m/s
C.3
m/s＜v＜7
m/s
D.2.3
m/s＜v＜3
m/s
答案 C
解析 若小物件恰好经窗口上沿，则有h＝gt12，L＝v1t1，解得v1＝7
m/s，若小物件恰好经窗口下沿，则有h＋H＝gt22，L＋d＝v2t2，解得v2＝3
m/s，所以3
m/s＜v＜7
m/s，故C正确.
15.(2019·衡阳市高一下学期期末)如图10，汽车以v0＝1.6
m/s的速度在水平地面上匀速行驶，汽车后壁货架上放有一小球(可视为质点)，货架水平，架高h＝1.8
m.由于前方事故，突然急刹车，汽车轮胎抱死，小球从架上落下.已知该汽车刹车后做加速度大小为a＝2
m/s2的匀减速直线运动，忽略小球与架子间的摩擦及空气阻力，g取10
m/s2.求：
图10
(1)小球落到车厢底板的时间t；
(2)小球在车厢底板上落点距车后壁的距离d.
答案 (1)0.6
s (2)0.36
m
解析 (1)汽车刹车后，小球做平抛运动，h＝gt2
解得：t＝＝0.6
s
(2)小球的水平位移为：x2＝v0t
汽车做匀减速直线运动，刹车时间为t′，则：t′＝＝0.8
s>0.6
s
则汽车的实际位移为：x1＝v0t－at2
故小球在车厢底板上落点距车后壁的距离：d＝x2－x1＝0.36
m.
16.在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图11所示，P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒.高度为h的探测屏AB竖直放置，探测屏AB离P点的水平距离为L，探测屏AB上端A与P点的高度差也为h，重力加速度为g.
图11
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围.
答案 (1) (2)≤v≤L
解析 (1)打在AB中点的微粒，竖直方向有h＝gt2
解得t＝；
(2)打在B点的微粒，有v1＝，2h＝gt12
解得v1＝
同理，打在A点的微粒的初速度v2＝L
微粒的初速度范围为≤v≤L.2 运动的合成与分解
[学习目标]
1.理解合运动、分运动、运动的合成、运动的分解的概念，掌握运动的合成与分解的方法.
2.能运用运动的合成与分解的知识分析一些实际运动.
一、一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
1.建立坐标系
研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系.
如图1所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系.
图1
2.蜡块运动的位置：玻璃管向右匀速平移的速度设为vx，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝vxt，y＝vyt.
3.蜡块运动的轨迹：将x、y消去t，得到y＝x，可见蜡块的运动轨迹是一条过原点的直线.
4.蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan
θ＝.
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动.
2.运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫作运动的分解.
3.运动的合成与分解遵循矢量运算法则.
1.判断下列说法的正误.
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等.( √ )
(2)合运动一定是实际发生的运动.( √ )
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大.( × )
(4)两个夹角为90°的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动.( √ )
2.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.3
m/s的速度匀速上浮.在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向匀速向右运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成37°角，如图2所示.若玻璃管的长度为0.9
m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和沿水平方向运动的距离分别约为________m/s和________m.(sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
图2
答案 0.4 1.2
解析 设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1，位移为x1，蜡块随玻璃管水平向右移动的速度为v2，位移为x2，如图所示，v2＝＝
m/s＝0.4
m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间t＝＝
s＝3
s.由于两分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为3
s.水平运动的距离x2＝v2t＝0.4×3
m＝1.2
m.
一、运动的合成与分解
1.合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动.
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.
2.合运动与分运动的四个特性
等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解.其合成、分解遵循平行四边形定则.
(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解.
跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力有关
D.运动员着地速度与风力无关
答案 B
解析 运动员同时参与了两个分运动：竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动.这两个分运动同时发生，相互独立.所以水平风力越大，运动员着地速度越大，但下落时间由下落的高度决定，与风力无关，故选B.
针对训练1 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮.如图3所示，当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，第一次使玻璃管水平向右匀速运动，测得红蜡块运动到顶端所需时间为t1；第二次使玻璃管水平向右加速运动，测得红蜡块从下端运动到顶端所需时间为t2，则( )
图3
A.t1＝t2
B.t1＞t2
C.t1＜t2
D.无法比较
答案 A
解析 由于分运动的独立性，故玻璃管水平向右的分运动不影响红蜡块向上的运动，t1＝t2，所以A正确.
(多选)玻璃生产线的最后有一台切割机，能将一定宽度但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形.假设送入切割机的原始玻璃板的宽度是L＝2
m，它沿切割机的轨道(与玻璃板的两侧边平行)以v1＝0.15
m/s的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃板的切割速度v2＝0.2
m/s，为了确保割下的玻璃板是矩形，则相对地面( )
A.割刀运动的轨迹是一段直线
B.割刀完成一次切割的时间为10
s
C.割刀运动的实际速度大小为0.05
m/s
D.割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移大小是1.5
m
答案 ABD
解析 为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，割刀相对玻璃板的运动速度应垂直于玻璃板侧边，割刀实际参与了两个分运动，即沿玻璃板侧边方向的运动和垂直于玻璃板侧边方向的运动.两个分运动都是匀速直线运动，则合运动为匀速直线运动，故A正确；对于垂直于玻璃板侧边方向的运动，运动时间t＝
s＝10
s，故B正确；割刀运动的实际速度v＝＝
m/s＝0.25
m/s，故C错误；10
s内玻璃板沿轨道方向的位移x＝v1t＝1.5
m，故D正确.
二、合运动的性质与运动轨迹
1.分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v和合加速度a，然后进行判断.
(1)是否为匀变速的判断：
加速度或合力
(2)曲、直判断：
加速度或合力与速度方向
2.两个互成角度的直线运动的合运动轨迹的判断：
轨迹在合初速度v0与合加速度a之间，且向加速度一侧弯曲.
(多选)质量为2
kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度－时间图像和y方向的位移－时间图像如图4所示，下列说法正确的是( )
图4
A.质点的初速度为5
m/s
B.质点所受的合外力为3
N，做匀变速曲线运动
C.2
s末质点速度大小为6
m/s
D.2
s内质点的位移大小约为12
m
答案 ABD
解析 由题图x方向的速度－时间图像可知，在x方向的加速度为1.5
m/s2，x方向受力Fx＝3
N，由题图y方向的位移－时间图像可知在y方向做匀速直线运动，速度大小为vy＝4
m/s，y方向受力Fy＝0.因此质点的初速度为5
m/s，A正确；受到的合外力恒为3
N，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，B正确；2
s末质点速度大小为v＝
m/s＝2
m/s，C错误；2
s内，x＝vx0t＋at2＝9
m，y＝8
m，合位移l＝＝
m≈12
m，D正确.
针对训练2 (2018·汕头市高一检测)质量为1
kg的物体在水平面内做曲线运动，已知该物体在两个互相垂直方向上的分运动的速度－时间图像分别如图5甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
图5
A.2
s末物体速度大小为7
m/s
B.物体所受的合外力大小为3
N
C.物体的初速度大小为5
m/s
D.物体初速度的方向与合外力方向垂直，做匀变速曲线运动
答案 D
解析 根据题意可知，物体在两个互相垂直方向上运动，即x方向与y方向垂直，且物体在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，在y方向做匀速直线运动，2
s末，vx＝3
m/s，vy＝4
m/s，因而v＝＝5
m/s，A错误；ax＝＝1.5
m/s2，ay＝0，根据牛顿第二定律Fx＝max＝1×1.5
N＝1.5
N，Fy＝0，因而F＝1.5
N，B错误；t＝0时，vx＝0，vy＝4
m/s.因而初速度v0＝4
m/s，C错误；由于初速度v0＝4
m/s，且沿y方向，F＝1.5
N，且沿x方向，故物体做匀变速曲线运动，D正确.
(2018·广元市高一检测)如图6所示，在光滑水平面上有两条互相平行的直线l1、l2，AB是这两条平行直线的垂线，其中A点在直线l1上，B、C两点在直线l2上.一个物体正沿直线l1以恒定的速度匀速向右运动，如果物体要从A点运动到C点，图中1、2、3为可能的路径，则可以使物体通过A点时( )
图6
A.获得由A指向B的任意瞬时速度，物体的路径是2
B.获得由A指向B的确定瞬时速度，物体的路径是2
C.持续受到平行AB的任意大小的恒力，物体的路径可能是1
D.持续受到平行AB的确定大小的恒力，物体的路径可能是3
答案 B
解析 获得由A指向B的确定瞬时速度，即两个匀速直线运动的合运动轨迹可能是2，A错误，B正确.持续受到平行AB的确定大小的恒力，即合加速度与合初速度垂直，轨迹偏向加速度一侧，轨迹可能是1，C、D错误.
1.(运动的合成和分解)(多选)关于运动的合成和分解，下列说法正确的是( )
A.合运动的时间就是分运动的时间之和
B.已知两分运动的速度大小，就可以确定合速度的大小
C.已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形定则确定合速度的大小和方向
D.若两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2
答案 CD
解析 合运动与分运动具有等时性，故A错误；已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形定则确定合速度的大小和方向，故B错误，C正确；两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2，故D正确.
2.(运动的合成和分解)(2018·金华市十校高一下期末)在第十一届珠海国际航展上，歼－20战机是此次航展最大的“明星”.如图7，歼－20战机在降落过程中水平方向的初速度为60
m/s，竖直方向的初速度为6
m/s，已知歼－20战机在水平方向做加速度大小为2
m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小为0.2
m/s2的匀减速直线运动，则歼－20战机在降落过程中，下列说法正确的是( )
图7
A.歼－20战机的运动轨迹为曲线
B.经20
s，歼－20战机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C.在前20
s内，歼－20战机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D.歼－20战机在前20
s内，水平方向的平均速度为40
m/s
答案 D
解析 歼－20战机的合初速度方向与水平方向夹角的正切值tan
θ＝＝，歼－20战机的合加速度方向与水平方向夹角的正切值tan
β＝＝，可以知道歼－20战机的合初速度的方向与合加速度的方向在同一直线上，歼－20战机做匀变速直线运动，故A错误；经20
s，歼－20战机水平方向的分速度v1＝60
m/s－2×20
m/s＝20
m/s，竖直方向上的分速度为v2＝6
m/s－0.2×20
m/s＝2
m/s，故B错误；在前20
s内，歼－20战机水平方向的平均速度水平＝
m/s＝40
m/s，D正确.歼－20战机在水平方向的分位移s1＝水平×20
s＝800
m，在竖直方向的分位移h＝×20
s＝80
m，故C错误.
3.(合运动轨迹的判断)如图8所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为H
m、沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起.设经t
s时间后，A、B之间的距离为l
m，且l＝H－t2，则在这段时间内伤员B的受力情况和运动轨迹是下列哪个图( )
图8
答案 A
解析 根据l＝H－t2，位移h＝H－l＝t2，可知伤员B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员B在水平方向匀速运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内伤员B的受力情况和运动轨迹是A.
4.(合运动性质的判断)(多选)如图9甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图像如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是( )
图9
A.猴子的运动轨迹为直线
B.猴子在0～2
s内做匀变速曲线运动
C.t＝0时猴子的速度大小为8
m/s
D.猴子在0～2
s内的加速度大小为4
m/s2
答案 BD
解析 猴子在竖直方向做初速度为8
m/s，加速度大小为4
m/s2的匀减速直线运动，水平方向做速度大小为4
m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在0～2
s内做匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝
m/s＝4
m/s，选项C错误；猴子在0～2
s内的加速度大小为4
m/s2，选项D正确.
考点一 运动的合成和分解
1.关于合运动、分运动的说法，正确的是( )
A.合运动的位移为分运动位移的矢量和
B.合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C.合运动的速度一定比其中的一个分速度大
D.合运动的时间一定比分运动的时间长
答案 A
解析 位移是矢量，其运算遵循平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误.
2.(2018·常州高级中学期中)关于运动的合成，下列说法正确的是( )
A.合运动的时间等于分运动的时间之和
B.合运动的时间大于任意一个分运动的时间
C.合运动的时间小于任意一个分运动的时间
D.合运动和分运动是同时进行的
答案 D
解析 分运动就是由合运动根据实际效果分解来的，分运动的时间与合运动的时间相等，即合运动与分运动同时发生同时结束，所以选D.
3.如图1所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动.在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
图1
A.乒乓球将保持原有的速度继续前进
B.乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C.乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D.只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案 B
解析 当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，A、C、D错误，B正确.
4.(2018·大庆市铁人中学期中)某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球.如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中的篮球可能被投入球筐的是(图中箭头指向表示投篮方向)( )
答案 B
解析 如图所示，由于篮球和群众演员随大平台一起旋转，所以篮球抛出前有沿v0方向的初速度，若使篮球抛出后能沿虚线进入球筐，则沿vB方向投出，篮球可能被投入球筐，故选B.
5.(2018·乌鲁木齐质量监测)我国自主研发的C919大型客机从地面起飞后在t时间内做匀加速直线运动，若起飞后其所受水平方向合外力与竖直方向合外力大小之比为2∶1，则C919起飞后t时刻在空中的( )
A.水平加速度与竖直加速度大小之比为2∶1
B.水平加速度与竖直加速度大小之比为4∶1
C.水平位移与竖直位移大小之比为2∶1
D.水平位移与竖直位移大小之比为4∶1
答案 A
解析 C919起飞后，水平方向和竖直方向都做初速度不为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律，C919起飞后，水平加速度和竖直加速度大小之比为2∶1，A正确，B错误；由x＝v0t＋at2可知，由于不知道初速度，故无法确定t时刻C919水平位移和竖直位移大小之比，C、D错误.
考点二 合运动的性质与运动轨迹
6.(2018·重庆十八中期中)关于相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是( )
A.一定是曲线运动
B.可能是直线运动
C.运动的方向不变
D.速度一直在变，是变加速运动
答案 A
解析 由题意可知，初速度方向和加速度方向一定不在一条直线上，所以这两个分运动的合运动一定是曲线运动，选A.
7.(2019·福州市高一下期中)如图2所示，沿y轴方向的一个分运动的初速度v1是沿x轴方向的另一个分运动的初速度v2的2倍，而沿y轴方向的分加速度a1是沿x轴方向的分加速度a2的一半.对于这两个分运动的合运动，下列说法中正确的是( )
图2
A.一定是直线运动
B.一定是曲线运动
C.可能是曲线运动，也可能是直线运动
D.无法判定
答案 B
解析 根据平行四边形定则，作出合加速度与合初速度，如图所示，图中各个矢量大小与有向线段的长度成正比，由图可知合运动的加速度与初速度方向不共线，由曲线运动的条件知，这两个分运动的合运动一定是曲线运动，故B正确.
8.某同学在研究运动的合成时做了如图3所示活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖.若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度是零的匀加速运动，则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是( )
图3
A.笔尖做匀速直线运动
B.笔尖做匀变速直线运动
C.笔尖做匀变速曲线运动
D.笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变大
答案 C
解析 由题意知，笔尖在竖直向上做匀速直线运动，水平向右做初速度为零的匀加速运动，合外力向右，故其做匀变速曲线运动，选项A、B错误，C正确；竖直方向的速度大小恒定，水平方向的速度逐渐增大，故笔尖的速度方向与水平方向的夹角逐渐变小，选项D错误.
9.(2018·温州市新力量联盟高一下学期期中联考)在学习运动的合成与分解时我们做过如图4所示的实验.在长约80～100
cm且一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个用红蜡做成的小圆柱体(小圆柱体恰能在管中匀速上浮)，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将玻璃管竖直倒置，在红蜡块匀速上浮的同时使玻璃管紧贴黑板面在水平方向上匀加速移动，你正对黑板面将看到红蜡块相对于黑板面的移动轨迹可能是下列选项中的( )
图4
答案 C
10.(2018·邢台二中高一下月考)如图5所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面斜向右上方以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )
图5
A.橡皮的速度大小为v
B.橡皮的速度大小为v
C.橡皮的速度与水平方向成30°角
D.橡皮的速度与水平方向成45°角
答案 B
解析 橡皮参与了平行于斜面方向的匀速直线运动和竖直方向上的匀速直线运动，两个分速度大小相等，都为v，如图所示，根据平行四边形定则知v合＝2vcos
30°＝v，合速度的方向与水平方向的夹角为60°，故B正确.
11.(多选)如图6所示，塔吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车A，小车A通过钢索吊着物体B，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，钢索将物体B从地面上吊起.A、B之间的距离d随时间t以d＝H－2t2的规律变化，式中H为小车A距地面的高度.这段时间内从地面上观察，下列说法中正确的是( )
图6
A.物体B的运动轨迹是直线
B.物体B的运动轨迹是曲线
C.钢索对物体B的拉力等于物体B所受的重力
D.钢索对物体B的拉力大于物体B所受的重力
答案 BD
解析 由d＝H－2t2可得物体位移h＝2t2，则物体B在竖直方向上做匀加速运动，加速度ay恒定，由牛顿第二定律得，钢索对物体B的拉力F＝mg＋may＞mg，D正确；物体B同时参与水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速运动，故合运动的轨迹是曲线，B正确.
12.(2018·日照一中期末)物体在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图7所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )
图7
A.物体在0～3
s做匀变速直线运动
B.物体在0～3
s做匀变速曲线运动
C.物体在3～4
s做变加速直线运动
D.物体在3～4
s做匀变速曲线运动
答案 B
解析 物体在0～3
s内，由题意可知，x方向做vx＝4
m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0、加速度ay＝1
m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0＝vx＝4
m/s，合加速度a＝ay＝1
m/s2，物体的合初速度与合加速度不在同一直线上，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A错误，B正确.
物体在3～4
s内，x方向做初速度vx＝4
m/s、加速度ax＝－4
m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度vy＝3
m/s、加速度ay＝－3
m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v＝5
m/s，合加速度大小a＝5
m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，C、D错误.
13.质量m＝4
kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点(0,0)处，先用沿＋x方向的力F1＝8
N作用了2
s，然后撤去F1；再用沿＋y方向的力F2＝24
N作用了1
s，则质点在这3
s内的轨迹为下列图中的( )
答案 D
解析 根据牛顿第二定律可知，前2
s内质点的加速度为ax＝＝2
m/s2，从静止开始沿＋x方向匀加速运动x1＝axt12＝4
m，速度达到vx＝axt＝4
m/s；随后1
s内加速度为ay＝＝6
m/s2，方向沿＋y方向，质点沿＋y方向运动了y1＝ayt22＝3
m，同时沿＋x方向运动了x2＝vxt2＝4
m，轨迹弯向＋y方向，D正确.
14.(2018·诸暨中学期中)如图8甲所示，在一端封闭、长约1
m的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动.假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1
s上升的距离都是10
cm，玻璃管向右匀加速平移，每1
s通过的水平位移依次是2.5
cm、7.5
cm、12.5
cm、17.5
cm.图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点.
图8
(1)请在坐标图中画出蜡块4
s内的轨迹；
(2)求玻璃管向右平移的加速度大小a；
(3)求t＝2
s时蜡块的速度大小v.
答案 (1)见解析图 (2)0.05
m/s2 (3)
m/s
解析 (1)轨迹如图所示
(2)根据Δx＝a(Δt)2，则a＝＝
m/s2＝0.05
m/s2
(3)t＝2
s时蜡块的水平速度vx＝
m/s＝0.1
m/s，竖直速度vy＝0.1
m/s，则合速度大小v＝
m/s.
15.一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x方向和y方向上的两个分运动的速度－时间图像如图9所示.
图9
(1)计算物体的初速度大小；
(2)计算物体在前3
s内的位移大小.
答案 (1)50
m/s (2)30
m
解析 (1)由题图可看出，物体沿x方向的分运动为匀速直线运动，沿y方向的分运动为匀变速直线运动.x方向的初速度vx0＝30
m/s，y方向的初速度vy0＝－40
m/s；则物体的初速度大小为
v0＝＝50
m/s.
(2)在前3
s内，x方向的分位移大小
x3＝vx·t＝30×3
m＝90
m
y方向的分位移大小y3＝·t＝×3
m＝60
m，
故x＝＝
m＝30
m.专题强化 探究平抛运动的特点
1.如图1所示，在粗糙水平桌面上用练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动.用刻度尺测出下列哪一组数据可以求出钢球离开水平桌面时的速度(重力加速度为g)( )
图1
A.钢球在练习本上滚下的距离、钢球释放点离桌面的高度
B.水平桌面的高度、钢球落地点与桌边的水平距离
C.钢球释放点离桌面的高度、钢球在水平桌面上运动的距离
D.钢球释放点离桌面的高度、钢球落地点与桌边的水平距离
答案 B
解析 钢球沿桌面飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律得y＝gt2，x＝v0t，联立解得v0＝x，故要求出钢球离开水平桌面时的速度，需测量水平桌面的高度y、钢球落地点与桌边的水平距离x，B项正确.
2.(多选)假设我国宇航员乘坐探月卫星登上月球，如图2所示是宇航员在月球表面水平抛出小球的频闪照片的一部分.已知照片上方格的实际边长为a，频闪周期为T，据此可以得出( )
图2
A.月球上的重力加速度为
B.小球平抛的初速度为
C.照片上A点一定是平抛的起始位置
D.小球运动到D点时速度大小为
答案 BC
解析 由频闪照片可知，在竖直方向上，相邻相等时间内小球位移差为2a，由Δy＝gT2可得，月球上的重力加速度g＝，选项A错误；由小球在水平方向上做匀速直线运动可得3a＝v0T，解得v0＝，选项B正确；小球在抛出后第1个T时间内竖直方向位移y1＝gT2＝××T2＝a，所以照片上A点一定是平抛的起始位置，选项C正确；小球运动到D点时竖直速度vy＝g·3T＝×3T＝，水平速度为v0＝，小球运动到D点时速度大小为v＝＝，选项D错误.
3.在“探究平抛运动的特点”的实验中：
(1)为减小空气阻力对小球的影响，选择小球时，应选择下列的________.
A.实心小铁球
B.空心小铁球
C.实心小木球
D.以上三种球都可以
(2)高一某班某同学为了更精确地描绘出小球做平抛运动的轨迹，使用频闪照相机(每隔相等时间T拍一次照片)拍摄小球在空中的位置.如图3所示为一小球做平抛运动的频闪照片的一部分，图中背景方格的边长表示实际长度8
mm，如果取g＝10
m/s2，那么：
图3
①照相机的频闪周期T＝________
s；
②小球做平抛运动的水平初速度大小是________
m/s.
答案 (1)A (2)①0.04 ②0.6
解析 (1)为了减小空气阻力对小球的影响，要选择体积较小、质量较大的实心小铁球，故选项A正确；
(2)①在竖直方向上，根据Δy＝2L＝gT2得：
T＝＝0.04
s
②小球平抛运动的初速度大小为：v0＝＝0.6
m/s.
4.(2019·陆川中学高一下学期期末)在做“探究平抛运动的特点”的实验时，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹，并求出平抛运动初速度.实验装置如图4甲所示.
图4
(1)实验时将固定有斜槽的木板放在实验桌上，实验前要检查斜槽末端是否水平，请简述你的检查方法：___________________________________________________________________.
(2)关于这个实验，以下说法正确的是________.
A.小球释放的初始位置越高越好
B.每次小球要从同一高度由静止释放
C.实验前要用重垂线检查坐标纸上的竖线是否竖直
D.小球在平抛运动时要靠近但不接触木板
(3)在做“探究平抛运动的特点”的实验时，坐标纸应当固定在竖直的木板上，图中坐标纸的固定情况与斜槽末端的关系正确的是________.
(4)某同学在描绘平抛运动轨迹时，得到的部分轨迹曲线如图乙所示.在曲线上取A、B、C三个点，测量得到A、B、C三点间竖直距离h1＝10.20
cm，h2＝20.20
cm，A、B、C三点间水平距离x1＝x2＝12.40
cm，取g＝10
m/s2，则小球平抛运动的初速度大小为________
m/s.
答案 (1)将小球放在槽的末端，看小球能否静止
(2)BCD (3)C (4)1.24
5.(2019·蚌埠市第二学期期末学业水平监测)某物理兴趣小组在做“探究平抛运动的特点”的实验时，分成两组，其中一个实验小组让小球做平抛运动，用频闪照相机对准方格背景照相，拍摄到如图5所示的照片，已知每个小方格边长为10
cm，当地的重力加速度g取10
m/s2，其中第4点处的位置被污迹覆盖.
图5
(1)若以拍摄的第1点为坐标原点，以水平向右和竖直向下为正方向建立直角坐标系，被拍摄的小球在第4点的位置坐标为(________cm，________cm)；
(2)小球平抛的初速度大小为________m/s；
(3)另一个实验小组的同学正确地进行了实验并正确地描绘了运动轨迹，测量了轨迹上的不同点的坐标值，根据所测得的数据以y为纵轴，x2为横轴，在坐标纸上画出对应的图像为过原点的直线，并测出直线斜率为2，则平抛运动的初速度v0＝________
m/s.
答案 (1)60 60 (2)2 (3)
6.(2019·雅礼中学期中)图6甲是“探究平抛运动的特点”的实验装置图.
图6
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线____________，每次让小球从同一位置由静止释放，是为了保证每次小球平抛____________________________.
(2)图乙是实验获得的数据，其中O点为抛出点，则此小球做平抛运动的初速度为________
m/s.(g＝9.8
m/s2)
(3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每个格的边长L＝5
cm，实验记录了小球在运动中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为________m/s，小球运动到B点的竖直分速度为________m/s，平抛运动初位置的坐标为________(如图丙所示，以O点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，取g＝10
m/s2).
答案 (1)水平 初速度相同 (2)1.2 (3)2.0 2.0 (－0.1
m,0)
解析 (1)平抛物体的初速度方向为水平方向，故应调节实验装置直到斜槽末端切线保持水平；每次让小球从同一位置由静止释放，小球下落高度相同才能保证每次平抛得到相同的初速度.
(2)根据平抛运动规律h＝gt2，x＝v0t
代入数据解得v0＝1.2
m/s
(3)由题图丙可知，从A到B和从B到C，小球水平方向通过的位移相等，故两段运动时间相同.
由hBC－hAB＝g(Δt)2
可得Δt＝0.1
s
所以v0′＝＝2.0
m/s
vBy＝＝2.0
m/s
则小球从抛出点运动到B点所经过的时间tB＝＝0.2
s，故平抛运动初位置的水平坐标x＝6×0.05
m－v0′tB＝－0.1
m，竖直坐标y＝4×0.05
m－gtB2＝0，所以平抛运动初位置的坐标为(－0.1
m,0).
7.(2018·太原市高一下期末)在做“探究平抛运动的特点”的实验时：
图7
(1)为使小球水平抛出，必须调整斜槽，使其末端的切线________.
(2)小球抛出点的位置必须及时记录在白纸上，然后从这一点画水平线和竖直线作为x轴和y轴，竖直线是用________来确定的.
(3)某同学通过实验得到的轨迹如图7甲所示，判断O点是否是抛出点：________(选填“是”或“否”).
(4)该同学在轨迹上选取间距较大的几个点，确定其坐标，并在直角坐标系内绘出了y－x2图像，如图乙所示，则此小球平抛的初速度v0＝________
m/s.(取g＝10
m/s2)
答案 (1)水平 (2)重垂线 (3)是 (4)0.5
解析 (1)研究平抛运动时应保证小球的初速度水平，即调整斜槽末端的切线水平；
(2)竖直方向用重垂线确定，因为小球在竖直方向所受的重力是竖直向下的；
(3)由轨迹可知，在相等的时间内，竖直方向的位移之比为1∶3∶5……，表明竖直方向是自由落体运动，O点是抛出点；
(4)根据y＝gt2，x＝v0t得，平抛运动的轨迹方程为y＝x2，则y－x2图像的斜率为＝
m－1＝20
m－1，解得v0＝0.5
m/s.
8.(2018·双流中学高一下期中)某同学设计了一个研究平抛运动的实验.实验装置示意图如图8甲所示，A是一块平面木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽(图中P0P0′、P1P1′…)，槽间距离均为d.把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B上.实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜轨的同一位置由静止释放.每打完一点后，把B板插入后一槽中同时向纸面内侧平移距离d.实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，用平滑曲线连接各痕迹点就可得到平抛运动的轨迹.
图8
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜轨________、A板________、插槽垂直于斜轨并在斜轨末端正下方.每次让小球从同一位置由静止释放，是为了使小球每次做平抛运动的__________________.
(2)每次将B板向内侧平移距离d，是为了使记录纸上每两点之间的水平距离等于小球在__________________.
(3)如图乙所示，该同学在实验中记录小球做平抛运动的起点位置O，A为小球运动一段时间后的位置，根据图中所示平抛运动的部分轨迹，求出小球做平抛运动的初速度为________
m/s.(结果保留两位有效数字)
答案 (1)末端水平 水平 初速度都相同 (2)水平方向实际运动的距离 (3)2.0
解析 (1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端水平，保证小球抛出时初速度水平，做平抛运动，每次让小球从同一位置由静止释放，是为了保持小球水平抛出的初速度相同；
(2)平抛运动在水平方向上的分运动为匀速直线运动，每次将B板向纸面内侧平移距离d，是为了保持小球在相邻痕迹点的水平距离大小相同，即为获取相等的时间并在x轴上形成位移差；
(3)由Δy＝gT2，解得T＝＝＝
s＝0.1
s，小球做平抛运动的初速度为v0＝＝
m/s＝2.0
m/s.1 曲线运动
[学习目标]
1.会确定曲线运动的速度方向，知道曲线运动是一种变速运动.2.知道物体做曲线运动的条件.
一、曲线运动的速度方向
1.质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
2.曲线运动是变速运动.
(1)速度是矢量，既有大小，又有方向.
(2)在曲线运动中，速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动.
二、物体做曲线运动的条件
1.物体如果不受力，将静止或做匀速直线运动.
2.物体做曲线运动时，由于速度方向时刻改变，物体的加速度一定不为0；物体所受的合力一定不为0.
3.物体做曲线运动的条件：
(1)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.
(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.
1.判断下列说法的正误.
(1)做曲线运动的物体，速度可能不变.( × )
(2)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动.( √ )
(3)做曲线运动的物体的位移大小可能与路程相等.( × )
(4)做曲线运动的物体所受的合力一定是变力.( × )
(5)做曲线运动的物体加速度一定不为零.( √ )
2.将一条形磁铁放在光滑水平桌面的不同位置，让小铁珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹.图1中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小铁珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小铁珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号).实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动.
图1
答案 b c 不在
解析 因为磁铁对小铁珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小铁珠做变加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，合力的方向指向轨迹的凹侧，运动轨迹为c.当物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.
一、曲线运动的速度方向
导学探究
图2为砂轮打磨下来的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样.
图2
(1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？
(2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？
(3)微粒做曲线运动时，加速度可以是零吗？为什么？
答案 (1)沿砂轮的切线方向 (2)是 (3)不为零.因为速度的方向在变化，即速度在变化.
知识深化
1.曲线运动中，质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
2.曲线运动中，质点的速度方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动，加速度一定不为零.
如图3所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，下列说法正确的是( )
图3
A.物体的速度可能不变
B.物体的加速度可能为零
C.a点的速度方向由a指向b
D.ab段的位移大小一定小于路程
答案 D
解析 做曲线运动的物体的速度方向时刻改变，即使速度大小不变，速度方向也在不断发生变化，故速度一直在变，A项错误；做曲线运动的物体速度在变化，加速度必定不为零，B项错误；ɑ点的速度方向沿ɑ点的切线方向，C项错误；做曲线运动的物体的位移大小必小于路程，D项正确.
二、物体做曲线运动的条件
导学探究
1.图4甲为抛出的石子在空中运动的轨迹，图乙是水平面上一小钢球在磁铁作用下的部分轨迹.请画出物体在A、B、C、D四点的受力方向和速度方向.
图4
答案 各点受力方向和速度方向如图所示
2.物体做曲线运动的条件是什么？
答案 物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上.
知识深化
1.物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力方向与物体的速度方向不在同一直线上.
(2)运动学条件：加速度方向与物体的速度方向不在同一直线上.
说明：物体做曲线运动时，所受合力可能变化，也可能不发生变化.
2.物体运动性质的判断
(1)直线或曲线的判断
看合力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在同一直线上.
(2)匀变速或非匀变速的判断
合力为恒力，物体做匀变速运动；合力为变力，物体做非匀变速运动.
(3)变速运动的几种类型
轨迹特点
加速度与速度方向的关系
加速度特点
运动性质
直线
共线
加速度不变
匀变速直线运动
加速度变化
非匀变速直线运动
曲线
不共线
加速度不变
匀变速曲线运动
加速度变化
非匀变速曲线运动
曲线运动是自然界中普遍存在的运动形式，下面关于曲线运动的说法中，正确的是( )
A.物体只要受到变力的作用，就会做曲线运动
B.物体在恒定的合力作用下一定会做直线运动
C.物体做曲线运动时，合力方向可能发生变化，也可能不变
D.物体在大小不变的合力作用下必做匀变速曲线运动
答案 C
解析 当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，A、B错误；物体做曲线运动时，其所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上，合外力的方向可能发生变化，也可能不变，C正确；做匀变速曲线运动的物体所受的合力恒定不变，而不只是合力大小不变，D错误.
三、曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹的关系
由于曲线运动的速度方向时刻改变，合力不为零.合力垂直于速度方向的分力改变速度的方向，所以合力总指向运动轨迹的凹侧，即曲线运动的轨迹总向合力所指的一侧弯曲.
(多选)如图5所示，质量为m的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与力F1、F3的方向恰好在同一直线上，则下列说法正确的是( )
图5
A.若只撤去F1，物体做匀加速直线运动
B.若只撤去F3，物体做匀加速直线运动
C.若只撤去F2，物体做匀变速曲线运动
D.若只撤去F4，物体做非匀变速曲线运动
答案 AC
解析 若只撤去F1，合力方向与速度v同向，则物体做匀加速直线运动；若只撤去F3，合力方向与速度v反向，物体做匀减速直线运动，A项正确，B项错误.若只撤去F2或F4，合力方向与速度方向不在同一直线上，且合力大小不变，则物体做匀变速曲线运动，C项正确，D项错误.
如图6所示，高速摄像机记录了一名擅长飞牌、射牌的魔术师的发牌过程，虚线是飞出的扑克牌的运动轨迹，则扑克牌所受合力F与速度v关系正确的是( )
图6
答案 A
解析 做曲线运动的物体速度方向沿轨迹的切线方向，合力指向运动轨迹的凹侧，所以A正确.
针对训练 在光滑水平面上以速度v做匀速直线运动的小球，受到一个跟它的速度方向不在同一直线上的水平恒力F的作用后，获得加速度a.下列四幅图中，能正确反映v、F、a及小球运动轨迹(虚线)之间的关系的是( )
答案 C
解析 小球做匀速直线运动时，受力平衡，当受到一个与运动方向不在同一直线上的水平恒力F的作用时，因合力方向与速度方向不在同一直线上，所以小球一定做曲线运动且合力的方向指向运动轨迹的凹侧，根据牛顿第二定律可知，加速度方向与合力方向相同，故C正确.
1.(曲线运动的速度方向)在F1赛事中，若在弯道上高速行驶的赛车车轮脱落，则关于脱落的车轮的运动情况，下列说法中正确的是( )
A.仍然沿着赛车的弯道行驶
B.沿着与弯道切线垂直的方向飞出
C.沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D.上述情况都有可能
答案 C
解析 赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车的速度方向是赛车运动轨迹上的对应点的切线方向，脱落的车轮的速度方向也就是脱落点轨迹的切线方向，车轮脱落后，不再受到车身的约束，受到与速度方向相反的阻力作用，车轮做直线运动，离开弯道，故C正确.
2.(曲线运动的条件)对做曲线运动的物体，下列说法正确的是( )
A.速度方向与合力方向不可能在同一条直线上
B.加速度方向与合力方向可能不在同一条直线上
C.加速度方向与速度方向有可能在同一条直线上
D.合力的方向一定是变化的
答案 A
解析 由物体做曲线运动的条件可知，速度方向与合力方向不可能在同一条直线上，根据牛顿第二定律，加速度与合力一定同向，即一定在同一条直线上，所以加速度方向与速度方向不可能在同一条直线上，故A正确，B、C错误；在恒力作用下，物体也可以做曲线运动，只要合力方向与速度方向不共线就可以，故D错误.
3.(曲线运动的受力、速度与轨迹的关系)(2018·嘉兴市第一中学高一下期末)老鹰在天空中飞翔，图中虚线表示老鹰在竖直平面内飞行的轨迹，关于老鹰在图示位置时的速度v及其所受合力F的方向可能正确的是( )
答案 B
4.(物体运动性质的判断)在光滑水平面上有一质量为2
kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动.现突然将与速度方向相反的2
N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( )
A.物体做速度大小不变的曲线运动
B.物体做加速度大小变化的曲线运动
C.物体做加速度为
m/s2的匀变速曲线运动
D.物体做加速度为1
m/s2的匀变速曲线运动
答案 C
解析 物体原来所受合力为零，当将与速度反方向的2
N的力水平旋转90°后，其受力如图所示
其中Fx＝Fy＝2
N，F是Fx、Fy的合力，即F＝2
N，且大小、方向都不变，为恒力，物体的加速度为a＝＝
m/s2＝
m/s2，恒定，故物体做匀变速曲线运动，故C正确.
考点一 曲线运动的速度方向
1.如图1所示，篮球沿优美的弧线穿过篮筐，图中能正确表示篮球在相应点速度方向的是( )
图1
A.v1
B.v2
C.v3
D.v4
答案 C
2.(多选)如图2所示，一物体沿曲线ABC由A运动到C，则关于物体从A到C的运动，下列说法正确的是( )
图2
A.物体的位移小于路程
B.物体的位移有可能大于路程
C.物体在C点的速度方向由A指向C
D.物体在C点的速度方向沿曲线在C点的切线方向
答案 AD
考点二 曲线运动的条件 曲线运动的性质
3.(2018·潍坊一中期中)物体做曲线运动的条件为( )
A.物体运动的初速度不为0
B.物体所受合力为变力
C.物体所受的合力的方向与速度的方向不在同一条直线上
D.物体所受的合力的方向与加速度的方向不在同一条直线上
答案 C
解析 当物体受到的合力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动，故C正确.
4.(多选)(2019·七宝中学期中)下列关于曲线运动的说法正确的是( )
A.任何曲线运动都是变速运动
B.任何变速运动都是曲线运动
C.做曲线运动的物体速度有可能不变
D.做曲线运动的物体所受合力可能不变
答案 AD
解析 做曲线运动的物体在某一点的速度方向沿曲线在该点的切线方向，时刻在发生变化，故曲线运动是变速运动，选项A正确，选项C错误；变速运动也可能是速度大小改变方向不变的变速直线运动，选项B错误；曲线运动的条件是合力与速度方向不在同一条直线上，合力可能是恒力，D正确.
5.(2018·唐山市高一下期末)2018年6月1日，在傣族自治州景洪市坠落了一颗陨石，如图3所示为一目击者画出的陨石在大气层中下落的一段运动轨迹，由此可判断陨石在图示的运动过程中( )
图3
A.所受合力可能为零
B.运动轨迹上每一点的切线方向，就是陨石在该点的运动方向
C.陨石受到的合力方向可能与速度方向相同
D.陨石的运动速度可能不变
答案 B
解析 陨石做曲线运动，则所受合力不可能为零，选项A错误；曲线运动轨迹上每一点的切线方向，就是陨石在该点的运动方向，选项B正确；陨石做曲线运动，则受到的合力方向不可能与速度方向相同，选项C错误，陨石的运动速度方向不断变化，则速度不断变化，选项D错误.
6.(多选)物体受到几个恒力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能( )
A.做匀速直线运动
B.做匀变速直线运动
C.静止
D.做匀变速曲线运动
答案 BD
解析 物体处于平衡状态，则物体可能静止或做匀速直线运动，若物体静止，当施加一恒力时，物体做匀变速直线运动，B正确；若物体做匀速直线运动，当施加的恒力与速度在一条直线上时，物体做匀变速直线运动，若恒力与速度不在一条直线上，则物体做匀变速曲线运动，由以上分析知A、C错误，D正确.
考点三 曲线运动的轨迹与合力方向关系
7.冬奥会上，某自由滑冰运动员正在滑行，由A到C是其运动轨迹的一部分，如图所示，则关于他通过B点时的速度v的方向和加速度a的方向可能正确的是( )
答案 B
解析 由于运动员做曲线运动，速度方向沿轨迹切线方向，加速度指向轨迹的凹侧，故B正确.
8.(多选)如图4所示，一个质点沿轨迹ABCD运动，图中画出了质点在各处的速度v和质点所受合力F的方向，其中可能正确的是( )
图4
A.A位置
B.B位置
C.C位置
D.D位置
答案 BD
9.(多选)质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，保持其他力不变，则质点( )
A.一定做匀变速运动
B.一定做直线运动
C.一定做非匀变速运动
D.可能做曲线运动
答案 AD
解析 质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动.由题意可知，当突然撤去F1时，质点受到的合力大小等于F1的大小，方向与F1的方向相反，故选项A正确，选项C错误；在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，质点做匀变速直线运动；二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动(条件是：F1的方向和速度方向在同一条直线上)，也可能做曲线运动(条件是：F1的方向和速度方向不在同一条直线上)，故选项B错误，选项D正确.
10.(多选)如图5所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，突然使它所受的力方向反向而大小不变，即由F变为－F，若BD为曲线AB上B点的切线，则该物体( )
图5
A.不可能沿曲线BE运动
B.不可能沿直线BD运动
C.不可能沿曲线BC运动
D.不可能沿原曲线由B返回A
答案 BCD
解析 当物体运动到B点时，速度方向沿曲线AB在B点的切线方向，即BD方向，此时力F突然变为－F，即受力由指向下方变为指向上方，物体运动的轨迹应位于合力方向与速度方向之间，根据题图可知，运动轨迹只能向上弯曲，即可能沿BE运动，不可能沿BD或BC运动，更不会沿原曲线由B返回A，故A错误，B、C、D正确.
11.一运动物体经过P点时，其速度v与合力F的方向不在同一直线上，当物体运动到Q点时，突然使合力F的方向与速度方向相同直至物体运动经过M点，若用虚线表示物体的运动轨迹，则下列图中可能正确的是(其中C、D选项中的QM段均是直线)( )
答案 C
解析 经过P点时，其速度v与合力F的方向不在同一直线上，物体做曲线运动，合力应指向运动轨迹的凹侧，当合力方向与速度方向相同时，物体做直线运动，所以从Q到M做直线运动，故C正确.
12.(2018·西南交大附中期中)一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内风力突然停止，则其运动的轨迹可能是( )
答案 C
解析 当有水平向右的风力时，合力斜向右下方，轨迹向右弯曲，风力停止时，合力向下，轨迹向下弯曲，且轨迹不能突变，故C项正确.
13.(2019·邵阳市高一下月考)在光滑水平面上运动的物体，受到水平恒力F作用后，沿曲线MN运动，速度方向改变了90°，如图6所示，则此过程中，物体受到的恒力可能是( )
图6
A.F1
B.F2
C.F3
D.F4
答案 B
解析 由题图可知，物体从M运动到N的过程中，沿初速度方向做减速运动，故物体受到与初速度方向相反的一个分力；同时物体向右做加速运动，故物体还受到向右的一个分力.由平行四边形定则知，物体受到的恒力可能是F2，B正确.
14.(多选)在光滑平面上的一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴成α角(如图7所示)，与此同时，质点上加有沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
图7
A.因为有Fx，质点一定做曲线运动
B.如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动
C.如果Fy＝Fxtan
α，质点做直线运动
D.如果Fyα，质点偏向x轴一侧做曲线运动
答案 CD
解析 质点所受合外力方向与速度方向不在同一直线上时，质点做曲线运动；若所受合外力始终与速度同方向，则做直线运动.若Fy＝Fxtan
α，则Fx和Fy的合力F与v在同一直线上(如图所示)，此时质点做直线运动；若Fyα，即tan
α>，则Fx、Fy的合力F与x轴的夹角β<α，则质点偏向x轴一侧做曲线运动.3 实验：探究平抛运动的特点
[学习目标]
1.知道什么是抛体运动、平抛运动.2.会用运动分解的方法分析两个分运动.3.会设计实验探究平抛运动两个分运动的特点，会描绘平抛运动的轨迹.
一、抛体运动和平抛运动
1.抛体运动：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力作用的运动.
2.平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动.
3.平抛运动的特点：
(1)初速度沿水平方向；
(2)只受重力作用.
二、实验：探究平抛运动的特点
(一)实验思路：
(1)基本思路：根据运动的分解，把平抛运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动，分别研究物体在这两个方向的运动特点.
(2)平抛运动的分解：可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动.
(二)进行实验：
方案一：频闪照相(或录制视频)的方法
(1)通过频闪照相(或视频录制)，获得小球做平抛运动时的频闪照片(如图1所示)；
图1
(2)以抛出点为原点，建立直角坐标系；
(3)通过频闪照片描出物体经过相等时间间隔所到达的位置；
(4)测量出经过T,2T,3T，…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；
(5)分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点.
抛出时间
T
2T
3T
4T
5T
水平位移
竖直位移
结论
水平分运动特点
竖直分运动特点
方案二：分别研究水平和竖直方向分运动规律
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
图2
(1)如图2所示，用小锤击打弹性金属片后，A球做________运动；同时B球被释放，做__________运动.观察两球的运动轨迹，听它们落地的声音.
(2)改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，即改变A球的初速度，发现两球____________，说明平抛运动在竖直方向的分运动为______________.
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
1.装置和实验
(1)如图3所示，安装实验装置，使斜槽M末端水平，使固定的背板竖直，并将一张白纸和复写纸固定在背板上，N为水平装置的可上下调节的向背板倾斜的挡板.
图3
(2)让钢球从斜槽上某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动，使小球的轨迹与背板平行.钢球落到倾斜的挡板N上，挤压复写纸，在白纸上留下印迹.
(3)上下调节挡板N，进行多次实验，每次使钢球从斜槽上同一(选填“同一”或“不同”)位置由静止滚下，在白纸上记录钢球所经过的多个位置.
(4)以斜槽水平末端端口处小球球心在木板上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴.
(5)取下坐标纸，用平滑的曲线把这些印迹连接起来，得到钢球做平抛运动的轨迹.
(6)根据钢球在竖直方向是自由落体运动的特点，在轨迹上取竖直位移为y、4y、9y…的点，即各点之间的时间间隔相等，测量这些点之间的水平位移，确定水平方向分运动特点.
(7)结论：平抛运动在相等时间内水平方向位移相等，平抛运动水平方向为匀速直线运动.
2.注意事项：
(1)实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平).
(2)背板必须处于竖直面内，固定时要用铅垂线检查坐标纸竖线是否竖直.
(3)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放.
(4)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时钢球球心在木板上的投影点.
(5)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜.
一、原理与方法
在探究平抛运动的特点时，可以选用图4中两种装置进行研究.
图4
(1)图甲的实验现象是__________.该现象说明平抛运动的__________.
(2)图乙是实验室内研究平抛运动的装置.为了保证钢球每次抛出后在空中做平抛运动的轨迹是一定的，每次释放时都使钢球在弧形槽上________位置由________滚下.
答案 (1)两小球总是同时落地 竖直分运动是自由落体运动 (2)同一 静止
解析 (1)题图甲装置用来研究平抛物体在竖直方向的运动规律，观察实验发现两小球总是同时落地，可知做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动.
(2)题图乙是实验室内研究平抛运动的装置.为了保证钢球每次抛出后在空中做平抛运动的轨迹是一定的，每次释放时都应使钢球在弧形槽上同一位置由静止滚下，保证其做平抛运动的初速度相同，从而保证轨迹是一定的.
如图5所示是采用频闪照相的方法拍摄到的“小球做平抛运动”的照片.背景标尺每小格边长均为L＝5
cm，则：
图5
(1)由图可知，小球在水平方向做________运动，理由是__________________________.
(2)拍摄时每_______
s曝光一次，平抛运动的初速度为_______
m/s.(取重力加速度g＝10
m/s2)
答案 (1)匀速直线 在水平方向上相等时间内通过相等的位移 (2)0.1 1
解析 设每次曝光时间间隔为T，在竖直方向，根据公式Δx＝aT2，可知2L＝gT2，则T＝＝0.1
s；小球在水平方向做匀速直线运动，则v0＝＝＝1
m/s.
二、创新实验设计
(2019·定远育才学校下学期期末)在做“探究平抛运动的特点”的实验中，为了确定小球不同时刻在空中所通过的位置，实验时用了如图6所示的装置.先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平整的木板表面钉上白纸和复写纸.将该木板竖直立于水平地面上，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A；将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B；将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，得到痕迹C.若测得木板每次移动距离x＝10.00
cm，A、B间距离y1＝5.02
cm，B、C间距离y2＝14.82
cm.请回答以下问题：(g＝9.80
m/s2)
图6
(1)为什么每次都要使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放？________________________
(2)每次把木板移动相同的水平距离，原因是：____________________________________
________________________________________________________________________.
(3)根据以上直接测量的物理量求得小球初速度的表达式为v0＝_______.(用题中所给字母表示)
(4)小球初速度的值为v0＝________
m/s.
答案 见解析
解析 (1)为了确保小球每次抛出的轨迹相同，应该使抛出时的初速度相同，因此每次都应使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放；
(2)因为小球水平方向做匀速直线运动，由x＝v0t知，若x相同，则时间t相等.
(3)在竖直方向上：Δy＝y2－y1＝gt2，t＝
水平方向上：x＝v0t，初速度：v0＝＝x；
(4)代入数据解得：v0＝1.00
m/s.
1.(2019·枣庄八中期中)(1)在做“探究平抛运动的特点”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上________.
A.通过调节使斜槽的末端保持水平
B.每次释放小球的位置必须不同
C.每次必须由静止释放小球
D.记录小球位置用的木条(或凹槽)每次必须严格地等距离下降
E.小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触
F.将小球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
(2)在“研究平抛运动”的实验中，让小球多次从斜槽上滚下，在白纸上依次记下小球的位置，同学甲和同学乙得到的记录纸分别如图7甲、乙所示，从图中明显看出甲的实验错误是__________________________，乙的实验错误是____________________.
图7
答案 (1)ACE (2)斜槽末端不水平 每次由静止释放小球的位置不同
解析 (1)通过调节使斜槽的末端保持水平，可以确保初速度水平，每次释放小球的位置必须相同且由静止释放，这样才能保证初速度相同，记录距离大致均匀，便于描轨迹即可，小球运动时不与木板上的白纸(或方格纸)相接触，防止影响运动轨迹，最后应将点用平滑的曲线相连，故选A、C、E.
(2)用平滑曲线描绘出小球的运动轨迹，不难看出题图甲中小球的初速度明显不沿水平方向，故可推知斜槽末端不水平.题图乙中描绘的点零乱，难以形成一条平滑曲线，可推知初速度不是每次都相同，即每次由静止释放小球的位置不同.
2.(2019·新乡市高一下学期期末)用如图8所示的装置探究平抛运动的特点，在一块竖直放置的背景板上固定两个弧形轨道A、B，用于发射小铁球，从轨道A射出的小铁球做平抛运动，从轨道B射出的小铁球做匀速直线运动.板上还装有三个电磁铁C、D、E，其中电磁铁C、D可分别沿轨道A、B移动.在轨道A出口处有一个碰撞开关S，用以控制电磁铁E的电源的通断，电磁铁E可以沿水平杆MN移动，当它吸上小铁球时，该小铁球的中心与从轨道A末端射出的小铁球的中心在同一水平线上.
图8
(1)实验中，轨道A末端的切线必须是水平的，这样做的目的是________；
A.保证小铁球飞出时，速度既不太大，也不太小
B.保证小铁球飞出时，初速度水平
C.保证小铁球在空中运动的时间每次都相等
D.保证小铁球运动的轨迹是一条抛物线
(2)若轨道A、B出口方向平行但略向下倾斜，将小铁球1从某高度静止释放，小铁球落在轨道B的P点，将电磁铁E移至P点正上方，将小铁球1和小铁球3同时释放，先到达P点的是________；
(3)若轨道A、B出口均水平，调节小铁球3的水平位置多次实验，发现小铁球1和小铁球3总是在空中相碰，则说明小铁球1在竖直方向上做________运动.
答案 (1)B (2)小铁球1 (3)自由落体
解析 (1)平抛运动的初速度沿水平方向，故为了保证小铁球飞出时初速度水平，实验中，轨道A末端的切线必须是水平的，B正确；
(2)由于轨道A出口向下倾斜，则射出后，小铁球1有竖直方向上的初速度，并且与小铁球3下降的高度相同，而小铁球3竖直方向上的初速度为零，故小铁球1先到达P点；
(3)发现小铁球1和小铁球3总是在空中相碰，说明两者在竖直方向上的运动性质相同，故说明小铁球1在竖直方向上做自由落体运动.
3.(2018·首师大附中期中)(1)平抛物体的运动规律可以概括为两点：①水平方向做匀速运动，②竖直方向做自由落体运动.为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验：如图9所示，用小锤打击弹性金属片，A球就水平飞出，同时B球被松开，做自由落体运动，两球同时落到地面，改变高度，重复实验，观察到相同现象，这个实验________.
图9
A.只能说明上述规律中的第①条
B.只能说明上述规律中的第②条
C.不能说明上述规律中的任何一条
D.能同时说明上述两条规律
(2)在做研究平抛运动的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹.如图乙所示是用一张印有小方格的纸记录的轨迹，小方格的边长为L，小球在平抛运动途中的几个位置如图乙中的a、b、c、d所示，则由图乙可知小球从a运动到b和从b运动到c的时间是________(选填“相等”或“不相等”)的，小球从a运动到b的时间Δt＝________，小球做平抛运动的初速度为v0＝________(用L、g表示).
答案 (1)B (2)相等 2
解析 (1)该实验中两小球是同时落地的，能说明A球在竖直方向的分运动与B球的运动完全相同，选项B正确.
(2)小球做平抛运动，水平方向的分运动是匀速直线运动，由题图乙可知，小球从a到b与从b到c的水平位移相等，因此时间相等.在竖直方向上，位移的增量满足关系Δx＝g(Δt)2，则小球从a运动到b的时间为Δt＝.水平位移2L＝v0Δt，结合前式可得v0＝2.本章知识网络构建
抛体
运动(共3张PPT)
本章知识网络构建
第五章 抛体运动
曲线运动
曲线运动
速度方向：轨迹
方向
运动条件：________________________________
，合力的方向指向曲线的
侧
运动的合成与分解
合运动：物体的实际运动
运算法则：_______________
实验：探究平抛运动的特点
频闪照相法
描迹法
切线
物体所受合力的方向与它的速度方向
不在同一直线上
凹
平行四边形定则
平抛运动
水平方向：
运动，x＝
，vx＝__
竖直方向：
运动，y＝
，vy＝__
合运动：
运动，轨迹为_______
斜抛运动
水平方向：v0x＝
，做
运动(θ为v0与水平
方向的夹角)
竖直方向：v0y＝
，做
运动(θ为v0与水
平方向的夹角)
匀速直线
v0t
自由落体
v0
匀变速曲线
抛物线
gt
v0cos
θ
匀速直线
v0sin
θ
匀变速直线
节飞,
抛体
运动(共28张PPT)
1 曲线运动
第五章 抛体运动
1.会确定曲线运动的速度方向，知道曲线运动是一种变速运动.
2.知道物体做曲线运动的条件.
学习目标
梳理教材 夯实基础
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材 夯实基础
01
1.质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的
.
2.曲线运动是
运动.
(1)速度是矢量，既有大小，又有
.
(2)在曲线运动中，速度的
是变化的，所以曲线运动是
运动.
曲线运动的速度方向
一
切线方向
变速
方向
方向
变速
1.物体如果不受力，将
或做
运动.
2.物体做曲线运动时，由于速度
时刻改变，物体的加速度一定
；物体所受的合力一定
.
3.物体做曲线运动的条件：
(1)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向
时，物体做曲线运动.
(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向
时，物体做曲线运动.
物体做曲线运动的条件
二
静止
匀速直线
方向
不为0
不为0
不在同一直线上
不在同一直线上
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)做曲线运动的物体，速度可能不变.( )
(2)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动.( )
(3)做曲线运动的物体的位移大小可能与路程相等.( )
(4)做曲线运动的物体所受的合力一定是变力.( )
(5)做曲线运动的物体加速度一定不为零.( )
×
√
×
×
√
2.将一条形磁铁放在光滑水平桌面的不同位置，让小铁珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹.图1中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小铁珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小铁珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号).实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动.
图1
b
c
不在
解析 因为磁铁对小铁珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小铁珠做变加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，合力的方向指向轨迹的凹侧，运动轨迹为c.当物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.
探究重点 提升素养
02
曲线运动的速度方向
一
导学探究
图2为砂轮打磨下来的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样.
(1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？
答案 沿砂轮的切线方向
(2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？
答案 是
(3)微粒做曲线运动时，加速度可以是零吗？为什么？
答案 不为零.因为速度的方向在变化，即速度在变化.
图2
知识深化
1.曲线运动中，质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
2.曲线运动中，质点的速度方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动，加速度一定不为零.
例1 如图3所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，下列说法正确的是
A.物体的速度可能不变
B.物体的加速度可能为零
C.a点的速度方向由a指向b
D.ab段的位移大小一定小于路程
解析 做曲线运动的物体的速度方向时刻改变，即使速度大小不变，速度方向也在不断发生变化，故速度一直在变，A项错误；
做曲线运动的物体速度在变化，加速度必定不为零，B项错误；
a点的速度方向沿a点的切线方向，C项错误；
做曲线运动的物体的位移大小必小于路程，D项正确.
图3
√
物体做曲线运动的条件
二
导学探究
1.图4甲为抛出的石子在空中运动的轨迹，图乙是水平面上一小钢球在磁铁作用下的部分轨迹.请画出物体在A、B、C、D四点的受力方向和速度方向.
图4
答案 各点受力方向和速度方向如图所示
2.物体做曲线运动的条件是什么？
答案 物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上.
知识深化
1.物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力方向与物体的速度方向不在同一直线上.
(2)运动学条件：加速度方向与物体的速度方向不在同一直线上.
说明：物体做曲线运动时，所受合力可能变化，也可能不发生变化.
2.物体运动性质的判断
(1)直线或曲线的判断
看合力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在同一直线上.
(2)匀变速或非匀变速的判断
合力为恒力，物体做匀变速运动；合力为变力，物体做非匀变速运动.
(3)变速运动的几种类型
轨迹特点
加速度与
速度方向
的关系
加速度特点
运动性质
直线
共线
加速度不变
匀变速直线运动
加速度变化
非匀变速直线运动
曲线
不共线
加速度不变
匀变速曲线运动
加速度变化
非匀变速曲线运动
例2 曲线运动是自然界中普遍存在的运动形式，下面关于曲线运动的说法中，正确的是
A.物体只要受到变力的作用，就会做曲线运动
B.物体在恒定的合力作用下一定会做直线运动
C.物体做曲线运动时，合力方向可能发生变化，也可能不变
D.物体在大小不变的合力作用下必做匀变速曲线运动
解析 当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，A、B错误；
物体做曲线运动时，其所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上，合外力的方向可能发生变化，也可能不变，C正确；
做匀变速曲线运动的物体所受的合力恒定不变，而不只是合力大小不变，D错误.
√
曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹的关系
三
由于曲线运动的速度方向时刻改变，合力不为零.合力垂直于速度方向的分力改变速度的方向，所以合力总指向运动轨迹的凹侧，即曲线运动的轨迹总向合力所指的一侧弯曲.
例3 (多选)如图5所示，质量为m的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与力F1、F3的方向恰好在同一直线上，则下列说法正确的是
A.若只撤去F1，物体做匀加速直线运动
B.若只撤去F3，物体做匀加速直线运动
C.若只撤去F2，物体做匀变速曲线运动
D.若只撤去F4，物体做非匀变速曲线运动
解析 若只撤去F1，合力方向与速度v同向，则物体做匀加速直线运动；若只撤去F3，合力方向与速度v反向，物体做匀减速直线运动，A项正确，B项错误.
若只撤去F2或F4，合力方向与速度方向不在同一直线上，且合力大小不变，则物体做匀变速曲线运动，C项正确，D项错误.
图5
√
√
例4 如图6所示，高速摄像机记录了一名擅长飞牌、射牌的魔术师的发牌过程，虚线是飞出的扑克牌的运动轨迹，则扑克牌所受合力F与速度v关系正确的是
图6
√
解析 做曲线运动的物体速度方向沿轨迹的切线方向，合力指向运动轨迹的凹侧，所以A正确.
针对训练 在光滑水平面上以速度v做匀速直线运动的小球，受到一个跟它的速度方向不在同一直线上的水平恒力F的作用后，获得加速度a.下列四幅图中，能正确反映v、F、a及小球运动轨迹(虚线)之间的关系的是
√
解析 小球做匀速直线运动时，受力平衡，当受到一个与运动方向不在同一直线上的水平恒力F的作用时，因合力方向与速度方向不在同一直线上，所以小球一定做曲线运动且合力的方向指向运动轨迹的凹侧，根据牛顿第二定律可知，加速度方向与合力方向相同，故C正确.
随堂演练 逐点落实
03
1.(曲线运动的速度方向)在F1赛事中，若在弯道上高速行驶的赛车车轮脱落，则关于脱落的车轮的运动情况，下列说法中正确的是
A.仍然沿着赛车的弯道行驶
B.沿着与弯道切线垂直的方向飞出
C.沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D.上述情况都有可能
解析 赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车的速度方向是赛车运动轨迹上的对应点的切线方向，脱落的车轮的速度方向也就是脱落点轨迹的切线方向，车轮脱落后，不再受到车身的约束，受到与速度方向相反的阻力作用，车轮做直线运动，离开弯道，故C正确.
√
1
2
3
4
2.(曲线运动的条件)对做曲线运动的物体，下列说法正确的是
A.速度方向与合力方向不可能在同一条直线上
B.加速度方向与合力方向可能不在同一条直线上
C.加速度方向与速度方向有可能在同一条直线上
D.合力的方向一定是变化的
解析 由物体做曲线运动的条件可知，速度方向与合力方向不可能在同一条直线上，根据牛顿第二定律，加速度与合力一定同向，即一定在同一条直线上，所以加速度方向与速度方向不可能在同一条直线上，故A正确，B、C错误；
在恒力作用下，物体也可以做曲线运动，只要合力方向与速度方向不共线就可以，故D错误.
√
1
2
3
4
3.(曲线运动的受力、速度与轨迹的关系)(2018·嘉兴市第一中学高一下期末)老鹰在天空中飞翔，图中虚线表示老鹰在竖直平面内飞行的轨迹，关于老鹰在图示位置时的速度v及其所受合力F的方向可能正确的是
√
1
2
3
4
4.(物体运动性质的判断)在光滑水平面上有一质量为2
kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动.现突然将与速度方向相反的2
N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是
A.物体做速度大小不变的曲线运动
B.物体做加速度大小变化的曲线运动
C.物体做加速度为
m/s2的匀变速曲线运动
D.物体做加速度为1
m/s2的匀变速曲线运动
√
1
2
3
4
解析 物体原来所受合力为零，当将与速度反方向的2
N的力水平旋转90°后，其受力如图所示
1
2
3
4(共31张PPT)
2 运动的合成与分解
第五章 抛体运动
1.理解合运动、分运动、运动的合成、运动的分解的概念，掌握运动的合成与分解的方法.
2.能运用运动的合成与分解的知识分析一些实际运动.
学习目标
梳理教材 夯实基础
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材 夯实基础
01
1.建立坐标系
研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立
坐标系.
如图1所示，以蜡块开始匀速运动的位置为
，以
的方向和
的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系.
一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
一
图1
平面直角
原点O
水平向右
竖直向上
2.蜡块运动的位置：玻璃管向右匀速平移的速度设为vx，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝
，y＝
.
3.蜡块运动的轨迹：将x、y消去t，得到
，可见蜡块的运动轨迹是一条______
.
4.蜡块运动的速度：大小v＝
，方向满足tan
θ＝
.
vxt
vyt
过原点
的直线
1.合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体
就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动.
2.运动的合成与分解：
的过程，叫作运动的合成；________
的过程，叫作运动的分解.
3.运动的合成与分解遵循
法则.
运动的合成与分解
二
实际发生的运动
已知合运
动求分运动
矢量运算
已知分运动求合运动
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等.( )
(2)合运动一定是实际发生的运动.( )
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大.( )
(4)两个夹角为90°的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动.( )
√
√
×
√
2.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.3
m/s的速度匀速上浮.在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向匀速向右运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成37°角，如图2所示.若玻璃管的长度为0.9
m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和沿水平方向运动的距离分别约为________m/s和_____m.(sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
图2
0.4
1.2
探究重点 提升素养
02
运动的合成与分解
一
1.合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动.
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.
2.合运动与分运动的四个特性
等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解.其合成、分解遵循平行四边形定则.
(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解.
例1 跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力有关
D.运动员着地速度与风力无关
解析 运动员同时参与了两个分运动：竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动.这两个分运动同时发生，相互独立.所以水平风力越大，运动员着地速度越大，但下落时间由下落的高度决定，与风力无关，故选B.
√
针对训练1 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮.如图3所示，当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，第一次使玻璃管水平向右匀速运动，测得红蜡块运动到顶端所需时间为t1；第二次使玻璃管水平向右加速运动，测得红蜡块从下端运动到顶端所需时间为t2，则
A.t1＝t2
B.t1＞t2
C.t1＜t2
D.无法比较
解析 由于分运动的独立性，故玻璃管水平向右的分运动不影响红蜡块向上的运动，t1＝t2，所以A正确.
图3
√
例2 (多选)玻璃生产线的最后有一台切割机，能将一定宽度但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形.假设送入切割机的原始玻璃板的宽度是L＝2
m，它沿切割机的轨道(与玻璃板的两侧边平行)以v1＝0.15
m/s的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃板的切割速度v2＝0.2
m/s，为了确保割下的玻璃板是矩形，则相对地面
A.割刀运动的轨迹是一段直线
B.割刀完成一次切割的时间为10
s
C.割刀运动的实际速度大小为0.05
m/s
D.割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移大小是1.5
m
√
√
√
解析 为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，割刀相对玻璃板的运动速度应垂直于玻璃板侧边，割刀实际参与了两个分运动，即沿玻璃板侧边方向的运动和垂直于玻璃板侧边方向的运动.两个分运动都是匀速直线运动，则合运动为匀速直线运动，故A正确；
10
s内玻璃板沿轨道方向的位移x＝v1t＝1.5
m，故D正确.
合运动的性质与运动轨迹
二
1.分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v和合加速度a，然后进行判断.
(1)是否为匀变速的判断：
(2)曲、直判断：
2.两个互成角度的直线运动的合运动轨迹的判断：
轨迹在合初速度v0与合加速度a之间，且向加速度一侧弯曲.
例3 (多选)质量为2
kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度－时间图像和y方向的位移－时间图像如图4所示，下列说法正确的是
A.质点的初速度为5
m/s
B.质点所受的合外力为3
N，做匀变速曲线运动
C.2
s末质点速度大小为6
m/s
D.2
s内质点的位移大小约为12
m
图4
√
√
√
解析 由题图x方向的速度－时间图像可知，在x方向的加速度为1.5
m/s2，x方向受力Fx＝3
N，由题图y方向的位移－时间图像可知在y方向做匀速直线运动，速度大小为vy＝4
m/s，y方向受力Fy＝0.因此质点的初速度为5
m/s，A正确；
受到的合外力恒为3
N，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，B正确；
针对训练2 (2018·汕头市高一检测)质量为1
kg的物体在水平面内做曲线运动，已知该物体在两个互相垂直方向上的分运动的速度－时间图像分别如图5甲、乙所示，则下列说法正确的是
A.2
s末物体速度大小为7
m/s
B.物体所受的合外力大小为3
N
C.物体的初速度大小为5
m/s
D.物体初速度的方向与合外力方向垂直，
做匀变速曲线运动
图5
√
解析 根据题意可知，物体在两个互相垂直方向上运动，即x方向与y方向垂直，且物体在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，在y方向做匀速直线运动，2
s末，vx＝3
m/s，vy＝4
m/s，因而v＝ ＝5
m/s，A错误；
t＝0时，vx＝0，vy＝4
m/s.因而初速度v0＝4
m/s，C错误；
由于初速度v0＝4
m/s，且沿y方向，F＝1.5
N，且沿x方向，故物体做匀变速曲线运动，D正确.
例4 (2018·广元市高一检测)如图6所示，在光滑水平面上有两条互相平行的直线l1、l2，AB是这两条平行直线的垂线，其中A点在直线l1上，B、C两点在直线l2上.一个物体正沿直线l1以恒定的速度匀速向右运动，如果物体要从A点运动到C点，图中1、2、3为可能的路径，则可以使物体通过A点时
A.获得由A指向B的任意瞬时速度，物体的路径是2
B.获得由A指向B的确定瞬时速度，物体的路径是2
C.持续受到平行AB的任意大小的恒力，物体的路径可能是1
D.持续受到平行AB的确定大小的恒力，物体的路径可能是3
图6
√
解析 获得由A指向B的确定瞬时速度，即两个匀速直线运动的合运动轨迹可能是2，A错误，B正确.
持续受到平行AB的确定大小的恒力，即合加速度与合初速度垂直，轨迹偏向加速度一侧，轨迹可能是1，C、D错误.
随堂演练 逐点落实
03
1.(运动的合成和分解)(多选)关于运动的合成和分解，下列说法正确的是
A.合运动的时间就是分运动的时间之和
B.已知两分运动的速度大小，就可以确定合速度的大小
C.已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形定则确定合速度的大小和
方向
D.若两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤
v≤v1＋v2
解析 合运动与分运动具有等时性，故A错误；
已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形定则确定合速度的大小和方向，故B错误，C正确；
两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2，故D正确.
1
2
3
4
√
√
2.(运动的合成和分解)(2018·金华市十校高一下期末)在第十一届珠海国际航展上，歼－20战机是此次航展最大的“明星”.如图7，歼－20战机在降落过程中水平方向的初速度为60
m/s，竖直方向的初速度为6
m/s，已知歼－20战机在水平方向做加速度大小为2
m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小为0.2
m/s2的匀减速直线运动，则歼－20战机在降落过程中，下列说法正确的是
A.歼－20战机的运动轨迹为曲线
B.经20
s，歼－20战机水平方向的分速度与竖直方向的分速
度大小相等
C.在前20
s内，歼－20战机在水平方向的分位移与竖直方向
的分位移大小相等
D.歼－20战机在前20
s内，水平方向的平均速度为40
m/s
1
2
3
4
图7
√
经20
s，歼－20战机水平方向的分速度v1＝60
m/s－2×20
m/s＝20
m/s，竖直方向上的分速度为v2＝6
m/s－0.2×20
m/s＝2
m/s，故B错误；
1
2
3
4
3.(合运动轨迹的判断)如图8所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为H
m、沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起.设经t
s时间后，A、B之间的距离为l
m，且l＝H－t2，则在这段时间内伤员B的受力情况和运动轨迹是下列哪个图
1
2
3
4
图8
√
解析 根据l＝H－t2，位移h＝H－l＝t2，可知伤员B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员B在水平方向匀速运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内伤员B的受力情况和运动轨迹是A.
1
2
3
4
4.(合运动性质的判断)(多选)如图9甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图像如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是
A.猴子的运动轨迹为直线
B.猴子在0～2
s内做匀变速曲线运动
C.t＝0时猴子的速度大小为8
m/s
D.猴子在0～2
s内的加速度大小为4
m/s2
1
2
3
4
图9
√
√
解析 猴子在竖直方向做初速度为8
m/s，加速度大小为4
m/s2的匀减速直线运动，水平方向做速度大小为4
m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在0～2
s内做匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；
1
2
3
4
猴子在0～2
s内的加速度大小为4
m/s2，选项D正确.(共29张PPT)
专题强化 平抛运动规律的应用
第五章 抛体运动
1.能熟练运用平抛运动规律解决问题.
2.会分析平抛运动与其他运动相结合的问题.
3.会分析类平抛运动.
学习目标
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
探究重点 提升素养
01
1.做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
2.做平抛运动的物体在某时刻速度方向、位移方向与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan
θ＝2tan
α.
平抛运动的两个重要推论及应用
一
例1 如图1所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)
A.tan
φ＝sin
θ
B.tan
φ＝cos
θ
C.tan
φ＝tan
θ
D.tan
φ＝2tan
θ
图1
√
解析 物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan
φ＝2tan
θ，选项D正确.
与斜面有关的平抛运动，两种情况的特点及分析方法对比如下：
与斜面有关的平抛运动
二
例2 (2019·长丰二中高一下学期期末)如图2所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3
m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)，则
A.小球击中斜面时的速度大小为5
m/s
B.小球击中斜面时的速度大小为4
m/s
C.小球做平抛运动的水平位移是1.6
m
D.小球做平抛运动的竖直位移是1
m
图2
√
总结提升
例2中物体垂直落到斜面上，已知末速度方向，一般是将物体的末速度进行分解，由速度方向确定两分速度之间的关系.
例3 如图3所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点.求：(空气阻力不计，重力加速度为g)
图3
(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
解析 设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos
30°＝v0t，
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
解析 如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动.
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得
总结提升
1.物体从斜面抛出后又落到斜面上，已知位移方向，一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系.
2.例3中物体的运动满足以下规律：
(1)物体的竖直位移与水平位移之比是常数，等于斜面倾角的正切值；
(2)物体的运动时间与初速度大小成正比；
(3)物体落在斜面上，位移方向相同，都沿斜面方向；
(4)物体落在斜面上不同位置时的速度方向相互平行；
(5)当物体的速度方向与斜面平行时，物体到斜面的距离最大.
针对训练 (2019·淮南二中高一第二学期期末)如图4所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上.若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为
A.1∶1
B.1∶3
C.16∶9
D.9∶16
图4
√
类平抛运动是指物体做曲线运动，其运动可以分解为互相垂直的两个方向的分运动：一个方向是匀速直线运动，另一个方向是在恒定合外力作用下的初速度为零的匀加速直线运动.
(1)类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直.
(2)类平抛运动的运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
类平抛运动
三
例4 如图5所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g，不计空气阻力)
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
图5
(2)物块由P点水平射入时初速度的大小v0；
解析 沿水平方向有b＝v0t
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
解析 物块离开Q点时的速度大小
随堂演练 逐点落实
02
1.(与斜面有关的平抛运动)(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和
的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.(与斜面有关的平抛运动)(多选)(2018·乐山市高一检测)如图6所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速度v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点，将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，
则tan
θ＝2tan
φ
B.若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，
则tan
φ＝2tan
θ
C.小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2
θ∶1
D.小球A、B在空中运动的时间之比为tan2
θ∶1
1
2
3
4
√
图6
√
1
2
3
4
3.(平抛运动规律的推论)如图7所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则
A.当v1>v2时，α1>α2
B.当v1>v2时，α1<α2
C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
1
2
3
4
图7
√
1
2
3
4
4.(类平抛运动)如图8所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平地面上，不计阻力，则下列说法正确的是
A.A、B的运动时间相同
B.A、B沿x轴方向的位移相同
C.A、B运动过程中的加速度大小相同
D.A、B落地时速度大小相同
1
2
3
4
图8
√
1
2
3
4
由x1＝v0t1，x2＝v0t2可知，x1由a1＝g，a2＝gsin
θ可知，选项C错误；专题强化 平抛运动规律的应用
[学习目标]
1.能熟练运用平抛运动规律解决问题.2.会分析平抛运动与其他运动相结合的问题.3.会分析类平抛运动.
一、平抛运动的两个重要推论及应用
1.做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
2.做平抛运动的物体在某时刻速度方向、位移方向与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan
θ＝2tan
α.
如图1所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)( )
图1
A.tan
φ＝sin
θ
B.tan
φ＝cos
θ
C.tan
φ＝tan
θ
D.tan
φ＝2tan
θ
答案 D
解析 物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan
φ＝2tan
θ，选项D正确.
二、与斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动，两种情况的特点及分析方法对比如下：
运动情形
分析方法
运动规律
飞行时间
从空中抛出垂直落到斜面上
分解速度，构建速度三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
θ与v0、t的关系：
tan
θ＝＝
t＝
从斜面抛出又落到斜面上
分解位移，构建位移三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
θ与v0、t的关系：
tan
θ＝＝
t＝
(2019·长丰二中高一下学期期末)如图2所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3
m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)，则( )
图2
A.小球击中斜面时的速度大小为5
m/s
B.小球击中斜面时的速度大小为4
m/s
C.小球做平抛运动的水平位移是1.6
m
D.小球做平抛运动的竖直位移是1
m
答案 A
解析 P点小球的速度方向与斜面垂直，则有：tan
37°＝，解得：vy＝＝
m/s＝4
m/s，小球击中斜面时的速度大小为：v＝＝
m/s＝5
m/s，A正确，B错误；小球运动的时间：t＝＝
s＝0.4
s，可知水平位移：x＝v0t＝3×0.4
m＝1.2
m，竖直位移：y＝gt2＝×10×0.42
m＝0.8
m，C、D错误.
例2中物体垂直落到斜面上，已知末速度方向，一般是将物体的末速度进行分解，由速度方向确定两分速度之间的关系.
如图3所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点.求：(空气阻力不计，重力加速度为g)
图3
(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
答案 (1) (2)
解析 (1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos
30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin
30°＝gt2，
解得t＝tan
30°＝，lAB＝.
(2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动.
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得
t′＝＝＝tan
30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝.
1.物体从斜面抛出后又落到斜面上，已知位移方向，一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系.
2.例3中物体的运动满足以下规律：
(1)物体的竖直位移与水平位移之比是常数，等于斜面倾角的正切值；
(2)物体的运动时间与初速度大小成正比；
(3)物体落在斜面上，位移方向相同，都沿斜面方向；
(4)物体落在斜面上不同位置时的速度方向相互平行；
(5)当物体的速度方向与斜面平行时，物体到斜面的距离最大.
针对训练 (2019·淮南二中高一第二学期期末)如图4所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上.若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为( )
图4
A.1∶1
B.1∶3
C.16∶9
D.9∶16
答案 D
解析 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，x＝v0t，y＝gt2，tan
θ＝，分别将37°、53°代入可得A、B两个小球平抛所经历的时间之比为tA∶tB＝tan
37°∶tan
53°＝9∶16，选项D正确，A、B、C错误.
三、类平抛运动
类平抛运动是指物体做曲线运动，其运动可以分解为互相垂直的两个方向的分运动：一个方向是匀速直线运动，另一个方向是在恒定合外力作用下的初速度为零的匀加速直线运动.
(1)类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直.
(2)类平抛运动的运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2.
如图5所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g，不计空气阻力)
图5
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时初速度的大小v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
答案 (1) (2)b
(3)
解析 (1)沿斜面向下的方向有mgsin
θ＝ma，l＝at2
联立解得t＝.
(2)沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b.
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝＝.
1.(与斜面有关的平抛运动)(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
答案 A
解析 设斜面的倾角为θ，甲球落在斜面上所用时间为t，根据平抛运动的规律有x＝vt、y＝gt2，且tan
θ＝，联立以上各式可得甲球落在斜面上所用时间为t＝，竖直方向的分速度为vy＝gt＝2vtan
θ，甲球落在斜面上时的速率v1＝＝v，同理可得乙球落在斜面上时的速率v2＝，即甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的2倍，选项A正确，B、C、D错误.
2.(与斜面有关的平抛运动)(多选)(2018·乐山市高一检测)如图6所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速度v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点，将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图6
A.若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan
θ＝2tan
φ
B.若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan
φ＝2tan
θ
C.小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2
θ∶1
D.小球A、B在空中运动的时间之比为tan2
θ∶1
答案 BC
解析 对小球A，有tan
θ＝＝＝，得t＝，tan
φ＝＝，则有tan
φ＝2tan
θ，故A错误，B正确；对小球B，tan
θ＝＝，得t′＝，所以小球A、B在空中运动的时间之比为t∶t′＝2tan2
θ∶1，故C正确，D错误.
3.(平抛运动规律的推论)如图7所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则( )
图7
A.当v1>v2时，α1>α2
B.当v1>v2时，α1<α2
C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
答案 C
解析 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan
θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan
β＝＝，故可得tan
β＝2tan
θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确.
4.(类平抛运动)如图8所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平地面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
图8
A.A、B的运动时间相同
B.A、B沿x轴方向的位移相同
C.A、B运动过程中的加速度大小相同
D.A、B落地时速度大小相同
答案 D
解析 设O点与水平地面的高度差为h，由h＝gt12，＝gt22sin
θ可得：t1＝，t2＝，故t1θ可知，选项C错误；A落地的速度大小为vA＝＝，B落地的速度大小vB＝＝，所以vA＝vB，选项D正确.
一、选择题
1.如图1所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图1
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan
θ
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则θ减小
答案 D
解析 速度、位移分解如图所示，vy＝gt，v0＝＝，故A错误；设位移方向与水平方向夹角为α，则tan
θ＝2tan
α，α≠，故B错误；平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误；由tan
θ＝＝知，t不变时，v0增大则θ减小，D正确.
2.某军区某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动简化为平抛运动，如图2所示，则下列说法正确的是( )
图2
A.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变
B.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变小
C.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变大
D.若将炮弹初速度减为，炮弹位移变为原来的
答案 A
解析 因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C项错误，A项正确；由tan
θ＝得：t＝，而h＝gt2，故h∝v02，若将炮弹初速度减为，则炮弹下落高度变为原来的，位移也变为原来的，D项错误.
3.(2019·定远育才学校第二学期期末)如图3所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球以2v0的水平速度抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
图3
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
答案 B
解析 斜面倾角的正切值tan
θ＝＝＝，则运动的时间t＝，知运动的时间与平抛运动的初速度有关，初速度变为原来的2倍，则运动时间变为原来的2倍，所以时间比为1∶2.故B正确.
4.如图4所示，从斜面上的A点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点，已知＝75
m，α＝37°，不计空气阻力，g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，下列说法正确的是( )
图4
A.物体的位移大小为60
m
B.物体飞行的时间为6
s
C.物体的初速度v0大小为20
m/s
D.物体在B点的速度大小为30
m/s
答案 C
解析 物体的位移大小等于初、末位置的距离，位移大小l＝＝75
m，A错误；平抛运动的竖直位移大小h＝sin
α＝75×0.6
m＝45
m，根据h＝gt2得，物体飞行的时间t＝＝
s＝3
s，B错误；物体的初速度v0＝＝
m/s＝20
m/s，C正确；物体落到B点的竖直分速度vBy＝gt＝10×3
m/s＝30
m/s，根据平行四边形定则知，物体落在B点的速度vB＝＝
m/s＝10
m/s，D错误.
5.如图5所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )
图5
A.两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶
B.两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶2
C.两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶2
D.两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶4
答案 A
解析 平抛运动竖直方向为自由落体运动，h＝gt2，由题意可知两次平抛的竖直位移之比为1∶2，所以运动时间之比为t1∶t2＝1∶，A对，B错；水平方向为匀速直线运动，由题意知水平位移之比为1∶2，即v01t1∶v02t2＝1∶2，所以两次抛出时的初速度之比v01∶v02＝1∶，C、D错.
6.(2019·定远育才学校第二学期期末)如图6所示，A、B为两个挨得很近的小球，静止放于光滑斜面上，斜面足够长，在释放B球的同时，将A球以某一速度v0水平抛出，当A球落于斜面上的P点时，B球的位置位于(A、B两球均可视为质点，不计空气阻力)( )
图6
A.P点以下
B.P点以上
C.P点
D.由于v0未知，故无法确定
答案 B
解析 设A球落到P点的时间为tA，AP的竖直位移为y；B球滑到P点的时间为tB，BP的竖直位移也为y，A球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，由y＝gt2得运动的时间为：tA＝，B球沿斜面做匀加速直线运动，运动到P点的位移为：s＝，加速度的大小为：a＝gsin
θ，根据位移公式s＝at2得，B运动到P点的时间为：tB＝＝>tA，故选B.
7.如图7所示，将小球从倾角为45°的斜面上的P点先后以不同速度向右水平抛出，小球分别落在斜面上的A点、B点，以及水平面上的C点.已知B点为斜面底端点，P、A、B、C在水平方向间隔相等.不计空气阻力，则( )
图7
A.三次抛出小球后，小球在空中飞行的时间均不相同
B.小球落到A、B两点时，其速度的方向不同
C.若小球落到A、C两点，则两次抛出时小球的速率之比为∶3
D.若小球落到B、C两点，则两次抛出时小球的速率之比为∶3
答案 C
解析 根据h＝gt2，得t＝，由于小球落到B、C时下落的高度相同，则这两次小球飞行时间相同，大于落在A处时的飞行时间，故A错误；小球落在斜面上时，竖直方向的位移和水平方向的位移比值一定，即有tan
45°＝＝＝＝，故＝2，因此小球落在斜面上时，速度方向与水平方向的夹角与初速度无关，则小球落在A、B两点处的速度方向相同，故B错误；小球落到A、B两点，水平位移x＝v0t＝，根据P、A、B在水平方向间隔相等可得，两次抛出时小球的速率之比为vA∶vB＝1∶；小球落到B、C两点时，运动的时间相等，而P、A、B、C在水平方向间隔相等，根据v0＝可知，两次抛出时小球的速率之比为vB∶vC＝2∶3，所以vA∶vC＝∶3，故C正确，D错误.
8.(2019·厦门市高一下学期期末)如图8所示，在距地面高为H＝0.8
m处，有一小球A以初速度v0＝3
m/s水平抛出，与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度v0同方向滑出，B与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，A、B均可看成质点，不计空气阻力，A落地后静止不反弹，g＝10
m/s2，下列说法正确的是( )
图8
A.球A经0.6
s时间落地
B.球A落地时速度大小为7
m/s
C.球A落地时，B已停下
D.球A落地时，B的速度大小为1.8
m/s
答案 D
解析 A球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，H＝gt2，解得t＝0.4
s，故A错误；根据平抛运动规律v＝＝5
m/s，故B错误；在A平抛的同时，B沿水平方向做匀减速直线运动，由牛顿第二定律知a＝μg＝3
m/s2，故减速到零的时间为tB＝＝1
s>t，故A落地时B还未停下，故C错误；由匀变速直线运动的规律可知，球A落地时，B的速度vB＝v0－at＝1.8
m/s，故D正确.
9.如图9所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g，则A、B之间的水平距离为( )
图9
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，B、C、D错误.
10.如图10所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径.若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点.已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比为(小球视为质点)( )
图10
A.1∶2
B.1∶3
C.∶2
D.∶3
答案 D
解析 小球从A点平抛击中D点：R＝v1t1，R＝gt12；小球从C点平抛击中D点：Rsin
60°＝v2t2，R(1－cos
60°)＝gt22，联立解得＝，D正确，A、B、C错误.
11.如图11所示，固定斜面的倾角为α，高为h，一小球从斜面顶端水平抛出，落至斜面底端，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从抛出到离斜面距离最大所用的时间为( )
图11
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 对于整个平抛运动过程，根据h＝gt2得t＝，则平抛运动的初速度为v0＝＝；当速度方向与斜面平行时，小球距离斜面最远，此时竖直分速度为vy＝v0tan
α＝，则经历的时间为t′＝＝，故选D.
12.(2019·长沙一中期末)如图12所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R.一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
图12
A.v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长
B.即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C.若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
答案 D
解析 小球落在环上的最低点C时所用时间最长，所以选项A错误；由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球落到环上时的位移与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B错误；小球做平抛运动的末速度方向斜向右下方，不可能垂直撞击半圆环左半部分，要使小球垂直撞击半圆环右半部分，设小球落点与圆心O的连线与水平方向夹角为θ(0<θ<)，如图所示，根据平抛运动规律可得，v0t＝R(1＋cos
θ)，Rsin
θ＝gt2，tan
θ＝，联立解得cos
θ＝1，则垂直撞击到半圆环是不可能的，故选项D正确，C错误.
二、非选择题
13.如图13所示，一个小球从高h＝10
m处以速度v0＝10
m/s水平抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知＝5
m.取g＝10
m/s2，不计空气阻力，求：
图13
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度的大小和方向.
答案 (1)5
m (2)10
m/s 方向垂直于斜面向下
解析 (1)设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律有＋Lcos
θ＝v0t，h－Lsin
θ＝gt2
联立并代入数据解得L＝5
m，t＝1
s
(2)小球撞击P点时的水平速度v0＝10
m/s
竖直速度vy＝gt＝10
m/s
所以小球撞击P点时速度的大小v＝＝10
m/s
设小球撞击P点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan
α＝＝1
解得α＝45°
故小球撞击P点时速度方向垂直于斜面向下.
14.如图14所示，斜面体ABC固定在水平地面上，小球p从A点静止下滑.当小球p开始下滑时，另一小球q从A点正上方的D点水平抛出，两球同时到达斜面底端的B处.已知斜面AB光滑，长度l＝2.5
m，斜面倾角θ＝30°.不计空气阻力，g取10
m/s2，求：
图14
(1)小球p从A点滑到B点的时间；
(2)小球q抛出时初速度的大小.
答案 (1)1
s (2)
m/s
解析 (1)设小球p从斜面上下滑的加速度为a，由牛顿第二定律得：a＝＝gsin
θ①
设下滑所需时间为t1，根据运动学公式得
l＝at12②
由①②得
t1＝③
代入数据得t1＝1
s④
(2)对小球q：水平方向位移x＝lcos
θ＝v0t2⑤
依题意得t2＝t1⑥
由④⑤⑥得
v0＝＝
m/s.
15.(2019·天津市实验中学期中)如图15为一游戏中某个环节的示意图.参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3
m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道.选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素
质好的选手会选择自A点直接跃上水平跑道.选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10
m/s2.
图15
(1)若选手以速度v0在A点水平跳出后，能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4
m/s在A点水平跳出，求该选手在空中的运动时间.
答案 (1)
m/s (2)0.6
s
解析 (1)若选手以速度v0在A点水平跳出后，能落到水平跑道上，则水平方向有hsin
60°≤v0t
竖直方向有hcos
60°＝gt2
解得v0≥
m/s
则v0最小值为
m/s
(2)若选手以速度v1＝4
m/s在A点水平跳出，因v1<
m/s，选手将落在弧形坡上，设该选手在空中运动的时间为t1
下降高度为h1＝gt12
水平前进距离x＝v1t1
又x2＋h12＝h2
解得t1＝0.6
s.(共32张PPT)
3 实验：探究平抛运动的特点
第五章 抛体运动
1.知道什么是抛体运动、平抛运动.
2.会用运动分解的方法分析两个分运动.
3.会设计实验探究平抛运动两个分运动的特点，会描绘平抛运动的轨迹.
学习目标
明确原理 提炼方法
精析典题 提升能力
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
明确原理 提炼方法
01
1.抛体运动：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力
的情况下，物体只受
作用的运动.
2.平抛运动：初速度沿
方向的抛体运动.
3.平抛运动的特点：
(1)初速度沿
方向；
(2)只受
作用.
抛体运动和平抛运动
一
可以忽略
重力
水平
水平
重力
(一)实验思路：
(1)基本思路：根据运动的分解，把平抛运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动，分别研究物体在这两个方向的运动特点.
(2)平抛运动的分解：可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动.
(二)进行实验：
方案一：频闪照相(或录制视频)的方法
(1)通过频闪照相(或视频录制)，获得小球做平抛运动时
的频闪照片(如图1所示)；
实验：探究平抛运动的特点
二
图1
(2)以抛出点为原点，建立直角坐标系；
(3)通过频闪照片描出物体经过相等时间间隔所到达的位置；
(4)测量出经过T,2T,3T，…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；
(5)分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点.
抛出时间
T
2T
3T
4T
5T
水平位移
?
?
?
?
?
竖直位移
?
?
?
?
?
结论
水平分运动特点
?
竖直分运动特点
方案二：分别研究水平和竖直方向分运动规律
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
(1)如图2所示，用小锤击打弹性金属片后，A球做________运动；同时B球被释放，做__________运动.观察两球的运动轨迹，听它们落地的声音.
(2)改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，即改变A球的初速度，发现两球____________，说明平抛运动在竖直方向的分运动为______________.
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
图2
1.装置和实验
(1)如图3所示，安装实验装置，使斜槽M末端
，使固定的背板竖直，并将一张白纸和复写纸固定在背板上，N为水平装置的可上下调节的向背板倾斜的挡板.
图3
(2)让钢球从斜槽上某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动，使小球的轨迹与背板平行.钢球落到倾斜的挡板N上，挤压复写纸，在白纸上留下印迹.
(3)上下调节挡板N，进行多次实验，每次使钢球从斜槽上
(选填“同一”或“不同”)位置由静止滚下，在白纸上记录钢球所经过的多个位置.
水平
同一
(4)以斜槽水平末端端口处小球球心在木板上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴.
(5)取下坐标纸，用平滑的曲线把这些印迹连接起来，得到钢球做平抛运动的轨迹.
(6)根据钢球在竖直方向是自由落体运动的特点，在轨迹上取竖直位移为y、4y、9y…的点，即各点之间的时间
，测量这些点之间的水平位移，确定水平方向分运动特点.
(7)结论：平抛运动在相等时间内水平方向
，平抛运动水平方向为______
.
间隔相等
位移相等
匀速
直线运动
2.注意事项：
(1)实验中必须调整斜槽末端的切线
(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球
，则斜槽末端水平).
(2)背板必须处于
面内，固定时要用铅垂线检查坐标纸竖线是否
.
(3)小球每次必须从斜槽上
由静止释放.
(4)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时钢球
在木板上的投影点.
(5)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜.
水平
静止
竖直
竖直
同一位置
球心
精析典题 提升能力
02
原理与方法
一
例１ 在探究平抛运动的特点时，可以选用图4中两种装置进行研究.
图4
(1)图甲的实验现象是___________________.该现象说明平抛运动的_______________
___________.
两小球总是同时落地
竖直分运动是自
由落体运动
解析 题图甲装置用来研究平抛物体在竖直方向的运动规律，观察实验发现两小球总是同时落地，可知做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动.
(2)图乙是实验室内研究平抛运动的装置.为了保证钢球每次抛出后在空中做平抛运动的轨迹是一定的，每次释放时都使钢球在弧形槽上_____位置由_____滚下.
同一
静止
解析 题图乙是实验室内研究平抛运动的装置.为了保证钢球每次抛出后在空中做平抛运动的轨迹是一定的，每次释放时都应使钢球在弧形槽上同一位置由静止滚下，保证其做平抛运动的初速度相同，从而保证轨迹是一定的.
例２ 如图5所示是采用频闪照相的方法拍摄到的“小球做平抛运动”的照片.背景标尺每小格边长均为L＝5
cm，则：
图5
(1)由图可知，小球在水平方向做_________运动，理由是__________
___________________________.
匀速直线
在水平方向
上相等时间内通过相等的位移
(2)拍摄时每____
s曝光一次，平抛运动的初速度为___
m/s.(取重力加速度g＝10
m/s2)
0.1
1
创新实验设计
二
例３ (2019·定远育才学校下学期期末)在做“探究平抛运动的特点”的实验中，为了确定小球不同时刻在空中所通过的位置，实验时用了如图6所示的装置.先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平整的木板表面钉上白纸和复写纸.将该木板竖直立于水平地面上，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A；将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B；将木板再向远离槽口平移距离x，
小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，得到痕迹C.若测得
木板每次移动距离x＝10.00
cm，A、B间距离y1＝5.02
cm，B、
C间距离y2＝14.82
cm.请回答以下问题：(g＝9.80
m/s2)
图6
(1)为什么每次都要使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放？_________
答案 见解析
解析 为了确保小球每次抛出的轨迹相同，应该使抛出时的初速度相同，因此每次都应使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放；
(2)每次把木板移动相同的水平距离，原因是：________________________________
_______________________________________________________________________.
答案 见解析
解析 因为小球水平方向做匀速直线运动，由x＝v0t知，若x相同，则时间t相等.
(3)根据以上直接测量的物理量求得小球初速度的表达式为v0＝_______.(用题中所给字母表示)
答案 见解析
(4)小球初速度的值为v0＝________
m/s.
答案 见解析
解析 代入数据解得：v0＝1.00
m/s.
随堂演练 逐点落实
03
1.(2019·枣庄八中期中)(1)在做“探究平抛运动的特点”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上________.
A.通过调节使斜槽的末端保持水平
B.每次释放小球的位置必须不同
C.每次必须由静止释放小球
D.记录小球位置用的木条(或凹槽)每次必须严格地等距离下降
E.小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触
F.将小球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
√
1
2
3
√
√
解析 通过调节使斜槽的末端保持水平，可以确保初速度水平，每次释放小球的位置必须相同且由静止释放，这样才能保证初速度相同，记录距离大致均匀，便于描轨迹即可，小球运动时不与木板上的白纸(或方格纸)相接触，防止影响运动轨迹，最后应将点用平滑的曲线相连，故选A、C、E.
1
2
3
(2)在“研究平抛运动”的实验中，让小球多次从斜槽上滚下，在白纸上依次记下小球的位置，同学甲和同学乙得到的记录纸分别如图7甲、乙所示，从图中明显看出甲的实验错误是_______________，乙的实验错误是________________________
_____.
1
2
3
图7
斜槽末端不水平
每次由静止释放小球的位置
不同
解析 用平滑曲线描绘出小球的运动轨迹，不难看出题图甲中小球的初速度明显不沿水平方向，故可推知斜槽末端不水平.题图乙中描绘的点零乱，难以形成一条平滑曲线，可推知初速度不是每次都相同，即每次由静止释放小球的位置不同.
2.(2019·新乡市高一下学期期末)用如图8所示的装置探究平抛运动的特点，在一块竖直放置的背景板上固定两个弧形轨道A、B，用于发射小铁球，从轨道A射出的小铁球做平抛运动，从轨道B射出的小铁球做匀速直线运动.板上还装有三个电磁铁C、D、E，其中电磁铁C、D可分别沿轨道A、B移动.在轨道A出口处有一个碰撞开关S，用以控制电磁铁E的电源的通断，电磁铁E可以沿水平杆MN移动，当它吸上小铁球时，该小铁球的中心与从轨道A末端射出的小铁球的中心在同一水平线上.
1
2
3
图8
(1)实验中，轨道A末端的切线必须是水平的，这样做的目的是________；
A.保证小铁球飞出时，速度既不太大，也不太小
B.保证小铁球飞出时，初速度水平
C.保证小铁球在空中运动的时间每次都相等
D.保证小铁球运动的轨迹是一条抛物线
√
1
2
3
解析 平抛运动的初速度沿水平方向，故为了保证小铁球飞出时初速度水平，实验中，轨道A末端的切线必须是水平的，B正确；
(2)若轨道A、B出口方向平行但略向下倾斜，将小铁球1从某高度静止释放，小铁球落在轨道B的P点，将电磁铁E移至P点正上方，将小铁球1和小铁球3同时释放，先到达P点的是________；
1
2
3
解析 由于轨道A出口向下倾斜，则射出后，小铁球1有竖直方向上的初速度，并且与小铁球3下降的高度相同，而小铁球3竖直方向上的初速度为零，故小铁球1先到达P点；
小铁球1
(3)若轨道A、B出口均水平，调节小铁球3的水平位置多次实验，发现小铁球1和小铁球3总是在空中相碰，则说明小铁球1在竖直方向上做_________运动.
1
2
3
解析 发现小铁球1和小铁球3总是在空中相碰，说明两者在竖直方向上的运动性质相同，故说明小铁球1在竖直方向上做自由落体运动.
自由落体
3.(2018·首师大附中期中)(1)平抛物体的运动规律可以概括为两点：①水平方向做匀速运动，②竖直方向做自由落体运动.为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验：如图9所示，用小锤打击弹性金属片，A球就水平飞出，同时B球被松开，做自由落体运动，两球同时落到地面，改变高度，重复实验，观察到相同现象，这个实验________.
A.只能说明上述规律中的第①条
B.只能说明上述规律中的第②条
C.不能说明上述规律中的任何一条
D.能同时说明上述两条规律
1
2
3
图9
√
解析 该实验中两小球是同时落地的，能说明A球在竖直方向的分运动与B球的运动完全相同，选项B正确.
(2)在做研究平抛运动的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹.如图乙所示是用一张印有小方格的纸记录的轨迹，小方格的边长为L，小球在平抛运动途中的几个位置如图乙中的a、b、c、d所示，则由图乙可知小球从a运动到b和从b运动到c的时间是_____(选填“相等”或“不相等”)的，
小球从a运动到b的时间Δt＝_____，小球做平抛运动的初速度为v0＝______(用L、
g表示).
1
2
3
相等
1
2
3
