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第六章 圆周运动
匀速圆周运动的特点：线速度大小
，向心加速度大小_____
圆周运动的描述
物理量：线速度、角速度、周期、频率、转速
关系：v＝
，ω＝
，v＝ωr
向心力：Fn＝
＝
＝m
向心加速度：an＝
＝
＝
实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
不变
不变
mω2r
ω2r
生活中的圆周运动
火车转弯
汽车过拱形桥
航天器中的失重现象
竖直平面内的圆周运动
离心运动
若F合＝m ，物体做圆周运动
若F合＜m ，物体做
运动
若F合＞m ，物体做近心运动
两个模型：绳模型、杆模型
临界条件
绳模型：最高点重力提供向心力，
v＝ .
杆模型：最高点速度恰好为___
离心
零
昵图网
wuu.nipic.
com
Byahlbt9852No20120908135659558199
圆周
运动1 圆周运动
[学习目标]
1.掌握线速度的定义式，理解圆周运动线速度大小、方向的特点，知道什么是匀速圆周运动.
2.掌握角速度的定义式和单位.3.知道周期、转速的概念.4.理解掌握公式v＝ωr和ω＝2πn.
一、线速度
1.定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，通过的弧长为Δs.则Δs与Δt的比值叫作线速度，公式：v＝.
2.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢.
3.方向：为物体做圆周运动时该点的切线方向.
4.匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动.
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变.
二、角速度
1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值，公式：ω＝.
2.意义：描述物体绕圆心转动的快慢.
3.单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1.
4.匀速圆周运动是角速度不变的运动.
三、周期
1.周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，单位：秒(s).
2.转速n：物体转动的圈数与所用时间之比.单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min).
3.周期和转速的关系：T＝(n的单位为r/s时).
四、线速度与角速度的关系
1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积.
2.公式：v＝ωr.
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同.( × )
(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力为零.( × )
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变.( √ )
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变.( √ )
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小.( √ )
2.如图1所示，A、B是跷跷板上的两点，B点离转轴的距离是A点离转轴距离的4倍，设A、B线速度大小分别为vA和vB，角速度大小分别为ωA和ωB，则vA∶vB＝________，ωA∶ωB＝________.
图1
答案 1∶4 1∶1
一、线速度和匀速圆周运动
导学探究
如图2所示，A、B为自行车车轮辐条上的两点，当它们随轮一起转动时：
图2
(1)A、B两点的速度方向各沿什么方向？
(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？
(3)A、B两点哪个运动得快？
答案 (1)A、B两点的速度方向均沿各自圆周在该点的切线方向.
(2)B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动.
(3)B运动得快.
知识深化
1.对线速度的理解
(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快.
(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上.
(3)线速度的定义式：v＝，Δs代表在时间Δt内通过的弧长.
2.对匀速圆周运动的理解
(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化.
(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变.
(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零.
(多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A.因为它的速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动
B.该质点速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动
C.该质点速度大小不变，处于平衡状态
D.该质点做的是变速运动，所受合外力不等于零
答案 BD
二、角速度、周期和转速
导学探究
如图3所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动.
图3
(1)秒针、分针、时针哪个转得快？
(2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？
答案 (1)秒针.根据角速度公式ω＝知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针转过的角度最小，所以秒针转得最快.
(2)秒针周期为60
s，分针周期为60
min，时针周期为12
h.
知识深化
1.对角速度的理解
(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快.
(2)角速度的定义式：ω＝，Δθ代表在时间Δt内物体与圆心的连线转过的角度.
(3)在匀速圆周运动中，角速度不变.
2.对周期和频率(转速)的理解
(1)匀速圆周运动具有周期性，每经过一个周期，线速度大小和方向与初始时刻完全相同.
(2)当单位时间取1
s时，f＝n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同.
3.周期、频率和转速间的关系：T＝＝.
(多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是( )
A.秒针转动的周期最长
B.时针转动的转速最小
C.秒针转动的角速度最大
D.秒针的角速度为
rad/s
答案 BCD
解析 秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为ω
＝
rad/s＝
rad/s，D正确.
三、描述匀速圆周运动各物理量之间的关系
1.描述匀速圆周运动各物理量之间的关系
(1)v＝＝＝2πnr
(2)ω＝＝＝2πn
(3)v＝ωr
2.各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了.
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由线速度大小v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r.
做匀速圆周运动的物体，10
s内沿半径为20
m的圆周运动了100
m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度；
(3)周期.
答案 (1)10
m/s (2)0.5
rad/s (3)4π
s
解析 (1)根据线速度的定义式v＝可得
v＝
m/s＝10
m/s；
(2)根据v＝ωr可得，ω＝＝
rad/s＝0.5
rad/s；
(3)T＝＝
s＝4π
s.
针对训练1 (多选)火车以60
m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10
s内匀速转过了约10°.在此10
s时间内，火车( )
A.运动路程为600
m
B.加速度为零
C.角速度约为1
rad/s
D.转弯半径约为3.4
km
答案 AD
解析 由s＝vt知，s＝600
m，A正确；
在弯道做曲线运动，火车加速度不为零，B错误；
由10
s内转过10°知，角速度ω＝＝rad/s＝
rad/s≈0.017
rad/s，C错误.
由v＝rω知，r＝＝
m≈3.4
km，D正确.
四、同轴转动和皮带传动问题
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装
置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特
点
角速度、周期相同
线速度大小相等
线速度大小相等
规
律
线速度大小与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝
角速度与半径成反比：＝
(多选)如图4所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( )
图4
A.角速度之比为2∶1∶2
B.线速度大小之比为1∶1∶2
C.周期之比为1∶2∶2
D.转速之比为1∶2∶2
答案 BD
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等；B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等.
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2，A错误，B正确；
由ω＝2πn知，na∶nb∶nc＝1∶2∶2，D正确；
T＝，故Ta∶Tb∶Tc＝2∶1∶1，C错误.
针对训练2 如图5所示是一辆自行车，A、B、C三点分别为自行车轮胎和前后两齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是( )
图5
A.ωB＝ωC
B.vC＝vA
C.2ωA＝5ωB
D.vA＝2vB
答案 C
解析 B轮和C轮是链条传动，vB＝vC，根据v＝ωR，得5ωB＝2ωC，故A错误；由于A轮和C轮同轴，故两轮角速度相同，根据v＝ωR，得vA＝5vC，故B错误；因vA＝5vC，vA＝ωARA，vC＝vB＝ωBRB，故vA＝5vB,2ωA＝5ωB，故C正确，D错误.
1.(对匀速圆周运动的认识)(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是( )
A.相等的时间内通过的路程相等
B.相等的时间内通过的弧长相等
C.相等的时间内通过的位移相同
D.在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
答案 ABD
解析 匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，故A、B、D正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C错误.
2.(描述圆周运动各物理量的关系)(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4
m/s，转动周期为2
s，下列说法中正确的是( )
A.角速度为0.5
rad/s
B.转速为0.5
r/s
C.运动轨迹的半径为
m
D.频率为0.5
Hz
答案 BCD
解析 由题意知v＝4
m/s，T＝2
s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π
rad/s≈3.14
rad/s；由v＝ωr得r＝＝
m；由T＝得转速n＝＝
r/s＝0.5
r/s；又由频率与周期的关系得f＝＝0.5
Hz.故A错误，B、C、D正确.
3.(传动问题)某新型自行车，采用如图6甲所示的无链传动系统，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题.如图乙所示是圆锥齿轮90°轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为rA、rB和rC(rA≠rB≠rC).下列有关物理量大小关系正确的是( )
图6
A.B点与C点的角速度：ωB＝ωC
B.C点与A点的线速度：vC＝vA
C.B点与A点的线速度：vB＝vA
D.B点和C点的线速度：vB>vC
答案 B
解析 B点与C点的线速度相等，由于rB≠rC，所以ωB≠ωC，故A、D错误；B点的角速度与A点的角速度相等，所以＝，即vB＝vA，故C错误；B点与C点的线速度相等，所以vC＝vB＝vA，故B正确.
4.(圆周运动的周期性)如图7所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v及圆盘转动的角速度ω的大小.
图7
答案 R 2nπ(n＝1,2,3…)
解析 设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，则
R＝vt，h＝gt2
故初速度大小v＝R
θ＝n·2π(n＝1,2,3…)
又因为θ＝ωt
则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3…).
考点一 描述圆周运动的物理量及它们之间的关系
1.(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( )
A.因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B.因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C.因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D.因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
答案 CD
解析 当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，所以A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，故C、D正确.
2.(2019·哈师大附中期中)汽车在公路上行驶时一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长.某国产轿车的车轮半径约为30
cm，当该型号的轿车在高速公路上匀速行驶时，驾驶员面前速度计的指针指在“120
km/h”上，可估算出该车轮的转速近似为(π取3.14)( )
A.1
000
r/s
B.1
000
r/min
C.1
000
r/h
D.2
000
r/s
答案 B
解析 根据公式v＝ωr和ω＝2πn可得n＝≈17.7
r/s＝1
062
r/min，故B正确，A、C、D错误.
3.(多选)A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长之比sA∶sB＝2∶3，转过的圆心角之比θA∶θB＝3∶2.则下列说法正确的是( )
A.它们的线速度大小之比vA∶vB＝2∶3
B.它们的角速度之比ωA∶ωB＝2∶3
C.它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D.它们的周期之比TA∶TB＝3∶2
答案 AC
解析 由v＝知＝，选项A对；由ω＝知＝，选项B错；由ω＝知＝＝，选项C对，D错.
4.一汽车发动机的曲轴每分钟转2
400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2
m的点的线速度的大小.
答案 (1)
s 80π
rad/s (2)16π
m/s
解析 (1)由于曲轴每秒钟转＝40(周)即n＝40
r/s，则周期T＝＝
s；而每转一周为2π
rad，因此曲轴转动的角速度ω＝2πn＝2π×40
rad/s＝80π
rad/s.
(2)已知r＝0.2
m，因此这一点的线速度大小为v＝ωr＝80π×0.2
m/s＝16π
m/s.
考点二 传动问题
5.(2018·辽宁省实验中学期中)如图1所示，小强同学正在荡秋千，关于绳上a点和b点的线速度和角速度，下列关系正确的是( )
图1
A.va＝vb
B.va>vb
C.ωa＝ωb
D.ωa<ωb
答案 C
解析 绳子绕O点转动，则a、b两点角速度相等，即ωa＝ωb，D错，C对；因ra6.(2018·山东省实验中学期中)如图2所示是一个玩具陀螺.a、b和c是陀螺上的三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
图2
A.a、b和c三点的线速度大小相等
B.a、b和c三点的角速度相等
C.a、b的角速度比c的大
D.c的线速度比a、b的大
答案 B
解析 同一物体上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，c的半径最小，故它的线速度最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等，故选B.
7.(多选)如图3所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中( )
图3
A.甲、乙两轮的角速度大小之比为3∶1
B.甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C.甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1
D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1
答案 AD
解析 这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度相等，故C错误；根据线速度的定义v＝可知，弧长Δs＝vΔt，故D正确；根据v＝ωr可知ω＝，又甲、乙两个轮子的半径之比r1∶r2＝1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1，故A正确；周期T＝，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B错误.
8.(2019·定州中学高一第二学期期末)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度.图4是某一变速车齿轮传动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则下列选项正确的是( )
图4
A.当B轮与C轮组合时，两轮边缘上的点的线速度之比vB∶vC＝7∶3
B.当B轮与C轮组合时，两轮的周期之比TB∶TC＝3∶7
C.当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D.当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
答案 C
解析 四个轮的半径比为rA∶rB∶rC∶rD＝48∶42∶18∶12＝8∶7∶3∶2；
B与C组合时vB＝vC，由ω＝可得ωB∶ωC＝rC∶rB＝3∶7；TB∶TC＝ωC∶ωB＝7∶3，故A、B均错误.A与D组合时，vA＝vD，ωA∶ωD＝rD∶rA＝2∶8＝1∶4，故C正确，D错误.
9.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图5所示.当小球1的速度大小为v1时，小球2的速度大小为v2，则O点到小球2的距离是( )
图5
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为ω，设两球的转动半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝L.又知v1＝ωr1，v2＝ωr2，联立得r2＝，B正确.
10.如图6所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O′，A、C为皮带轮边缘上的点，B为AO连线上的一点，RB＝RA，RC＝RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度之比、线速度大小之比.
图6
答案 2∶2∶3 2∶1∶2
解析 由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又皮带不打滑，所以vA＝vC，故可得ωC＝＝＝ωA，所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3；又vB＝RB·ωB＝RA·ωA＝，所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2.
11.(多选)如图7所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来.a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
图7
A.线速度大小之比为3∶3∶2
B.角速度之比为3∶3∶2
C.转速之比为2∶3∶2
D.周期之比为2∶3∶3
答案 AD
解析 A轮、B轮靠摩擦传动，边缘点线速度相等，故va∶vb＝1∶1，根据公式v＝rω，有ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有na∶nb＝3∶2，根据T＝，有Ta∶Tb＝2∶3；B轮、C轮是同轴转动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，根据ω＝2πn，有nb∶nc＝1∶1，根据T＝，有Tb∶Tc＝1∶1，联立可得va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，na∶nb∶nc＝3∶2∶2，Ta∶Tb∶Tc＝2∶3∶3，故A、D正确，B、C错误.
12.(多选)如图8所示，直径为d的纸筒以角速度ω绕中心轴匀速转动，将枪口垂直指向圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，若忽略空气阻力及子弹自身重力的影响，则子弹的速度可能是( )
图8
A.
B.
C.
D.
答案 AC
解析 由题意知圆筒上只有一个弹孔，说明子弹穿过圆筒时，圆筒转过的角度应满足θ＝(2k＋1)π(k＝0,1,2…)，子弹穿过圆筒所用的时间t＝＝，则子弹的速度v＝(k＝0,1,2…)，故选项A、C正确.
13.如图9所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，圆轮最低点距地面的高度为R，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上.(不计空气阻力，重力加速度为g)
图9
(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)；
(2)求圆轮转动的角速度.
答案 (1)逆时针 理由见解析 (2)
解析 (1)由题意知，a点物体做平抛运动，hb>ha，若b点物体与a点物体下落的时间相同，则b点物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针方向.
(2)a点物体做平抛运动，则有：R＝gt2①
b点物体竖直下抛，则有：2R＝v0t＋gt2②
由①②得v0＝③
又因ω＝④
由③④解得ω＝.
14.如图10所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出(不计空气阻力，重力加速度为g)，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是( )
图10
A.d＝
B.ω＝(n＝0,1,2,3…)
C.v0＝ω
D.ω2＝(n＝0,1,2,3…)
答案 B
解析 依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，平抛的时间t＝，可得ω＝＝(n＝0,1,2,3…)，v0＝(n＝0,1,2,3…)，B正确；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2＝g()2＝，故A、C错误；ω2＝＝(n＝0,1,2,3…)，故D错误.4 生活中的圆周运动
[学习目标]
1.会分析火车转弯、汽车过拱桥等实际运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.2.了解航天器中的失重现象及原因.3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害.
一、火车转弯
1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于质量太大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻.
2.铁路弯道的特点
(1)弯道处外轨略高于内轨.
(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧.支持力与重力的合力指向圆心.
(3)在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和弹力FN的合力来提供.
二、拱形桥
汽车过拱形桥
汽车过凹形桥
受力
分析
向心力
Fn＝mg－FN＝m
Fn＝FN－mg＝m
对桥的
压力
FN′＝mg－m
FN′＝mg＋m
结论
汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小
汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大
三、航天器中的失重现象
1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律：mg－FN＝m，所以FN＝mg－m.
2.完全失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态.
四、离心运动
1.定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动.
2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力.
3.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机.
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度.
1.判断下列说法的正误.
(1)铁路的弯道处，内轨高于外轨.( × )
(2)汽车驶过拱形桥顶部时，对桥面的压力等于车重.( × )
(3)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重.( √ )
(4)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再受重力.( × )
(5)航天器中处于完全失重状态的物体所受合力为零.( × )
(6)做离心运动的物体可以沿半径方向向外运动.( × )
2.如图1所示，汽车在通过水平弯道时，轮胎与地面间的摩擦力已达到最大值，若汽车转弯的速率增大到原来的倍，为使汽车转弯时仍不打滑，其转弯半径应变为原来的________倍.
图1
答案 2
解析 汽车所受的摩擦力提供向心力，则有Ff＝，Ff不变，v增大为v，则弯道半径要变为原来的2倍.
一、火车转弯问题
1.弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan
θ＝m，如图2所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角.
图2
2.速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用.
(2)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力.
(3)当火车行驶速度v铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图3所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
图3
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于
D.这时铁轨对火车的支持力大于
答案 C
解析 由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan
θ，此时火车仅受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcos
θ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确，A、B、D错误.
针对训练 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图4所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处( )
图4
A.路面外侧高、内侧低
B.车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
答案 AC
解析 当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时仅由其重力和路面对其支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，选项A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，受到的静摩擦力向外侧，并不一定会向内侧滑动，选项B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，选项C正确；由mgtan
θ＝m可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，选项D错误.
二、汽车过桥问题与航天器中的失重现象
1.拱形桥问题
(1)汽车过拱形桥(如图5)
图5
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.
①当v＝时，FN＝0.
②当0≤v<时，0③当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险.
说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态.
(2)汽车过凹形桥(如图6)
图6
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.
说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态.由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.
2.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员：设航天员受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝.
当v＝
时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态.
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.
(2018·山西省实验中学高一下期中)如图7所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6
400
km，地面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800
N，在汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是( )
图7
A.汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B.不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800
N
C.只要汽车行驶，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力
D.如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
答案 C
解析 汽车以及驾驶员的重力和地面对汽车的支持力的合力提供汽车做圆周运动所需向心力，则有mg－FN＝m，重力是一定的，v越大，则FN越小，故A错误；因为只要汽车行驶，驾驶员的一部分重力则会用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力，结合牛顿第三定律可知驾驶员对座椅压力大小小于其自身的重力，故B错误，C正确；如果速度增大到使汽车对地面的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误.
如图8所示，质量m＝2.0×104
kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60
m，如果桥面能承受的压力不超过3.0×105
N，则：(g取10
m/s2)
图8
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
答案 (1)10
m/s (2)1.0×105
N
解析 (1)汽车在凹形桥的底部时，合力向上，汽车受到的支持力最大，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力FN1＝3.0×105
N，根据牛顿第二定律FN1－mg＝m，解得v＝＝10
m/s
由于v<＝10
m/s，故在凸形桥最高点上汽车不会脱离桥面，所以汽车允许的最大速率为10
m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时，合力向下，汽车受到的支持力最小，由牛顿第二定律得
mg－FN2＝m，即FN2＝m(g－)＝1.0×105
N
由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为1.0×105
N，此即最小压力.
三、离心运动
1.物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足够的向心力.
注意：物体做离心运动并不是物体受到“离心力”作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力.所谓“离心力”实际上并不存在.
2.合力与向心力的关系(如图9所示).
图9
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”.
(2)若F合>mrω2或F合>，物体做近心运动，即“提供过度”.
(3)若0(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动.
关于离心运动，下列说法中正确的是( )
A.物体一直不受外力作用时，可能做离心运动
B.在外界提供的向心力突然变大时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动
C.只要向心力的数值发生变化，原来做匀速圆周运动的物体就将做离心运动
D.当外界提供的向心力突然消失或数值变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动
答案 D
解析 离心运动是指原来在做匀速圆周运动的物体后来远离圆心，所以选项A错误；离心运动发生的条件是：实际的合力小于做圆周运动所需要的向心力，所以选项B、C错误，D正确.
1.(火车转弯问题)(多选)全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利.火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损.为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( )
A.适当减小内外轨的高度差
B.适当增加内外轨的高度差
C.适当减小弯道半径
D.适当增大弯道半径
答案 BD
解析 设铁路弯道处轨道平面的倾角为α时，轮缘与内外轨间均无挤压作用，根据牛顿第二定律有mgtan
α＝m，解得v＝，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增大倾角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r.
2.(航天器中的失重现象)(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是( )
A.航天员受到的重力消失了
B.航天员仍受重力作用，重力提供其做匀速圆周运动的向心力
C.航天员处于超重状态
D.航天员对座椅的压力为零
答案 BD
解析 航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供航天飞机绕地球做圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，是其重力提供向心力，选项A错误，B正确；此时航天员不受座椅弹力，即航天员对座椅的压力为零，处于完全失重状态，选项D正确，C错误.
3.(离心现象)在冬奥会短道速滑项目中，运动员绕周长仅111米的短道竞赛.比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而摔离正常比赛路线.如图10所示，圆弧虚线Ob代表弯道，即正常运动路线，Oa为运动员在O点时的速度方向(研究时可将运动员看做质点).下列论述正确的是( )
图10
A.发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B.发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C.若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧
D.若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间
答案 D
解析 发生侧滑是因为运动员的速度过大，所需要的向心力过大，而运动员受到的合力小于所需要的向心力，受到的合力方向指向圆弧内侧，故选项A、B错误；运动员在水平方向不受任何外力时沿Oa方向做离心运动，实际上运动员受到的合力方向指向圆弧Ob内侧，所以运动员滑动的方向在Oa右侧与Ob之间，故选项C错误，D正确.
4.(汽车转弯与过桥问题)(2019·山西现代双语学校期中)在高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108
km/h，汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的(g取10
m/s2).
(1)如果汽车在这种高速公路的弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？
答案 (1)150
m (2)90
m
解析
设汽车的质量为m.
(1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有Fmax＝mg＝m
由速度v＝108
km/h＝30
m/s得
弯道半径rmin＝150
m
(2)汽车过圆弧拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有mg－FN＝m
为了保证安全通过，车与路面间的弹力FN必须大于等于零，即有mg≥m，代入v＝108
km/h＝30
m/s，得R≥90
m，故半径至少是90
m.
考点一 交通工具的转弯问题
1.如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧.两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙.以下说法正确的是( )
图1
A.Ff甲小于Ff乙
B.Ff甲等于Ff乙
C.Ff甲大于Ff乙
D.Ff甲和Ff乙的大小均与汽车速率无关
答案 A
解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即Ff＝F向＝m，由于m甲＝m乙，v甲＝v乙，r甲＞r乙，则Ff甲＜Ff乙，A正确.
2.(多选)如图2所示，铁路转弯处外轨略高于内轨，若在某转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法正确的是( )
图2
A.若火车行驶到转弯处的速度大于规定速度v，火车将对外轨有侧向的挤压作用
B.若火车行驶到转弯处的速度小于规定速度v，火车将对外轨有侧向的挤压作用
C.若火车要提速行驶，而弯道坡度不变，要减小弯道半径
D.若火车要提速行驶，而弯道半径不变，弯道的坡度应适当增大
答案 AD
解析 火车在转弯处做匀速圆周运动，按规定速度行驶时，其向心力完全由其重力和轨道对其弹力的合力提供；若火车行驶到转弯处的速度大于规定速度v，则运行过程中需要的向心力增大，火车将对外轨有侧向的挤压作用；若火车行驶到转弯处的速度小于规定速度v，则运行过程中需要的向心力减小，而火车重力和支持力的合力将大于需要的向心力，火车将对内轨有侧向的挤压作用，故A正确，B错误.由mgtan
θ＝m得：v＝，若火车要提速行驶，应适当增大弯道的坡度θ，或增大弯道半径r，C错误，D正确.
3.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低.如图3所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是半径为R的圆周运动.设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
图3
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan
θ＝m，又由数学知识可知tan
θ＝，联立解得v＝，选项B正确.
4.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图4所示.当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶在直轨上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样.假设有一摆式列车在水平面内行驶，以360
km/h的速度转弯，转弯半径为1
km，则质量为50
kg的乘客，在转弯过程中所受到的火车对他的作用力大小为(g取10
m/s2)( )
图4
A.500
N
B.1
000
N
C.500
N
D.0
答案 C
解析 360
km/h＝100
m/s，乘客所需的向心力Fn＝m＝500
N，而乘客的重力为500
N，故火车对乘客的作用力大小FN＝＝500
N，C正确.
考点二 汽车过桥问题和航天器中的失重现象
5.(2019·长丰二中高一下学期期末)如图5所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为6
m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力为零，则汽车通过桥顶的速度大小应为( )
图5
A.3
m/s
B.10
m/s
C.12
m/s
D.24
m/s
答案 C
解析 根据牛顿第二定律得：mg－FN＝m，即mg＝m，当汽车对桥面的压力为零时，桥面对汽车的支持力为零，有：mg＝m，解得：v′＝2v＝12
m/s，故C正确.
6.(2019·天津六校高一下期中)如图6所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球.当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以大小相同的速度匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是( )
图6
A.L1＝L2
B.L1>L2
C.L1D.前三种情况均有可能
答案 B
7.下列四幅图中的行为可以在绕地球做匀速圆周运动的“天宫二号”舱内完成的有( )
A.用台秤称量重物的质量
B.用水杯喝水
C.用沉淀法将水与沙子分离
D.给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动
答案 D
解析 重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤测量重物的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故D正确.
考点三 离心现象
8.(多选)如图7所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则( )
图7
A.衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服的重力提供
B.水会从脱水筒甩出是因为水滴受到的向心力很大
C.加快脱水筒转动角速度，衣服对筒壁的压力增大
D.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
答案 CD
解析 衣服受到竖直向下的重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，重力和静摩擦力是一对平衡力，大小相等，故向心力是由支持力提供的，A错误；脱水筒转动角速度增大以后，支持力增大，故衣服对筒壁的压力也增大，C正确；对于水而言，衣服对水滴的附着力提供其做圆周运动的向心力，说水滴受向心力本身就不正确，B错误；随着脱水筒转动角速度的增加，需要的向心力增加，当附着力不足以提供需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动，故脱水筒转动角速度越大，脱水效果会越好，D正确.
9.如图8所示的陀螺，是很多人小时候喜欢玩的玩具.从上往下看(俯视)，若陀螺立在某一点顺时针匀速转动，此时滴一滴墨水到陀螺，则被甩出的墨水径迹可能是下列的( )
图8
答案 D
10.如图9所示，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是( )
图9
A.是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的
B.是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的
C.是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的
D.由公式F＝mω2r可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道
答案 B
11.(多选)一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图10所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图10
A.若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B.若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C.若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D.若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
答案 AC
解析 设物体在半球顶点受到的支持力为FN，若v0＝，由mg－FN＝m，得FN＝0，则根据牛顿第三定律，物体对半球顶点无压力，A正确；若v0＝，由mg－FN＝m，得FN＝mg，则根据牛顿第三定律，物体对半球顶点的压力为mg，B错误；若v0＝0，物体处于平衡状态，对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误.
12.(2019·泉州五中期中)如图11所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使水平木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则( )
图11
A.物块始终受到三个力作用
B.只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C.从a到b，物块所受的摩擦力先增大后减小
D.从b到a，物块处于超重状态
答案 D
解析 在c、d两点处，物块只受重力和支持力，在其他位置处物块受到重力、支持力、静摩擦力三个作用力，故A错误；物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，故B错误；从a运动到b，物块的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律知，物块所受木板的摩擦力先减小后增大，故C错误；从b运动到a，向心加速度有向上的分量，则物块处于超重状态，故D正确.
13.如图12所示为汽车在水平路面做半径为R的大转弯的后视图，悬吊在车顶的灯左偏了θ角，则：(重力加速度为g)
图12
(1)车正向左转弯还是向右转弯？
(2)车速是多少？
(3)若(2)中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与路面间的动摩擦因数μ是多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
答案 (1)向右转弯 (2) (3)tan
θ
解析 (1)对灯受力分析可知，合外力方向向右，所以车正向右转弯；
(2)设灯的质量为m，对灯受力分析知
mgtan
θ＝m，得v＝
(3)设汽车的质量为M，汽车刚好不打滑，有μMg＝M得μ＝tan
θ.
14.一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥，如图13，设两圆弧半径相等，汽车通过拱桥桥顶时，对桥面的压力大小F1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力大小为F2，求F1与F2之比.
图13
答案 1∶3
解析 汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力.由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，汽车过圆弧形拱桥的最高点时，由牛顿第二定律可得：
G－F1＝m，
同理，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有：
F2－G＝m，
由题意可知：F1＝G
由以上各式可解得：F2＝G，
所以F1∶F2＝1∶3.本章知识网络构建
圆周
运动(共28张PPT)
3 向心加速度
第六章 圆周运动
1.理解向心加速度的概念.
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.
学习目标
梳理教材 夯实基础
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材 夯实基础
01
1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向
，这个加速度叫作向心加速度.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向
，故向心加速度只改变速度的
，不改变速度的
.
匀速圆周运动的加速度方向
一
圆心
垂直
方向
大小
1.向心加速度公式
an＝
或an＝
.
2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.
匀速圆周运动的加速度大小
二
ω2r
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0.( )
(2)匀速圆周运动的加速度始终不变.( )
(3)匀速圆周运动是匀变速运动.( )
(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变.( )
(5)根据an＝
知向心加速度an与半径r成反比.( )
(6)根据an＝ω2r知向心加速度an与半径r成正比.( )
√
×
×
√
×
×
2.在长0.2
m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为0.6
m/s的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为_______，向心加速度大小为________.
3
rad/s
1.8
m/s2
探究重点 提升素养
02
向心加速度及其方向
一
导学探究
如图1甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.
图1
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
答案 地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心.小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心.
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
答案 由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案 由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动.
知识深化
对向心加速度及其方向的理解
1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
3.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.
4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心.
例1 下列关于向心加速度的说法中正确的是
A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B.向心加速度的方向不一定指向圆心
C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度不变
√
解析 做匀速圆周运动的物体速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误；
向心加速度的方向总是沿着圆周运动轨迹的半径指向圆心，B错误；
向心加速度描述线速度方向变化的快慢，C正确；
向心加速度的方向是变化的，D错误.
向心加速度的大小
二
1.向心加速度公式
2.向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v即为那一位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心.
3.向心加速度与半径的关系(如图2所示)
图2
例2 如图3所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列几种说法中正确的是
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
√
图3
解析 A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；
如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；
例3 (2019·大同一中期中)如图4所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半.A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则
A.A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B.B、C两点的角速度之比为1∶2
C.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D.A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
图4
√
解析 传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，故vA＝vB，则vA∶vB＝1∶1，A错误；
B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，ωB＝ωC，则ωB∶ωC＝1∶1，故B错误；
由于B、C两点的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为aB∶aC＝RB∶RC＝1∶2，又aA∶aB＝1∶2，所以aA∶aC＝1∶4，故D正确.
方法总结
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系.
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比.
针对训练 (2019·深圳中学期中)如图5所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B带动后轮匀速转动时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于
A.1∶1∶8
B.4∶1∶4
C.4∶1∶32
D.1∶2∶4
图5
√
随堂演练 逐点落实
03
1.(向心加速度公式的理解)关于做匀速圆周运动的质点，下列说法中正确的是
A.由an＝
可知，an与r成反比
B.由an＝ω2r可知，an与r成正比
C.由v＝ωr可知，ω与r成反比
D.由ω＝2πf可知，ω与f成正比
1
2
3
4
√
2.(向心加速度公式的理解)(多选)(2019·长丰二中高一下学期期末)甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是
A.当它们的角速度相等时，乙的线速度小则乙的向心加速度小
B.当它们的周期相等时，甲的半径大则甲的向心加速度大
C.当它们的线速度相等时，乙的半径小则乙的向心加速度小
D.当它们的线速度相等时，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，
则甲的向心加速度比乙的小
1
2
3
4
√
√
解析 角速度相等，乙的线速度小，根据公式an＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故A正确；
1
2
3
4
线速度相等，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，即甲的角速度大，根据公式an＝ωv，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故D错误.
3.(向心加速度的计算)(2019·山东省实验中学期中)某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图6所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为
1
2
3
4
图6
√
4.(向心加速度的计算)(多选)(2019·遂宁市高一下学期期末)如图7所示，小球A用轻质细线拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，当小球A运动到左侧时，在小球A的正上方高度为R处的小球B水平飞出，飞出时的速度大小为 .不计空气阻力，重力加速度为g，要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，则小球A的向心加速度大小可能为
1
2
3
4
图7
√
√
1
2
3
4(共34张PPT)
1 圆周运动
第六章 圆周运动
1.掌握线速度的定义式，理解圆周运动线速度大小、方向的特点，知道什么是匀速圆周运动.
2.掌握角速度的定义式和单位.
3.知道周期、转速的概念.
4.理解掌握公式v＝ωr和ω＝2πn.
学习目标
梳理教材 夯实基础
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材 夯实基础
01
1.定义：物体做圆周运动，在一段
的时间Δt内，通过的弧长为Δs.则Δs与Δt的
叫作线速度，公式：
.
2.意义：描述做圆周运动的物体
的快慢.
3.方向：为物体做圆周运动时该点的
方向.
4.匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的
，这种运动叫作匀速圆周运动.
(2)性质：线速度的方向是时刻
的，所以是一种
运动，这里的“匀速”是指
不变.
线速度
一
很短
比值
运动
切线
大小处处相等
变化
变速
速率
1.定义：连接物体与圆心的半径转过的
与转过这一
所用时间的
，
公式：
.
2.意义：描述物体绕圆心
的快慢.
3.单位：弧度每秒，符号是
或
.
4.匀速圆周运动是角速度
的运动.
角速度
二
角度
角度
比值
转动
rad/s
rad·s－1
不变
1.周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的
，单位：
.
2.转速n：物体转动的
与所用时间之比.单位：
或
.
3.周期和转速的关系：T＝
(n的单位为r/s时).
周期
三
时间
秒(s)
圈数
转每秒(r/s)
转每分(r/min)
1.在圆周运动中，线速度的大小等于
与
的乘积.
2.公式：v＝
.
线速度与角速度的关系
四
角速度大小
半径
ωr
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同.( )
(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力为零.( )
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变.( )
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变.( )
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小.( )
×
×
√
√
√
2.如图1所示，A、B是跷跷板上的两点，B点离转轴的距离是A点离转轴距离的4倍，设A、B线速度大小分别为vA和vB，角速度大小分别为ωA和ωB，则vA∶vB＝_____，ωA∶ωB＝_____.
图1
1∶4
1∶1
探究重点 提升素养
02
线速度和匀速圆周运动
一
导学探究
如图2所示，A、B为自行车车轮辐条上的两点，当它们随轮一起转动时：
(1)A、B两点的速度方向各沿什么方向？
答案 A、B两点的速度方向均沿各自圆周在该点的切线方向.
(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运
动吗？
答案 B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动.
(3)A、B两点哪个运动得快？
答案 B运动得快.
图2
知识深化
1.对线速度的理解
(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快.
(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上.
2.对匀速圆周运动的理解
(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化.
(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变.
(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零.
例1 (多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是
A.因为它的速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动
B.该质点速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动
C.该质点速度大小不变，处于平衡状态
D.该质点做的是变速运动，所受合外力不等于零
√
√
角速度、周期和转速
二
导学探究
如图3所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动.
(1)秒针、分针、时针哪个转得快？
图3
(2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？
答案 秒针周期为60
s，分针周期为60
min，时针周期为12
h.
知识深化
1.对角速度的理解
(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快.
(2)角速度的定义式：ω＝
，Δθ代表在时间Δt内物体与圆心的连线转过的角度.
(3)在匀速圆周运动中，角速度不变.
2.对周期和频率(转速)的理解
(1)匀速圆周运动具有周期性，每经过一个周期，线速度大小和方向与初始时刻完全相同.
(2)当单位时间取1
s时，f＝n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同.
例2 (多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是
A.秒针转动的周期最长
B.时针转动的转速最小
C.秒针转动的角速度最大
解析 秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；
时针转动的周期最长，转速最小，B正确；
√
√
√
描述匀速圆周运动各物理量之间的关系
三
1.描述匀速圆周运动各物理量之间的关系
(3)v＝ωr
例3 做匀速圆周运动的物体，10
s内沿半径为20
m的圆周运动了100
m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
答案 10
m/s
(2)角速度；
答案 0.5
rad/s
(3)周期.
答案 4π
s
针对训练1 (多选)火车以60
m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10
s内匀速转过了约10°.在此10
s时间内，火车
A.运动路程为600
m
B.加速度为零
C.角速度约为1
rad/s
D.转弯半径约为3.4
km
√
√
解析 由s＝vt知，s＝600
m，A正确；
在弯道做曲线运动，火车加速度不为零，B错误；
同轴转动和皮带传动问题
四
?
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装
置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特
点
角速度、周期相同
线速度大小相等
线速度大小相等
规
律
线速度大小与半径成正比：
角速度与半径成反比：
角速度与半径成反比：
例4 (多选)如图4所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的
A.角速度之比为2∶1∶2
B.线速度大小之比为1∶1∶2
C.周期之比为1∶2∶2
D.转速之比为1∶2∶2
√
√
图4
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等；B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等.
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2，A错误，B正确；
由ω＝2πn知，na∶nb∶nc＝1∶2∶2，D正确；
针对训练2 如图5所示是一辆自行车，A、B、C三点分别为自行车轮胎和前后两齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是
A.ωB＝ωC
B.vC＝vA
C.2ωA＝5ωB
D.vA＝2vB
图5
√
解析 B轮和C轮是链条传动，vB＝vC，根据v＝ωR，得5ωB＝2ωC，故A错误；
由于A轮和C轮同轴，故两轮角速度相同，根据v＝ωR，得vA＝5vC，故B错误；
因vA＝5vC，vA＝ωARA，vC＝vB＝ωBRB，故vA＝5vB,2ωA＝5ωB，故C正确，D错误.
随堂演练 逐点落实
03
1.(对匀速圆周运动的认识)(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是
A.相等的时间内通过的路程相等
B.相等的时间内通过的弧长相等
C.相等的时间内通过的位移相同
D.在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
解析 匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，故A、B、D正确；
相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C错误.
√
1
2
3
4
√
√
2.(描述圆周运动各物理量的关系)(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4
m/s，转动周期为2
s，下列说法中正确的是
A.角速度为0.5
rad/s
B.转速为0.5
r/s
C.运动轨迹的半径为
m
D.频率为0.5
Hz
√
1
2
3
4
√
√
3.(传动问题)某新型自行车，采用如图6甲所示的无链传动系统，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题.如图乙所示是圆锥齿轮90°轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为rA、rB和rC(rA≠rB≠rC).下列有关物理量大小关系正确的是
A.B点与C点的角速度：ωB＝ωC
1
2
3
4
D.B点和C点的线速度：vB>vC
√
图6
解析 B点与C点的线速度相等，由于rB≠rC，所以ωB≠ωC，故A、D错误；
1
2
3
4
4.(圆周运动的周期性)如图7所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v及圆盘转动的角速度ω的大小.
1
2
3
4
图7
解析 设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，则
1
2
3
4
θ＝n·2π(n＝1,2,3…)
又因为θ＝ωt(共66张PPT)
2 向心力
第六章 圆周运动
1.知道什么是向心力，知道向心力的作用，知道它是根据力的作用效果命名的.
2.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.
3.体验向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力与物体的质量、速度和轨道半径的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用.
4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点.
学习目标
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材 夯实基础
第1课时
实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
第2课时
向心力的分析和公式的应用
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向
，这个指向
的力叫作向心力.
2.方向：始终沿着
指向
.
3.作用：只改变速度的
，不改变速度的
.
4.向心力是根据力的
命名的，它由
提供.
5.表达式：
向心力
一
圆心
圆心
半径
圆心
方向
大小
作用效果
某个力或者几个力的合力
(2)Fn＝
.
mω2r
梳理教材 夯实基础
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示.
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的
.
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的
.
2.一般的曲线运动的处理方法
变速圆周运动和一般的曲线运动
二
图1
大小
方向
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是
也不是
的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作
的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用
运动的分析方法来处理.
直线
圆周
圆周运动
圆周
梳理教材 夯实基础
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力.( )
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的.( )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力.( )
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心.( )
(5)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变.( )
×
×
√
×
√
2.如图2所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落.则下列说法正确的是
A.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B.小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C.筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D.筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
图2
√
解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误.
水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项B、C错误，D正确.
第1课时
明确原理 提炼方法
精析典题 提升能力
随堂演练 逐点落实
实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图3(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于
.
图3
绳对沙袋的拉力
明确原理 提炼方法
2.实验步骤
在离小沙袋重心40
cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80
cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一 手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二 手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三 改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四 手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在
、
相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在
、
相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在
、
相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越
，角速度越
，质量越
，向心力越大.
半径
质量
质量
角速度
半径
角速度
大
大
大
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图4所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧
测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的
红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心
力的比值.
图4
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三 利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图5所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感
器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，
由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做
圆周运动的角速度.
图5
实验时采用
法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
控制变量
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
?
?
?
?
?
?
ω
?
?
?
?
?
?
ω2
?
?
?
?
?
?
②m、ω一定(表二)
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
?
?
?
?
?
?
r
?
?
?
?
?
?
③r、ω一定(表三)
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
?
?
?
?
?
?
m
?
?
?
?
?
?
(2)数据处理
分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的图像，若Fn－ω图像不是直线，可以作Fn－ω2图像.
(3)实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与
成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与
成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与
成正比.
角速度的平方
半径
质量
例1 如图6甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素.用细绳系一纸杯(杯中有30
mL的水)，将手举过头顶，使杯在水平面内做圆周运动.
(1)下列说法中正确的是________.
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
一、定性研究影响向心力大小的因素
图6
√
√
精析典题 提升能力
(2)如图乙，绳离杯心40
cm处打一结点A,80
cm处打一结点B，学习小组中一位同学手表计时，另一位同学操作.
操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动二周，体会向心力的大小.
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30
mL的水，使杯在水平面
内每秒运动一周，体会向心力的大小.
则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与一相比较：_____________相同，向心力大小与_____有关；
②物理学中此种实验方法叫__________法.
角速度、半径
质量
控制变量
③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”，你认为该同学的说法是否正确，为什么？
答案 说法不正确.该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心.细绳对手的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心.
例2 用如图7所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关.
(1)本实验采用的科学方法是________.
A.控制变量法
B.累积法
C.微元法
D.放大法
(2)图示情景正在探究的是________.
A.向心力的大小与半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
二、定量研究影响向心力大小的因素
√
√
图7
(3)通过本实验可以得到的结论是________.
A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
√
例３ 一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系.在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小Fn与半径r的数据，记录到表1中.
表1 向心力Fn与半径r的测量数据
次数
1
2
3
4
5
半径r/mm
50
60
70
80
90
向心力Fn/N
5.46
6.55
7.64
8.74
9.83
在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物的角速度ω，得到几组向心力Fn和角速度ω的数据，记录到表2中.
表2 向心力Fn与角速度ω的测量数据
次数
1
2
3
4
5
角速度
ω/(rad·s－1)
6.8
9.3
11.0
14.4
21.8
向心力Fn/N
0.98
2.27
2.82
4.58
10.81
(1)根据上面的测量结果，分别在图8和图9中作出Fn－r图线和Fn－ω图线.
图8
图9
答案
(2)若作出的Fn－ω图线不是直线，可以尝试作Fn－ω2图线，试在图10中作出Fn－ω2图线.
图10
答案
(3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成_____，与角速度的平方成______.
正比
正比
1.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着绳在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图11所示)，则下列说法中正确的是
A.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变
B.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大
C.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小
1
2
3
4
图11
√
随堂演练 逐点落实
2.(多选)(2018·北京市大兴区上学期期末)向心力演示仪可以利用控制变量法探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系.它通过皮带传动改变两轮的转速，让两轮上的实心小球(体积相同)同时做圆周运动，然后通过连动装置使安放在圆盘中心套筒中的弹簧产生形变，利用形变大小来反映向心力的大小，形变越大，露出的标尺格数越多.采用如图12所示的实验装置，可以实现的实验目的和观察到的现象是
A.控制角速度和半径相同，研究向心力大小与质量的关系
B.控制半径相同，研究向心力大小与角速度大小的关系
C.钢球比铝球的质量大，钢球一侧露出的标尺格数多
D.钢球比铝球的质量大，铝球一侧露出的标尺格数多
√
图12
√
1
2
3
4
3.如图13所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中A、B
为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的重锤.试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素.
(1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆.
现象：连接
A的棉线先断.
表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需
向心力随_________的增大而增大.
物体质量
(2)使质量mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆.
现象：连接A的棉线先断.
表明：在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大.
转动半径
1
2
3
4
图13
(3)对任一次断线过程进行考察.
现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的.
表明：在物体质量和转动半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随___________的增大而增大.
转动角速度
1
2
3
4
4.如图14甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，表格中是所得数据，图乙为F－v图像、F－v2图像、F－v3图像.
图14
1
2
3
4
v/(m·s－1)
1
1.5
2
2.5
3
F/N
0.88
2
3.5
5.5
7.9
(1)数据表格和图乙中的三个图像是在用实验探究向心力F和圆柱体线速度大小v的关系时，保持圆柱体质量不变、半径r＝0.1
m的条件下得到的.研究图像后，可得出向心力F和圆柱体线速度大小v的关系式__________.
v/(m·s－1)
1
1.5
2
2.5
3
F/N
0.88
2
3.5
5.5
7.9
F＝0.88v2
1
2
3
4
(2)为了研究F与r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持______
______不变.
v/(m·s－1)
1
1.5
2
2.5
3
F/N
0.88
2
3.5
5.5
7.9
线速度
大小v
解析 还应保持线速度大小v不变.
1
2
3
4
(3)若已知向心力公式为F＝m
，根据下面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的
质量为_________.
0.088
kg
1
2
3
4
v/(m·s－1)
1
1.5
2
2.5
3
F/N
0.88
2
3.5
5.5
7.9
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
第2课时
向心力的分析和公式的应用
导学探究
1.如图1所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动.
一、向心力的理解及来源分析
图1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
答案 小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心.
(2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？
探究重点 提升素养
2.若月球(质量为m)绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？
答案 月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知识深化
1.对向心力的理解
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
例1 关于向心力的说法中正确的是
A.物体由于做圆周运动而产生了向心力
B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
√
解析 向心力是物体做圆周运动的原因，故A错误；
因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误；
向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能加入向心力，故C错误.
例2 (多选)如图2所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于Mgtan
θ
√
图2
√
√
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
二、匀速圆周运动问题分析
2.几种常见的匀速圆周运动实例
图形
受力
分析
力的分
解方法
满足的方程
及向心加速度
例3 如图3所示，已知绳长为L＝20
cm，水平杆长为L′＝0.1
m，小球质量m＝0.3
kg，整个装置可绕竖直轴转动.g取10
m/s2，问：(结果均保留三位有效数字)
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动？
图3
答案 6.44
rad/s
解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力.
对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan
45°＝mω2r
r＝L′＋Lsin
45°
联立并将数值代入可得ω≈6.44
rad/s
(2)此时绳子的张力为多大？
答案 4.24
N
针对训练1 如图4所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g)
图4
√
导学探究
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图5所示.
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
图5
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.
答案 绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向.
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
答案 由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大.
知识深化
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
例4 如图6所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
图6
√
解析 转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；
当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；
当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误.
针对训练2 (2019·莲塘第一中学期中)如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小.在此过程中“神舟十一号”所受合力F的方向可能是
√
解析 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；
由于速度逐渐减小，故合力F的方向与速度方向的夹角应大于90°，C正确，B错误.
1.(向心力的理解)(多选)下列关于向心力的叙述中，正确的是
A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心
力的作用
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合
力，或者是某一个力的分力
D.向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
1
2
3
4
5
√
√
√
随堂演练 逐点落实
解析 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的几个力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，B错误；
向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，所以向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，A、C、D正确.
1
2
3
4
5
2.(一般曲线运动分析)(2018·绵阳高一检测)如图7所示，小鸟沿图中虚线向上加速飞行，空气对其作用力可能是
A.F1
B.F2
C.F3
D.F4
图7
√
1
2
3
4
5
3.(向心力公式的应用)(2019·棠湖中学高一质检)如图8所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向上做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是
A.螺丝帽在重力和摩擦力作用下处于平衡状态
B.螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C.此时手转动塑料管的角速度ω＝
D.若塑料管的转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管向下运动
图8
√
1
2
3
4
5
解析 螺丝帽恰好不下滑，则有μFN＝mg
螺丝帽做匀速圆周运动，塑料管的弹力FN提供向心力，即弹力方向指向圆心，则FN＝mω2r，
1
2
3
4
5
4.(向心力公式的应用)(2019·南阳市高一下学期期末)如图9所示，长为L的细绳一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个光滑的小钉子A，小球从一定高度摆下，当细绳与钉子相碰时，钉子的位置距小球
，则细绳碰到钉子前、后瞬间
A.绳对小球的拉力大小之比为1∶4
B.小球所受合外力大小之比为1∶4
C.小球做圆周运动的线速度大小之比为1∶4
D.小球做圆周运动的角速度之比为4∶1
图9
√
1
2
3
4
5
解析 细绳碰到钉子前、后瞬间线速度大小不变，即线速度大小之比为1∶1；半径变小，根据v＝ωr得知，角速度之比为1∶4，故C、D错误.
1
2
3
4
5
5.(向心力公式的应用)如图10所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的
A.向心力大小相同
B.运动周期不同
C.运动线速度大小相同
D.运动角速度相同
图10
√
1
2
3
4
5
解析 对其中一个小球受力分析，如图所示，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得合力：F＝mgtan
θ，
①
θ不同，则F大小不同，故A错误；
由向心力公式得：F＝mω2r，
②
设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htan
θ，
③
由v＝ωr可知，两球转动半径不等，线速度大小不同，故C错误.
1
2
3
4
53 向心加速度
[学习目标]
1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.
一、匀速圆周运动的加速度方向
1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
二、匀速圆周运动的加速度大小
1.向心加速度公式
an＝或an＝ω2r.
2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0.( √ )
(2)匀速圆周运动的加速度始终不变.( × )
(3)匀速圆周运动是匀变速运动.( × )
(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变.( √ )
(5)根据an＝知向心加速度an与半径r成反比.( × )
(6)根据an＝ω2r知向心加速度an与半径r成正比.( × )
2.在长0.2
m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为0.6
m/s的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为______，向心加速度大小为______.
答案 3
rad/s 1.8
m/s2
解析 角速度ω＝＝
rad/s＝3
rad/s，
小球运动的向心加速度大小an＝＝
m/s2＝1.8
m/s2.
一、向心加速度及其方向
导学探究
如图1甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.
图1
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案 (1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心.小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心.
(2)由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动.
知识深化
对向心加速度及其方向的理解
1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
3.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.
4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心.
下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B.向心加速度的方向不一定指向圆心
C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度不变
答案 C
解析 做匀速圆周运动的物体速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误；向心加速度的方向总是沿着圆周运动轨迹的半径指向圆心，B错误；向心加速度描述线速度方向变化的快慢，C正确；向心加速度的方向是变化的，D错误.
二、向心加速度的大小
1.向心加速度公式
(1)基本公式：①an＝；②an＝ω2r.
(2)拓展公式：①an＝r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv.
2.向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v即为那一位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心.
3.向心加速度与半径的关系(如图2所示)
图2
如图3所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列几种说法中正确的是( )
图3
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
答案 A
解析 A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin
60°，B运动的半径rB＝Rsin
30°，＝＝＝，B错误；＝＝，D错误.
(2019·大同一中期中)如图4所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半.A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则( )
图4
A.A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B.B、C两点的角速度之比为1∶2
C.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D.A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
答案 D
解析 传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，故vA＝vB，则vA∶vB＝1∶1，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，ωB＝ωC，则ωB∶ωC＝1∶1，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由an＝可知A、B两点的向心加速度大小之比为aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为aB∶aC＝RB∶RC＝1∶2，又aA∶aB＝1∶2，所以aA∶aC＝1∶4，故D正确.
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系.
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比.
针对训练 (2019·深圳中学期中)如图5所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B带动后轮匀速转动时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于( )
图5
A.1∶1∶8
B.4∶1∶4
C.4∶1∶32
D.1∶2∶4
答案 C
解析 小齿轮A和大齿轮B通过链条连接，边缘线速度大小相等，即vA＝vB，小齿轮A和后轮C同轴转动，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度大小an＝可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度大小an＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，选项C正确.
1.(向心加速度公式的理解)关于做匀速圆周运动的质点，下列说法中正确的是( )
A.由an＝可知，an与r成反比
B.由an＝ω2r可知，an与r成正比
C.由v＝ωr可知，ω与r成反比
D.由ω＝2πf可知，ω与f成正比
答案 D
2.(向心加速度公式的理解)(多选)(2019·长丰二中高一下学期期末)甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是( )
A.当它们的角速度相等时，乙的线速度小则乙的向心加速度小
B.当它们的周期相等时，甲的半径大则甲的向心加速度大
C.当它们的线速度相等时，乙的半径小则乙的向心加速度小
D.当它们的线速度相等时，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，则甲的向心加速度比乙的小
答案 AB
解析 角速度相等，乙的线速度小，根据公式an＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故A正确；周期相等，甲的半径大，根据公式an＝()2r，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故B正确；线速度相等，乙的半径小，根据公式an＝，可知甲的向心加速度小于乙的向心加速度，故C错误；线速度相等，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，即甲的角速度大，根据公式an＝ωv，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故D错误.
3.(向心加速度的计算)(2019·山东省实验中学期中)某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图6所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为( )
图6
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 三个轮相互不打滑，则甲、丙边缘的线速度大小相等，根据an＝和an＝ω2r，可得a丙＝＝，故A正确.
4.(向心加速度的计算)(多选)(2019·遂宁市高一下学期期末)如图7所示，小球A用轻质细线拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，当小球A运动到左侧时，在小球A的正上方高度为R处的小球B水平飞出，飞出时的速度大小为.不计空气阻力，重力加速度为g，要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，则小球A的向心加速度大小可能为( )
图7
A.
B.
C.
D.
答案 AD
解析 B做平抛运动，在竖直方向上有：R＝gt2，得：t＝，则水平方向的位移为x＝v0t＝·＝R，若要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，根据几何关系可知，当A运动或时恰能与B相碰，则有：t＝＝或t＝＝，又有an＝R，联立解得：an＝或an＝，故A、D正确.
考点一 向心加速度的理解
1.关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A.由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.匀速圆周运动不属于匀速运动
C.向心加速度越大，物体速率变化越快
D.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心
答案 B
解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，A错误；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，速度方向改变，B正确；向心加速度不改变速率，C错误；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D错误.
2.如图1所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一支，由图可知( )
图1
A.A物体运动的线速度大小不变
B.A物体运动的角速度不变
C.B物体运动的角速度是变化的
D.B物体运动的线速度大小不变
答案 A
解析 根据an＝知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，其图像为双曲线的一支；根据an＝rω2知，当角速度ω大小为定值时，an与r成正比，其图像为过原点的倾斜直线，结合题图，A正确，B、C、D错误.
3.(多选)(2019·贵阳市高一下学期期末)如图2所示，转动悬空的自行车的脚踏板时，关于大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的A、B、C三点的向心加速度的说法正确的是( )
图2
A.A点的向心加速度比B点的大
B.A点的向心加速度比B点的小
C.B点的向心加速度比C点的大
D.B点的向心加速度比C点的小
答案 BD
4.如图3所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用，木块的速率不变，那么木块( )
图3
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
答案 D
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误.
考点二 向心加速度的计算
5.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动的周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为( )
A.1∶4
B.4∶1
C.4∶9
D.9∶4
答案 B
解析 设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意＝，＝，由an＝r得：＝·2＝×()2＝，B选项正确.
6.(多选)(2019·肥东高中下学期期末)某实验楼大厅里科普器材中有如图4所示的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮.若齿轮的齿很小，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是( )
图4
A.小齿轮逆时针匀速转动
B.小齿轮的每个齿的线速度均相同
C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍
D.小齿轮每个齿的向心加速度是大齿轮每个齿的向心加速度的3倍
答案 CD
解析 小齿轮的运动方向和大齿轮的运动方向一致，小齿轮也是顺时针匀速转动，故A错误；大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，小齿轮的每个齿的线速度方向不同，故B错误；根据v＝ωr可知，线速度大小相等，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍，故C正确；根据an＝，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，可知小齿轮每个齿的向心加速度是大齿轮每个齿的向心加速度的3倍，故D正确.
7.(多选)一质点做匀速圆周运动，其轨迹半径为1
m，转动周期为2
s，则( )
A.角速度为0.5
rad/s
B.转速为0.5
r/s
C.线速度大小为π
m/s
D.加速度大小为π2
m/s2
答案 BCD
8.(多选)如图5所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，θ＝30°，则( )
图5
A.a、b两点的线速度相同
B.a、b两点的角速度相同
C.a、b两点的线速度大小之比va∶vb＝2∶
D.a、b两点的向心加速度大小之比aa∶ab＝∶2
答案 BD
解析 球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B正确；因为a、b两点做圆周运动的半径不同，rb＞ra，根据v＝ωr知vb＞va，A错误；θ＝30°，设球半径为R，则rb＝R，ra＝Rcos
30°＝R，故＝＝，C错误；又根据an＝ω2r知＝＝，D正确.
9.如图6所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动.若运动员的转速为30
r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为4.8
m/s，则女运动员做圆周运动的角速度为________，触地冰鞋做圆周运动的半径为________，向心加速度大小为________.(π取3.14，结果均保留三位有效数字)
图6
答案 3.14
rad/s 1.53
m 15.1
m/s2
解析 男女运动员的转速、角速度是相同的.
由ω＝2πn得ω＝
rad/s＝3.14
rad/s
由v＝ωr得r＝＝
m≈1.53
m
由an＝ω2r得an＝3.142×1.53
m/s2≈15.1
m/s2.
10.(多选)如图7所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )
图7
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
答案 BD
解析 由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝可得＝＝，A错误，B正确；由于右边两轮共轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得＝＝，C错误，D正确.
11.(多选)如图8所示的靠轮传动装置中，右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，b距轴的距离为r.左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点，小轮的半径为r，c为它边缘上的一点.若传动中靠轮不打滑，则( )
图8
A.b点与d点的线速度大小相等
B.a点与c点的线速度大小相等
C.c点与b点的角速度相等
D.a点与d点的向心加速度大小之比为1∶8
答案 BD
解析 左边两轮同轴转动，c、d两点角速度相等，根据v＝rω知，d点的线速度大于c点的线速度，而a、c两点的线速度大小相等，则d点线速度大于a点的线速度；a、b两点的角速度相等，则a点的线速度大于b点的线速度，所以d点的线速度大于b点的线速度，故A错误，B正确；a、c两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据ω＝，知a、c两点的角速度之比为1∶2，a、b两点的角速度相等，所以b、c两点的角速度不相等，故C错误；a、c两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据an＝，知a、c两点的向心加速度之比为1∶2，c、d轮共轴转动，角速度相等，半径之比为1∶4，根据an＝ω2r知c、d两点的向心加速度之比为1∶4，所以a、d两点的向心加速度之比为1∶8，故D正确.
12.(2018·华东师大二附中期中考试)如图9所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )
图9
A.A的线速度比B的大
B.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
C.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
D.A与B的向心加速度大小相等
答案 C
解析 A、B两个座椅具有相同的角速度，根据题图及公式v＝ωr可知，A的运动半径小，A的线速度就小，故选项A错误；任一座椅，受力如图所示，由缆绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mgtan
θ＝mω2r，得tan
θ＝，A的半径r较小，A、B的角速度ω相等，可知悬挂A的缆绳与竖直方向夹角较小，选项B错误；由图可知FT＝，悬挂A的缆绳与竖直方向夹角较小，拉力较小，选项C正确；根据an＝ω2r，因为A、B角速度相等，而A的运动半径小，则A的向心加速度较小，选项D错误.
13.如图10所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转.一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为45°.已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为Ff＝mg.
图10
(1)若小物块受到摩擦力恰好为零，求此时的向心加速度大小和角速度ω0；
(2)若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的最大值.
答案 (1)g (2)
解析 (1)当小物块受到的摩擦力为零时，支持力和重力的合力提供向心力，有mgtan
θ＝man得，
an＝gtan
θ＝g
又an＝ω02Rsin
θ
解得ω0＝.
(2)当ω＞ω0时，重力和支持力的合力不足以提供所需向心力，当摩擦力方向沿罐壁切线向下且摩擦力达到最大值时向心力最大，角速度最大，设此时最大角速度为ωm，
由牛顿第二定律得Ffcos
θ＋FNsin
θ＝mωm2Rsin
θ.
Ffsin
θ＋mg＝FNcos
θ，
联立解得ωm＝.(共37张PPT)
4 生活中的圆周运动
第六章 圆周运动
1.会分析火车转弯、汽车过拱桥等实际运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.
2.了解航天器中的失重现象及原因.
3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害.
学习目标
梳理教材 夯实基础
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材 夯实基础
01
1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由
提供向心力，由于质量太大，因此需要很
的向心力，靠这种方法得到向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻.
2.铁路弯道的特点
(1)弯道处外轨
内轨.
(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的
.支持力与重力的合力指向
.
(3)在修筑铁路时，要根据弯道的
和
，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由
来提供.
火车转弯
一
外轨对轮缘的弹力
大
略高于
内侧
圆心
半径
规定的行驶速度
重力G和弹力FN的合力
拱形桥
二
?
汽车过拱形桥
汽车过凹形桥
受力
分析
向心力
mg－FN
FN－mg
对桥的
压力
?FN′＝_________
FN′＝_________
结论
汽车对桥的压力
汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力_____
汽车对桥的压力
汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力_____
小于
越小
大于
越大
航天器中的失重现象
三
1.向心力分析：宇航员受到的地球
与座舱对他的
的合力提供向心力，
由牛顿第二定律：
＝m
，所以FN＝
.
2.完全失重状态：当v＝
时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于
状态.
引力
支持力
mg－FN
完全
失重
离心运动
四
1.定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做
圆心的运动.
2.原因：向心力突然
或合力
.
3.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的
；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机.
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过
.
逐渐远离
消失
不足以提供所需的向心力
脱水筒
规定
的速度
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)铁路的弯道处，内轨高于外轨.( )
(2)汽车驶过拱形桥顶部时，对桥面的压力等于车重.( )
(3)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重.( )
(4)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再受重力.
( )
(5)航天器中处于完全失重状态的物体所受合力为零.( )
(6)做离心运动的物体可以沿半径方向向外运动.( )
×
×
√
×
×
×
2.如图1所示，汽车在通过水平弯道时，轮胎与地面间的摩擦力已达到最大值，若汽车转弯的速率增大到原来的
倍，为使汽车转弯时仍不打滑，其转弯半径应变为原来的____倍.
2
图1
探究重点 提升素养
02
火车转弯问题
一
图2
2.速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用.
(2)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力.
(3)当火车行驶速度v例1 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图3所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于
，则
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
图3
√
针对训练 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图4所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处
A.路面外侧高、内侧低
B.车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向
外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
图4
√
√
解析 当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时仅由其重力和路面对其支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，选项A正确；
当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，受到的静摩擦力向外侧，并不一定会向内侧滑动，选项B错误；
当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，选项C正确；
汽车过桥问题与航天器中的失重现象
二
1.拱形桥问题
(1)汽车过拱形桥(如图5)
图5
说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态.
(2)汽车过凹形桥(如图6)
说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态.由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.
图6
2.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.
例2 (2018·山西省实验中学高一下期中)如图7所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6
400
km，地面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800
N，在汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是
A.汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B.不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都
等于800
N
C.只要汽车行驶，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力
D.如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
√
图7
解析 汽车以及驾驶员的重力和地面对汽车的支持力的合力提供汽车做圆周运动所需向心力，则有mg－FN＝m ，重力是一定的，v越大，则FN越小，故A错误；
因为只要汽车行驶，驾驶员的一部分重力则会用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力，结合牛顿第三定律可知驾驶员对座椅压力大小小于其自身的重力，故B错误，C正确；
如果速度增大到使汽车对地面的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误.
例3 如图8所示，质量m＝2.0×104
kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60
m，如果桥面能承受的压力不超过3.0×105
N，则：(g取10
m/s2)
(1)汽车允许的最大速率是多少？
图8
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
答案 1.0×105
N
解析 汽车在凸形桥顶部时，合力向下，汽车受到的支持力最小，由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为1.0×105
N，此即最小压力.
离心运动
三
1.物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足够的向心力.
注意：物体做离心运动并不是物体受到“离心力”作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力.所谓“离心力”实际上并不存在.
2.合力与向心力的关系(如图9所示).
图9
(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动.
例4 关于离心运动，下列说法中正确的是
A.物体一直不受外力作用时，可能做离心运动
B.在外界提供的向心力突然变大时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动
C.只要向心力的数值发生变化，原来做匀速圆周运动的物体就将做离心运动
D.当外界提供的向心力突然消失或数值变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做
离心运动
√
解析 离心运动是指原来在做匀速圆周运动的物体后来远离圆心，所以选项A错误；
离心运动发生的条件是：实际的合力小于做圆周运动所需要的向心力，所以选项B、C错误，D正确.
随堂演练 逐点落实
03
1.(火车转弯问题)(多选)全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利.火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损.为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是
A.适当减小内外轨的高度差
B.适当增加内外轨的高度差
C.适当减小弯道半径
D.适当增大弯道半径
1
2
3
4
√
√
1
2
3
4
2.(航天器中的失重现象)(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是
A.航天员受到的重力消失了
B.航天员仍受重力作用，重力提供其做匀速圆周运动的向心力
C.航天员处于超重状态
D.航天员对座椅的压力为零
1
2
3
4
√
√
解析 航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供航天飞机绕地球做圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，是其重力提供向心力，选项A错误，B正确；
此时航天员不受座椅弹力，即航天员对座椅的压力为零，处于完全失重状态，选项D正确，C错误.
3.(离心现象)在冬奥会短道速滑项目中，运动员绕周长仅111米的短道竞赛.比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而摔离正常比赛路线.如图10所示，圆弧虚线Ob代表弯道，即正常运动路线，Oa为运动员在O点时的速度方向(研究时可将运动员看做质点).下列论述正确的是
A.发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B.发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C.若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧
D.若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间
1
2
3
4
图10
√
解析 发生侧滑是因为运动员的速度过大，所需要的向心力过大，而运动员受到的合力小于所需要的向心力，受到的合力方向指向圆弧内侧，故选项A、B错误；
运动员在水平方向不受任何外力时沿Oa方向做离心运动，实际上运动员受到的合力方向指向圆弧Ob内侧，所以运动员滑动的方向在Oa右侧与Ob之间，故选项C错误，D正确.
1
2
3
4
4.(汽车转弯与过桥问题)(2019·山西现代双语学校期中)在高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108
km/h，汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的
(g取10
m/s2).
(1)如果汽车在这种高速公路的弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
1
2
3
4
答案 150
m
1
2
3
4
解析 设汽车的质量为m.
由速度v＝108
km/h＝30
m/s得
弯道半径rmin＝150
m
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？
1
2
3
4
答案 90
m
解析 汽车过圆弧拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有mg－FN＝m
为了保证安全通过，车与路面间的弹力FN必须大于等于零，即有mg≥m
，代入v＝108
km/h＝30
m/s，得R≥90
m，故半径至少是90
m.2 向心力
[学习目标]
1.知道什么是向心力，知道向心力的作用，知道它是根据力的作用效果命名的.2.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.3.体验向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力与物体的质量、速度和轨道半径的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用.4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点.
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力.
2.方向：始终沿着半径指向圆心.
3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.
5.表达式：
(1)Fn＝m
(2)Fn＝mω2r.
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示.
图1
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小.
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向.
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力.( × )
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的.( × )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力.( √ )
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心.( × )
(5)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变.( √ )
2.如图2所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落.则下列说法正确的是( )
图2
A.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B.小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C.筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D.筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案 D
解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误.水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项B、C错误，D正确.
第1课时 实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图3(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.
图3
2.实验步骤
在离小沙袋重心40
cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80
cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一 手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二 手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三 改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四 手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图4所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
图4
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三 利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图5所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.
图5
实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
ω
ω2
②m、ω一定(表二)
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
r
③r、ω一定(表三)
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
m
(2)数据处理
分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的图像，若Fn－ω图像不是直线，可以作Fn－ω2图像.
(3)实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
一、定性研究影响向心力大小的因素
如图6甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素.用细绳系一纸杯(杯中有30
mL的水)，将手举过头顶，使杯在水平面内做圆周运动.
图6
(1)下列说法中正确的是________.
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙，绳离杯心40
cm处打一结点A,80
cm处打一结点B，学习小组中一位同学手表计时，另一位同学操作.
操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动二周，体会向心力的大小.
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30
mL的水，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与一相比较：________________相同，向心力大小与________有关；
②物理学中此种实验方法叫________________法.
③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”，你认为该同学的说法是否正确，为什么？
答案 (1)BD (2)①角速度、半径 质量
②控制变量
③说法不正确.该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心.细绳对手的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心.
二、定量研究影响向心力大小的因素
用如图7所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关.
图7
(1)本实验采用的科学方法是________.
A.控制变量法
B.累积法
C.微元法
D.放大法
(2)图示情景正在探究的是________.
A.向心力的大小与半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结论是________.
A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
答案 (1)A (2)D (3)C
一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系.在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小Fn与半径r的数据，记录到表1中.
表1 向心力Fn与半径r的测量数据
次数
1
2
3
4
5
半径r/mm
50
60
70
80
90
向心力Fn/N
5.46
6.55
7.64
8.74
9.83
在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物的角速度ω，得到几组向心力Fn和角速度ω的数据，记录到表2中.
表2 向心力Fn与角速度ω的测量数据
次数
1
2
3
4
5
角速度ω/(rad·s－1)
6.8
9.3
11.0
14.4
21.8
向心力Fn/N
0.98
2.27
2.82
4.58
10.81
(1)根据上面的测量结果，分别在图8和图9中作出Fn－r图线和Fn－ω图线.
图8
图9
(2)若作出的Fn－ω图线不是直线，可以尝试作Fn－ω2图线，试在图10中作出Fn－ω2图线.
图10
(3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成________，与角速度的平方成________.
答案 (1)
(2)
(3)正比 正比
1.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着绳在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图11所示)，则下列说法中正确的是( )
图11
A.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变
B.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大
C.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小
答案 B
2.(多选)(2018·北京市大兴区上学期期末)向心力演示仪可以利用控制变量法探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系.它通过皮带传动改变两轮的转速，让两轮上的实心小球(体积相同)同时做圆周运动，然后通过连动装置使安放在圆盘中心套筒中的弹簧产生形变，利用形变大小来反映向心力的大小，形变越大，露出的标尺格数越多.采用如图12所示的实验装置，可以实现的实验目的和观察到的现象是( )
图12
A.控制角速度和半径相同，研究向心力大小与质量的关系
B.控制半径相同，研究向心力大小与角速度大小的关系
C.钢球比铝球的质量大，钢球一侧露出的标尺格数多
D.钢球比铝球的质量大，铝球一侧露出的标尺格数多
答案 AC
3.如图13所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中
A、B
为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的重锤.试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素.
图13
(1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆.
现象：连接
A的棉线先断.
表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随________的增大而增大.
(2)使质量
mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆.
现象：连接
A的棉线先断.
表明：在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随________的增大而增大.
(3)对任一次断线过程进行考察.
现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的.
表明：在物体质量和转动半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大.
答案 (1)物体质量 (2)转动半径 (3)转动角速度
4.如图14甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，表格中是所得数据，图乙为F－v图像、F－v2图像、F－v3图像.
图14
v/(m·s－1)
1
1.5
2
2.5
3
F/N
0.88
2
3.5
5.5
7.9
(1)数据表格和图乙中的三个图像是在用实验探究向心力F和圆柱体线速度大小v的关系时，保持圆柱体质量不变、半径r＝0.1
m的条件下得到的.研究图像后，可得出向心力F和圆柱体线速度大小v的关系式____________________________.
(2)为了研究F与r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持______不变.
(3)若已知向心力公式为F＝m，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量为____________.
答案 (1)F＝0.88v2 (2)线速度大小v (3)0.088
kg
解析 (1)研究数据表格和题图乙中B图不难得出F∝v2，进一步研究知题图乙B中图线的斜率k＝≈0.88，故F与v的关系式为F＝0.88v2.
(2)还应保持线速度大小v不变.
(3)因F＝m＝0.88v2，r＝0.1
m，则m＝0.088
kg.
第2课时 向心力的分析和公式的应用
一、向心力的理解及来源分析
导学探究
1.如图1所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动.
图1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
(2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？
答案 (1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心.
(2)合力的大小F＝m.
2.若月球(质量为m)绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？
答案 月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知识深化
1.对向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝m＝mω2r＝m2r.
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
关于向心力的说法中正确的是( )
A.物体由于做圆周运动而产生了向心力
B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
答案 B
解析 向心力是物体做圆周运动的原因，故A错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误；向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能加入向心力，故C错误.
(多选)如图2所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
图2
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于Mgtan
θ
答案 BCD
二、匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例
图形
受力分析
力的分解方法
满足的方程及向心加速度
或mgtan
θ＝mω2lsin
θ
或mgtan
θ＝mω2r
或mgtan
θ＝mω2r
如图3所示，已知绳长为L＝20
cm，水平杆长为L′＝0.1
m，小球质量m＝0.3
kg，整个装置可绕竖直轴转动.g取10
m/s2，问：(结果均保留三位有效数字)
图3
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动？
(2)此时绳子的张力为多大？
答案 (1)6.44
rad/s (2)4.24
N
解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力.
(1)对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan
45°＝mω2r
r＝L′＋Lsin
45°
联立并将数值代入可得
ω≈6.44
rad/s
(2)FT＝≈4.24
N.
针对训练1 如图4所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g)( )
图4
A.m
B.m
C.m
D.mg
答案 A
解析 对老鹰进行受力分析如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F.由题意可知，力F沿水平方向的分力F1提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力F2与重力平衡，故F1＝，F2＝mg，则F＝＝＝m，A正确.
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
导学探究
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图5所示.
图5
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
答案 (1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向.
(2)由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大.
知识深化
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
如图6所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
图6
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
答案 A
解析 转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误.
针对训练2 (2019·莲塘第一中学期中)如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小.在此过程中“神舟十一号”所受合力F的方向可能是( )
答案 C
解析 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐减小，故合力F的方向与速度方向的夹角应大于90°，C正确，B错误.
1.(向心力的理解)(多选)下列关于向心力的叙述中，正确的是( )
A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D.向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
答案 ACD
解析 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的几个力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，B错误；向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，所以向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，A、C、D正确.
2.(一般曲线运动分析)(2018·绵阳高一检测)如图7所示，小鸟沿图中虚线向上加速飞行，空气对其作用力可能是( )
图7
A.F1
B.F2
C.F3
D.F4
答案 D
3.(向心力公式的应用)(2019·棠湖中学高一质检)如图8所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向上做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
图8
A.螺丝帽在重力和摩擦力作用下处于平衡状态
B.螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C.此时手转动塑料管的角速度ω＝
D.若塑料管的转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管向下运动
答案 C
解析 螺丝帽恰好不下滑，则有μFN＝mg
螺丝帽做匀速圆周运动，塑料管的弹力FN提供向心力，即弹力方向指向圆心，则FN＝mω2r，
联立解得ω＝，故C正确.
4.(向心力公式的应用)(2019·南阳市高一下学期期末)如图9所示，长为L的细绳一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个光滑的小钉子A，小球从一定高度摆下，当细绳与钉子相碰时，钉子的位置距小球，则细绳碰到钉子前、后瞬间( )
图9
A.绳对小球的拉力大小之比为1∶4
B.小球所受合外力大小之比为1∶4
C.小球做圆周运动的线速度大小之比为1∶4
D.小球做圆周运动的角速度之比为4∶1
答案 B
解析 细绳碰到钉子前、后瞬间线速度大小不变，即线速度大小之比为1∶1；半径变小，根据v＝ωr得知，角速度之比为1∶4，故C、D错误.根据F合＝F－mg＝m，则合外力之比为1∶4，选项B正确；拉力F＝mg＋m，可知拉力之比＝＝≠，选项A错误.
5.(向心力公式的应用)如图10所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的( )
图10
A.向心力大小相同
B.运动周期不同
C.运动线速度大小相同
D.运动角速度相同
答案 D
解析 对其中一个小球受力分析，如图所示，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得合力：F＝mgtan
θ，①
θ不同，则F大小不同，故A错误；
由向心力公式得：F＝mω2r，②
设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htan
θ，③
由①②③得，ω＝，可知角速度与绳子的长度和转动半径无关，两球角速度相同，故D正确；又由T＝可知两球运动周期相同，故B错误；由v＝ωr可知，两球转动半径不等，线速度大小不同，故C错误.
考点一 向心力的概念及其来源分析
1.(多选)关于使物体做圆周运动的向心力，下列说法正确的是( )
A.做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力一定是物体所受的合外力
D.向心力是沿着半径指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
答案 BD
2.(2018·牡丹江一中高一下期中)如图1所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，关于A的受力情况，下列说法正确的是( )
图1
A.受重力、支持力
B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C.受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力和向心力
D.受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
答案 B
解析 物块A随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力，重力和支持力平衡，靠静摩擦力提供向心力，所以B选项是正确的，A、C、D错误.
3.(2019·安徽宣城三校高一下期中联考)如图2所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点.则小球在竖直面内摆动的过程中，不计空气阻力，以下说法正确的是( )
图2
A.小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力
B.在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合外力为零
C.小球在最低点C所受的合外力为向心力
D.小球在摆动过程中使其速率发生变化的力为细绳的拉力
答案 C
解析 小球在摆动过程中受到的合外力只有在小球运动到C点时全部充当向心力，故A错误，C正确；小球运动到最高点时，虽然小球的速度为零，但小球受到的合外力不为零，故B错误；小球在摆动过程中使其速率发生变化的力为重力垂直于细绳方向的分力，故D错误.
4.(多选)(2019·安徽师大附中高一下学期期末)如图3所示，小球m用两根长度相等的细绳系在竖直杆上，细绳不可伸长，当杆旋转时，对小球受力分析正确的是( )
图3
A.受重力、绳的拉力和向心力作用
B.可能受重力、一根绳的拉力共两个力作用
C.可能受重力、两根绳的拉力共三个力作用
D.上面一根绳的拉力总大于小球的重力
答案 BCD
解析 转速较小时，小球受重力和上面一根绳的拉力作用，转速较大时，小球受重力和两根绳的拉力作用，故A错误，B、C正确.只有上面一根绳有拉力时，绳的竖直分力大小等于球的重力；如果两根绳都有拉力，上面绳的竖直分力大小等于球的重力和下面绳拉力的竖直分力之和，所以上面一根绳的拉力一定比球的重力大，故D正确.
考点二 向心力公式的理解及应用
5.一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图4所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力为( )
图4
A.μmg
B.
C.μm(g＋)
D.μm(g－)
答案 C
解析 在最低点由向心力公式得：FN－mg＝m，得FN＝mg＋m，又由摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋m)＝μm(g＋)，C选项正确.
6.(2019·安徽师大附中高一下学期期末)如图5所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动.以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度大小(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心力大小(FnA、FnB)和对内壁的压力大小(FNA、FNB)的说法正确的是( )
图5
A.vA>vB
B.ωA>ωB
C.FnA>FnB
D.FNA>FNB
答案 A
解析 对小球受力分析如图所示，可得FN＝，Fn＝，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到支持力的大小都相同，故C、D错误；由向心力的公式Fn＝m可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由向心力的公式Fn＝mω2r可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误.
7.(多选)如图6所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测质量为m的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，运动员转动的周期T＝2
s，重力加速度为g，估算该女运动员( )
图6
A.受到的拉力为mg
B.受到的拉力为2mg
C.做圆周运动的半径为
D.做圆周运动的半径为
答案 BC
解析 设女运动员受到的拉力为F，分析女运动员受力情况可知，Fsin
30°＝mg，Fcos
30°＝mr，可得：F＝2mg，r＝，故B、C正确.
考点三 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
8.“歼20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图7中虚曲线是某次“歼20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是( )
图7
A.沿F1方向
B.沿F2方向
C.沿F3方向
D.沿F4方向
答案 C
解析 飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有F3符合题意.
9.如图8，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针).某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
图8
答案 C
解析 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速度不断增大，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.
10.(2019·重庆十一中高一下期中)如图9所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止.当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )
图9
A.两物体受到的摩擦力都增大
B.两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
答案 D
解析 容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确.
11.(多选)(2019·北京十二中期末)如图10所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆).现使小球在一个更高一些的水平面内做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是( )
图10
A.小球P运动的周期变大
B.小球P运动的线速度变大
C.小球P运动的角速度变小
D.金属块Q受到桌面的支持力不变
答案 BD
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ(θ＝90°)，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L.小球P做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有mgtan
θ＝mω2Lsin
θ，得角速度ω＝，周期T＝＝2π，线速度大小v＝rω＝Lsin
θ·＝，小球在一个更高一些的水平面内做匀速圆周运动时，θ增大，则cos
θ减小，sin
θ、tan
θ均增大，故角速度增大，周期减小，线速度变大，选项B正确，A、C错误；金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球整体研究，在竖直方向上没有加速度，根据平衡条件可知，Q受到桌面的支持力等于Q与小球的总重力，保持不变，选项D正确.
12.(多选)如图11所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动.若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是( )
图11
A.A、B两球受到的向心力大小之比为2∶1
B.A、B两球角速度之比为1∶1
C.A、B两球运动半径之比为1∶2
D.A、B两球线速度大小之比为1∶2
答案 BCD
解析 两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错误，B正确；设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，因为mA∶mB＝2∶1，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确；由v＝rω，可知vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，D正确.
13.如图12所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比.
图12
答案 3∶2
解析 球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，故球所受到的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供.
分别隔离A、B受力分析，如图所示.由于A、B放在水平面上，故G＝FN，又有A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，则由向心力公式可得：
对A：FOA－FAB＝mrω2，
对B：FAB′＝2mrω2
又FAB＝FAB′，
联立三式，解得FOA∶FAB＝3∶2.
14.如图13所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内.已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小.
图13
答案 sin
θ
解析 小球受力如图所示，
mgtan
θ＝
r＝Rsin
θ
FNcos
θ＝mg
联立以上三式解得v＝sin
θ
FN＝.
15.如图14所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1
kg，细线AC长L＝1
m.(重力加速度g取10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
图14
(1)若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝
rad/s，求细线AB和AC上的张力大小FTAB、FTAC.
答案 (1)
rad/s (2)2.5
N 12.5
N
解析 (1)当细线AB刚好被拉直时，AB的拉力为零，AC的拉力和小球重力的合力提供小球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有mgtan
37°＝mLABω12，又有LAB＝Lsin
37°，
解得ω1＝＝
rad/s＝
rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝
rad/s
LAB＝Lsin
37°
竖直方向上有FTACcos
37°＝mg
水平方向上有FTACsin
37°＋FTAB＝mLABω22
代入数据解得FTAC＝12.5
N，FTAB＝2.5
N.专题强化 圆周运动的综合分析
[学习目标]
1.会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法.2.掌握圆周运动临界问题的分析方法.
一、竖直面内的圆周运动
1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.
图1
(1)最低点动力学方程：
FT1－mg＝m
所以FT1＝mg＋m
(2)最高点动力学方程：
FT2＋mg＝m
所以FT2＝m－mg
(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝.
讨论：当v2＝时，拉力或压力为零.
当v2>时，小球受向下的拉力或压力.
当v2<时，小球不能到达最高点.
如图2所示，长度为L＝0.4
m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5
kg，小球半径不计，g取10
m/s2，求：
图2
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4
m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45
N，小球运动过程中速度的最大值.
答案 (1)2
m/s (2)15
N (3)4
m/s
解析 (1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2
m/s.
(2)小球通过最高点时的速度大小为4
m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝m，解得FT＝15
N.
(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝，将FT′＝45
N代入解得v3＝4
m/s，即小球的速度不能超过4
m/s.
2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
如图3所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.
图3
(1)最高点的最小速度
由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
①v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v
增大而增大；
②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m；
③0如图4，长为0.5
m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2
kg的小球(半径不计).求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10
m/s2，取π2＝10)：
图4
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2
r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5
r/s.
答案 (1)140
N 方向竖直向上 (2)10
N 方向竖直向下
解析 假设小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向下，则小球受力如图所示：
(1)杆的转速为2
r/s时，ω＝2π·n＝4π
rad/s，
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)
N＝140
N，
即杆对小球有140
N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140
N，方向竖直向上.
(2)杆的转速为0.5
r/s时，ω′＝2π·n′＝π
rad/s，
同理可得小球所受杆的作用力
F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)
N＝－10
N.
力F′为负值表示它的方向与受力分析中假设的方向相反，即杆对小球有10
N的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10
N，方向竖直向下.
二、圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.
通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：
(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0.
(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0.
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值.
如图5所示，用一根长为l＝1
m的细线，一端系一质量为m＝1
kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，结果可用根式表示)
图5
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
答案 (1)
rad/s (2)2
rad/s
解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示.小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan
θ＝mω02lsin
θ
解得ω0＝＝
rad/s
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan
α＝mω′2lsin
α
解得ω′＝＝2
rad/s
(2019·郑州市高一下学期期末)如图6甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.
图6
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求ω1的值；
(2)如图乙，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω2＝时，求细绳的拉力FT2的大小；
(3)将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω3＝时，求细绳的拉力FT3的大小.
答案 (1) (2)0 (3)μmg
解析 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12
解得：ω1＝
(2)由于ω2<ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故FT2＝0.
(3)由于ω3>ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋FT3＝mω32r，可得此时绳子对物块拉力的大小为FT3＝μmg.
1.(轻绳模型)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6
m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5
kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4
m/s，则下列说法正确的是(g取10
m/s2)( )
图7
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5
N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4
m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.
2.(过山车模型)(多选)如图8所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是( )
图8
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
答案 BCD
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确.
3.(轻杆模型)如图9所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
图9
A.mg的拉力
B.mg的压力
C.零
D.mg的压力
答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得：v′＝，而<，故杆对球的作用力是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律可知，球对杆的作用力是压力，B正确，A、C、D错误.
4.(圆周运动的临界问题)(2019·双峰一中高一下学期期末)如图10所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均
相对圆盘静止，则下列说法正确的是( )
图10
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
答案 C
一、选择题
1.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
图1
A.0
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确.
2.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( )
A.mg
B.2mg
C.mg＋
D.2
答案 B
解析 在最高点有：F1＋mg＝m，解得：F1＝m－mg；在最低点有：F2－mg＝m，解得：F2＝mg＋m.所以由牛顿第三定律可知，F2′－F1′＝F2－F1＝2mg，B正确.
3.(多选)(2019·双峰一中高一下学期期末)如图2所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法正确的是( )
图2
A.v的最小值为
B.v由零逐渐增大，向心力也增大
C.当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D.当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
答案 BCD
解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v的最小值是零，故A错误.v由零逐渐增大，由Fn＝可知，Fn也增大，故B正确.当v＝时，Fn＝＝mg，此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v＞时，杆对球的力为拉力，由mg＋F＝可得F＝m－mg，则当v由逐渐增大时，拉力F逐渐增大；当v＜时，杆对球的力为支持力，此时，mg－F′＝可得F′＝mg－，当v由逐渐减小时，支持力F′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C、D正确.
4.(多选)如图3所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是( )
图3
A.若v0＝，则小球对管内壁无压力
B.若v0>，则小球对管内上壁有压力
C.若0
D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
答案 ABC
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m，解得v0＝，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0＞，则有mg＋FN＝m，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0＜v0＜，则有mg－FN＝m，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误.
5.(多选)如图4所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
图4
A.小球通过最高点时的最小速度是
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BD
6.(多选)(2019·襄阳四中期中考试)质量为m的小球(不计大小)由轻绳a和b分别系于一竖直轻质细杆的A点和B点，如图5所示，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成θ角，b绳沿水平方向且长为l，则下列说法正确的是( )
图5
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.若角速度ω>，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案 AC
解析 对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTa＝，为定值，A正确，B错误.当FTacos
θ＝mω2l，即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确.由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误.
7.(多选)如图6所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
图6
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC
解析 小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa＝mωa2
l，当Ffa＝kmg时，kmg＝mωa2l，可得ωa＝；对木块b：Ffb＝mωb2·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，可得ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa8.(2019·六安一中期中考试)如图7所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置用平直细线相连的质量相等的两物体A和B，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速增大到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则两个物体将要发生的运动情况是( )
图7
A.两物体仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
B.只有A仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
C.两物体均沿半径方向滑动，A靠近圆心、B远离圆心
D.两物体均沿半径方向滑动，A、B都远离圆心
答案 B
解析 当两物体刚要滑动时，A、B所受静摩擦力都是最大静摩擦力Ffm.对A有Ffm－FT＝mω2rA，对B有Ffm＋FT＝mω2rB，烧断细线的瞬间，FT消失，A的向心力由圆盘的静摩擦力提供，且Ff＝mω2rA9.(2019·北京十一学校期末)一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O的上方h处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m的小球B(体积可忽略)，细绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图8所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g)( )
图8
A.
B.π
C.
D.2π
答案 A
解析 如图所示，设细绳与转动轴夹角为θ，以小球为研究对象，小球受三个力的作用；重力mg、水平面支持力FN、细绳拉力F，在竖直方向合力为零，则有Fcos
θ＋FN＝mg，在水平方向上由牛顿第二定律有Fsin
θ＝m(2πn)2R＝m(2πn)2htan
θ，则n＝，当小球即将离开水平面时FN＝0，F有最大值，转速n有最大值，则有nmax＝，故A正确，B、C、D错误.
10.(多选)如图9甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球(大小不计)，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示.则( )
图9
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D.v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
答案 ACD
解析 当小球受到的弹力方向向下时，有F＋mg＝，解得F＝v2－mg；当弹力方向向上时，有mg－F＝m，解得F＝mg－m.对比F－v2图像可知，a＝mg，当v2＝b时，F＝0，可得b＝gR，则g＝，m＝，A正确，B错误；v2＝c时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C正确；v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等，D正确.
二、非选择题
11.如图10所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B从水平地面上以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg.g为重力加速度，忽略空气阻力，求A、B两球落地点间的距离.
图10
答案 3R
解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差.
对A球由牛顿第二定律得
3mg＋mg＝m
解得A球通过最高点C时的速度大小为vA＝2
对B球由牛顿第二定律得
mg－0.75mg＝m
解得B球通过最高点C时的速度大小为vB＝
A、B球做平抛运动的时间相同，由2R＝gt2可得t＝＝2
两球做平抛运动的水平分位移分别为
xA＝vAt＝4R
xB＝vBt＝R
A、B两球落地点间的距离Δx＝xA－xB＝3R.
12.如图11所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)
图11
答案 ≤ω≤
解析 当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即
F＋Ffmax＝mrω12①
由于B静止，故有F＝mg②
又Ffmax＝μFN＝μmg③
由①②③式可得ω1＝
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－Ffmax＝mrω22④
由②③④式可得ω2＝
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即≤ω≤.
13.(拓展提升)如图12所示，质量为1
kg、大小不计的小球P用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆在水平面内做匀速圆周运动.AB的距离等于绳长为1
m.(重力加速度g＝10
m/s2)
图12
(1)当ω1＝4
rad/s时，细绳AP和BP的拉力分别为多少？
(2)当ω2＝5
rad/s时，细绳AP和BP的拉力分别为多少？
答案 (1)0 16
N (2)2.5
N 22.5
N
解析 设AP刚伸直时小球做圆周运动的角速度为ω0
此时BP与竖直方向夹角为60°，AP拉力为0
球受力如图甲所示，
FT1sin
60°＝mω02Lsin
60°
FT1cos
60°＝mg
联立解得：
ω0＝2
rad/s
(1)当ω1＝4
rad/s＜ω0时，AP上拉力为0，设BP拉力为FT2，其与竖直方向夹角为θ，受力分析如图乙，
FT2sin
θ＝mω12Lsin
θ
解得FT2＝16
N
(2)当ω2＝5
rad/s＞ω0时，AP、BP上都有拉力，设分别为FT3、FT4，受力分析(如图丙)
FT4cos
30°＋FT3cos
30°＝mω22Lsin
60°
FT4sin
30°＝FT3sin
30°＋mg
联立解得FT3＝2.5
N，FT4＝22.5
N.(共29张PPT)
专题强化 圆周运动的综合分析
第六章 圆周运动
1.会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法.
2.掌握圆周运动临界问题的分析方法.
学习目标
探究重点 提升素养
随堂演练 逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
探究重点 提升素养
01
1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.
(1)最低点动力学方程：
竖直面内的圆周运动
一
图1
例1 如图2所示，长度为L＝0.4
m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5
kg，小球半径不计，g取10
m/s2，求：
图2
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
答案 2
m/s
(2)小球通过最高点时的速度大小为4
m/s时，绳的拉力大小；
答案 15
N
(3)若轻绳能承受的最大张力为45
N，小球运动过程中速度的最大值.
2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
如图3所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.
图3
(1)最高点的最小速度
由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
例2 如图4，长为0.5
m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2
kg的小球(半径不计).求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10
m/s2，取π2＝10)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2
r/s；
图4
答案 140
N 方向竖直向上
解析 假设小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向下，则小球受力如图所示：
杆的转速为2
r/s时，ω＝2π·n＝4π
rad/s，
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)
N＝140
N，
即杆对小球有140
N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140
N，方向竖直向上.
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5
r/s.
答案 10
N 方向竖直向下
解析 杆的转速为0.5
r/s时，ω′＝2π·n′＝π
rad/s，
同理可得小球所受杆的作用力
F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)
N＝－10
N.
力F′为负值表示它的方向与受力分析中假设的方向相反，即杆对小球有10
N的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10
N，方向竖直向下.
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.
通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：
(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0.
(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0.
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值.
圆周运动的临界问题
二
例3 如图5所示，用一根长为l＝1
m的细线，一端系一质量为m＝1
kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
图5
解析 若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示.小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan
θ＝mω02lsin
θ
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析 同理，当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan
α＝mω′2lsin
α
例4 (2019·郑州市高一下学期期末)如图6甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.
图6
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求ω1的值；
解析 当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12
(2)如图乙，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω2＝
时，求细绳的拉
力FT2的大小；
答案 0
解析 由于ω2<ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故FT2＝0.
(3)将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω3＝
时，求细绳的拉力FT3的大小.
解析 由于ω3>ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋FT3＝mω32r，可得此时绳子对物块拉力的大小为FT3＝
μmg.
随堂演练 逐点落实
02
1.(轻绳模型)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6
m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5
kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4
m/s，则下列说法正确的是(g取10
m/s2)
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5
N
1
2
3
4
图7
√
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝
＝4
m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.
2.(过山车模型)(多选)如图8所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
1
2
3
4
√
√
图8
√
1
2
3
4
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；
1
2
3
4
图9
√
1
2
3
4
4.(圆周运动的临界问题)(2019·双峰一中高一下学期期末)如图10所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
1
2
3
4
图10
√
