习题课2 竖直面内的圆周运动
【学习素养·明目标】 物理观念：1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳(或轻杆)约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法．
科学思维：1.通过对圆周运动的两种基本模型的学习，培养学生的思维能力.2.培养学生应用所学知识解决实际问题的能力．
竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
[要点归纳]
轻绳(过山车)模型(如图所示)的最高点问题
1．绳或过山车(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力或压力．
2．在最高点的动力学方程FT＋mg＝m.
3．在最高点的临界条件FT＝0，此时mg＝m，则v＝.
v＝时，拉力或压力为零．
v＞时，小球受向下的拉力或压力．
v＜时，小球不能达到最高点．
即轻绳模型的临界速度为v临＝.
【例1】 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5
kg，水的重心到转轴的距离l＝50
cm.(g取10
m/s2)
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3
m/s，求水对桶底的压力大小．
思路点拨：在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用．
[解析] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．有：mg＝m
则所求的最小速率为：v0＝≈2.24
m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m
代入数据可得：FN＝4
N
由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4
N.
[答案] (1)2.24
m/s (2)4
N
1．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A.
B．2
C.
D.
C [小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．]
竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
[要点归纳]
1．最高点的最小速度
如图所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
2．小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
(1)v＞，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v增大而增大．
(2)v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0.
(3)0＜v＜，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小．
【例2】 长度为0.5
m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2
kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10
m/s2)
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0
r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5
r/s.
[解析] 小球在最高点的受力如图所示：
(1)杆的转速为2.0
r/s时，
ω＝2π·n＝4π
rad/s
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138
N
即杆对小球提供了138
N的拉力
由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138
N，方向竖直向上．
(2)杆的转速为0.5
r/s时，ω′＝2π·n＝π
rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10
N
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10
N，方向竖直向下．
[答案] (1)小球对杆的拉力为138
N，方向竖直向上
(2)小球对杆的压力为10
N，方向竖直向下
(1)注意r/s与rad/s的不同．
(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力.
(3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法．
2．如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于0
B．小球过最高点时，速度至少为
C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用
D．小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球受重力方向相反
C [当小球在最高点的速度为时，杆所受弹力为0，A错误；因为是细杆，小球过最高点时的最小速度是0，B错误；小球过最高点时，如果速度在0～范围内，则杆对小球有向上的支持力，但由于合力向下，故此时重力一定大于杆对球的作用，C正确；小球通过最高点的速度大于，小球的重力不足以提供向心力，此时杆对球产生向下作用力，D错误．]
1．如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体受重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B.
C.
D.
C [由题意知F＋mg＝m即2mg＝m，故速度大小v＝，C正确．]
2．(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，绳子张力可能为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度为
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
AC [绳子只能提供拉力作用，其方向不可能与重力相反，D错误；在最高点有mg＋FT＝m，拉力FT可以等于零，此时速度最小，为vmin＝，故B错误，A、C正确．]
3．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下
B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上
D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力
ACD [设管道的半径为R，小球的质量为m，小球通过最低点时速度大小为v1，根据牛顿第二定律：N－mg＝m可知小球所受合力向上，则管道对小球的支持力向上，则小球对管道的压力向下，故A正确，B错误；最高点时速度大小为v2，根据牛顿第二定律：mg－N＝m，当v2＝时，N＝0，说明管道对小球无压力；当v2＞时，N＜0，说明管道对小球的作用力向下，则小球对管道的压力向上，故C、D正确．]
4．如图所示，长为L＝0.5
m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m＝2
kg的小球，g取10
m/s2.
(1)如果小球的速度为3
m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大；
(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4
N，求杆旋转的角速度为多大．
[解析] (1)小球在最低点受力如图甲所示：
甲 乙
合力等于向心力：FA－mg＝m
解得：FA＝56
N.
(2)小球在最高点如图乙所示：
则：mg－FB＝mω2L
解得：ω＝4
rad/s.
[答案] (1)56
N (2)4
rad/s
2课时分层作业(四)
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格考达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是( )
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相等
D．在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
C [匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等、弧长相等、转过的角度相等，A、B、D项正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C项错误．]
2．如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则( )
A．ωP＜ωQ，vP＜vQ
B．ωP＝ωQ，vP＜vQ
C．ωP＜ωQ，vP＝vQ
D．ωP＝ωQ，vP＞vQ
B [由于P、Q两点属于同轴转动，所以P、Q两点的角速度是相等的，即ωP＝ωQ；同时由图可知，Q点到螺母的距离比较大，由v＝ωr可知，Q点的线速度大，即vP＜vQ.B正确．]
3．(多选)假设“神舟十一号”实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用( )
A．T＝
B．T＝
C．T＝
D．T＝
AC [由题意可知“神舟十一号”匀速圆周运动n周所需时间Δt＝t2－t1，故其周期T＝＝，选项A正确；由周期公式有T＝，选项C正确．]
4．如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮边缘上的两个点，则偏心轮转动过程中，a、b两点( )
A．角速度大小相同
B．线速度大小相同
C．周期大小不同
D．转速大小不同
A [同轴转动，角速度大小相等，周期、转速都相等，选项A正确，C、D错误；角速度大小相等，但转动半径不同，根据v＝ωr可知，线速度大小不同，选项B错误．]
5．(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
BC [A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换4种挡位，故A错误，B正确．当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A轮转一圈，D转4圈，即＝，故C正确，D错误．]
6．(多选)一辆卡车在水平路面上行驶，已知该车轮胎半径为R，轮胎转动的角速度为ω，关于各点的线速度大小，下列说法正确的是
( )
A．相对于地面，轮胎与地面的接触点的速度为ωR
B．相对于地面，车轴的速度大小为ωR
C．相对于地面，轮胎上缘的速度大小为ωR
D．相对于地面，轮胎上缘的速度大小为2ωR
BD [因为轮胎不打滑，相对于地面，轮胎与地面接触处保持相对静止，该点相当于转动轴，它的速度为零，车轴的速度为ωR.而轮胎上缘的速度大小为2ωR.故选项B、D正确．]
二、非选择题(14分)
7．一汽车发动机的曲轴每分钟转2
400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2
m点的线速度．
[解析] (1)由于曲轴每秒钟转＝40(周)，周期T＝
s；而每转一周为2π
rad，因此曲轴转动的角速度ω＝2π×40
rad/s＝80π
rad/s.
(2)已知r＝0.2
m，因此这一点的线速度v＝ωr＝80π×0.2
m/s＝16π
m/s.
[答案] (1)
s 80π
rad/s (2)16π
m/s
[等级考提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，且绕杆上的O点做匀速圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v1，小球2的速度为v2时，则转轴O到小球2的距离为( )
A.L
B.L
C.L
D.L
B [两小球的角速度相同，设为ω，则有v1＝ωr1，v2＝ωr2，r1＋r2＝L.以上各式联立解得r2＝L，B正确．]
2．(多选)如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
BC [主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A错误，B正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C正确，D错误．]
3.如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑，其半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动．要使小球从B口处飞出，小球进入上面小口的最小速率v0为( )
A．πR
B．πR
C．πR
D．2πR
B [小球在竖直方向上只受重力作用，做自由落体运动，故小球从A到B的时间为t＝，设小球从A运动到B的过程中，沿水平方向转了n圈，则有v0t＝n·2πR，当n＝1时，小球进入上面小口的速率v0最小，解得v0＝πR，B正确．]
4．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2
m，轴杆的转速为3
600
r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示．则该子弹的速度可能是( )
A．360
m/s
B．720
m/s
C．1
440
m/s
D．108
m/s
C [子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0,1,2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π×
rad/s＝120π
rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝
m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝1
440
m/s；n＝1时，v≈110.77
m/s；n＝2时，v＝57.6
m/s，C正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动．求满足使A、B速度相同的力F的取值．
[解析] 速度相同即大小、方向相同，B为水平向右，A一定要在最低点才能保证速度水平向右．由题意可知：当A从M点运动到最低点时
t＝nT＋T(n＝0,1,2…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)：
v＝at＝＝
解得：F＝(n＝0,1,2…)．
[答案] F＝(n＝0,1,2…)
6．(13分)一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示．伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，则此圆的半径r为多少？
[解析] 水滴飞出的速度大小v＝ωR
水滴做平抛运动，故：
竖直方向有h＝gt2
水平方向有l＝vt
由题意画出俯视图，如图所示．
由几何关系知，水滴形成圆的半径
r＝
联立以上各式得r＝R.
[答案] R
2课时分层作业(五)
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格考达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是( )
A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D．向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小
ACD [向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力．向心力时刻指向圆心，与速度方向垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，A、C、D正确．]
2．如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
A B C D
C [由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心．由此可知C正确．]
3．如图所示为“感受向心力”的实验，用一根轻绳，一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力．下列说法正确的是( )
A．只减小旋转角速度，拉力增大
B．只加快旋转速度，拉力减小
C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大
D．突然放开绳子，小球仍做曲线运动
C [由题意，根据向心力公式F向＝mω2r，牛顿第二定律，则有T拉＝mω2r，只减小旋转角速度，拉力减小，只加快旋转速度，拉力增大，只更换一个质量较大的小球，拉力增大，故A、B错误，C正确；突然放开绳子，小球受到的合力为零，将沿切线方向做匀速直线运动，故D错误．]
4．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
D [物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力Ff(如图所示)．其中G和Ff是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力．当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起匀速转动而未滑动，则物体所受的摩擦力Ff大小等于其重力．而根据向心力公式FN＝mω2r可知，当角速度ω变大时，FN也变大，故D正确．]
5.如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )
A．物块A不受摩擦力作用
B．物块B受5个力作用
C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B受摩擦力减小
D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴
B [物块A受到的摩擦力充当其向心力；物块B受到重力、支持力、A对物块B的压力、A对物块B的沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块B的沿半径向里的静摩擦力，共5个力的作用；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大；A对B的摩擦力方向沿半径向外．]
6．(多选)如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉子上，现使小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做匀速圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )
A．小球的线速度变大
B．小球的角速度变大
C．小球的向心力变小
D．细绳对小球的拉力变小
CD [在绳子完全被释放后与释放前相比，由于小球所受的拉力与速度垂直，故不改变速度大小，选项A错误；由v＝ωr，v不变，r变大，则角速度ω变小，选项B错误；小球的向心力Fn＝m，v不变，r变大，则Fn变小，选项C正确；细绳对小球的拉力F＝m，v不变，r变大，则F变小，选项D正确．]
二、非选择题(14分)
7.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0.
[解析] 对小物块受力分析如图所示，
由牛顿第二定律知mgtan
θ＝mω·Rsin
θ，得ω0＝＝.
[答案]
[等级考提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．一辆满载新鲜水果的货车以恒定速率通过水平面内的某转盘，角速度为ω，其中一个处于中间位置的水果质量为m，它到转盘中心的距离为R，则其他水果对该水果的作用力为( )
A．mg
B．mω2R
C.
D.
C [处于中间位置的水果在水平面内随车转弯，做水平面内的匀速圆周运动，合外力提供水平方向的向心力，则F向＝mω2R，根据平衡条件及平行四边形定则可知，其他水果对该水果的作用力大小为F＝，选项C正确，其他选项均错误．]
2．(多选)如图所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，下列说法正确的是( )
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球受重力和拉力的作用
C．摆球运动周期为2π
D．摆球运动的转速为sin
θ
BC [摆球受重力和绳子拉力两个力的作用，设摆球做匀速圆周运动的周期为T，则：mgtan
θ＝mr，r＝Lsin
θ，则T＝2π，转速n＝＝·，B、C正确，A、D错误．]
3．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A．mω2R
B.
C.
D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆的作用力：F＝＝，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C正确．]
4．长度不同的两根细绳悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内做圆锥摆运动，如图所示，则关于两个圆锥摆的物理量相同的是( )
A．周期
B．线速度
C．向心力
D．绳的拉力
A [摆动过程中绳子的拉力和重力的合力充当向心力，设绳与竖直方向间的夹角为θ，如图所示
根据几何知识可得F＝mgtan
θ，r＝htan
θ，根据公式F＝mω2r可得ω＝，又知道T＝，所以两者的周期相同，A正确；根据公式v＝ωr可得线速度不同，B错误；由于两者与竖直方向的夹角不同，所以向心力不同，C错误；绳子拉力：T＝，故绳子拉力不同，D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置．转动手柄，可使塔轮、长槽和短槽随之匀速转动．塔轮至上而下有三层，每层左右半径比分别是1∶1、2∶1和3∶1.左右塔轮通过皮带连接，并可通过改变皮带所处的层来改变左右塔轮的角速度之比．实验时，将两个小球分别放在短槽C处和长槽的A(或B)处，A、C到塔轮中心的距离相等．两个小球随塔轮做匀速圆周运动，向心力大小可由塔轮中心标尺露出的等分格的格数读出．
(1)在该实验中应用了
来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
A．理想实验法 B．控制变量法 C．等效替代法
(2)用两个质量相等的小球放在A、C位置，匀速转动时，左边标尺露出1格，右边标尺露出4格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为
．
[解析] (1)要探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，需要采用控制变量法．
(2)设皮带连接的左右塔轮半径分别为r1和r2，左、右塔轮的角速度分别为ω1和ω2，A、C到塔轮中心的距离为r.A、C两个小球向心力大小分别为F1和F2.
根据题意知，F1∶F2＝1∶4
根据F＝mω2r知，m、r相等，
则有F1∶F2＝ω∶ω
则得ω1∶ω2＝1∶2
左右塔轮边缘的线速度大小相等，由v＝ωr得：r1∶r2＝ω2∶ω1＝2∶1.
[答案] (1)B (2)2∶1
6．(14分)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小．
[解析] (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mωr，得ω0＝.
(2)当ω＝时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg.
[答案] (1) (2)μmg
21．圆周运动
【学习素养·明目标】 物理观念：1.知道什么是匀速圆周运动，知道它是变速运动.2.掌握线速度的定义式，理解线速度的大小、方向的特点.3.掌握角速度的定义式，知道周期、转速的概念.4.理解掌握公式v＝ωr和ω＝2πn.
科学思维：1.通过“描述匀速圆周运动快慢”的学习，体会对于同一个问题可以从不同的角度进行研究.2.会应用线速度、角速度、周期间的关系，对两种传动装置进行分析．
一、描述圆周运动的物理量
1．圆周运动
运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动．
2．线速度
(1)物理意义：描述圆周运动物体的运动快慢．
(2)定义公式：v＝.
(3)方向：线速度是矢量，其方向为物体做圆周运动时该点的切线方向．
3．角速度
(1)物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢．
(2)定义公式：ω＝.
(3)单位：弧度/秒，符号是rad/s.
4．转速和周期
(1)转速：物体单位时间内转过的圈数．
(2)周期：物体转过一周所用的时间．
二、匀速圆周运动
1．定义：线速度大小不变的圆周运动．
2．特点
(1)线速度大小不变，方向不断变化，是一种变速运动．
(2)角速度不变(选填“变”或“不变”)．
(3)转速、周期不变(选填“变”或“不变”)．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做圆周运动的物体，其线速度的方向是不断变化的．(√)
(2)线速度越大，角速度一定越大．
(×)
(3)转速越大，周期一定越大．
(×)
(4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等．
(√)
(5)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同．
(×)
(6)匀速圆周运动是一种匀速运动．
(×)
2．(多选)做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是( )
A．速度
B．速率
C．周期
D．转速
BCD [速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、周期、转速都是标量，B、C、D正确．]
3．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
D [由v＝ωr知，ω＝，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，A错误；同样，r＝，半径与线速度、角速度两个因素有关，角速度大的半径不一定小，C错误；由T＝知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，B错误；而由T＝可知，ω越大，T越小，D正确．]
描述圆周运动的物理量及其关系
[观察探究]
如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时，a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？
提示：(1)ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc.
(2)va＝vc>vb.
[探究归纳]
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了．
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r.
【例1】 做匀速圆周运动的物体，10
s内沿半径为20
m的圆周运动100
m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
[解析] (1)依据线速度的定义式v＝可得v＝＝
m/s＝10
m/s.
(2)依据v＝ωr可得ω＝＝
rad/s＝0.5
rad/s.
(3)T＝＝
s＝4π
s.
[答案] (1)10
m/s (2)0.5
rad/s (3)4π
s
1.一个物体以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．轨道半径越大线速度越大
B．轨道半径越大线速度越小
C．轨道半径越大周期越大
D．轨道半径越大周期越小
A [由于物体的角速度ω一定，根据v＝ω·r可知，轨道半径越大线速度越大，A对，B错；由于T＝，故物体运动周期与轨道半径大小无关，C、D错．]
几种常见的传动装置对比
[观察探究]
如图为两种传动装置的模型图．
(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系．
(2)乙图为同轴传动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系．
提示：(1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又v＝rω，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小．
(2)同轴传动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝rω，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大．
[探究归纳]
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2)
特点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝＝周期与半径成正比：＝
【例2】 如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
[解析] A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1
①
由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
②
B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1
③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2
上例中，若C轮的转速为n
r/s，其他条件不变，则A轮边缘的线速度和角速度各为多大？
提示：由ω＝2πn，则vb＝ωrB
va＝vb＝2πn·rB
ωa＝＝＝πn.
传动装置的特点
在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量．
(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同．
(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关．
2．如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成．车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动．已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )
A．ω
B.ω
C.ω
D．9ω
D [手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D正确．]
匀速圆周运动的多解问题
[要点归纳]
匀速圆周运动的周期性和多解性：
因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)．
【例3】 如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3，…)
B [依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2,3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0,1,2,3，…)，A、D错误．]
匀速圆周运动多解问题
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键．
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解．分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定．
3．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω.
[解析] 小球做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，则运动时间t＝.又因为水平位移为R
所以小球的初速度v＝＝R·
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3…)，其中n为圆盘转动的圈数，
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3…)．
[答案] R· 2nπ(n＝1,2,3…)
课
堂
小
结
知
识
脉
络
1.圆周运动是变速运动，匀速圆周运动是线速度大小处处相等的圆周运动．2．质点通过的圆弧长度与所用时间的比值为线速度大小；半径转过的角度Δθ与所用时间的比值称为角速度，角速度恒定的圆周运动是匀速圆周运动．
3．做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫周期，物体单位时间内转过的圈数叫转速．4．线速度、角速度、周期的关系为：v＝ωr＝，T＝.
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．根据T＝，线速度越大，则周期越小
B．根据T＝，角速度越大，则周期越小
C．角速度越大，速度的方向变化越快
D．线速度越大，速度的方向变化越快
BC [根据T＝，当轨道半径一定时，才有线速度越大，周期越小，选项A错误；角速度越大，周期越小，选项B正确；单位时间内质点与圆心的连线(圆半径)转过的角度越大，速度的方向变化越快，选项C正确，D错误．]
2．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是
( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
AD [因为＝＝，且＝3，因此＝×＝，选项A正确，选项B错误；匀速圆周运动的周期T＝，则＝＝，选项C错误，选项D正确．]
3．如图所示，两个轮子的半径均为R，两轮的转轴O1、O2在同一水平面上，相互平行，相距为d，两轮均以角速度ω逆时针方向匀速转动．将一长木板置于两轮上，当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动．若木板的长度L>2d，则木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方所需的时间是( )
A.
B.
C.
D.
B [木板与两轮间无相对滑动时，木板运动的速度与轮边缘的线速度相同，由题意知木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方的过程中的位移大小为d，则有d＝ωRt，得t＝，B正确．]
4.如图是自行车的传动部分，大齿轮通过链条带动小齿轮(固定在后轮轴上)转动，c、b、a分别是大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的三点，下列说法正确的是( )
A．c、b两点的角速度相等
B．a、b两点的线速度大小相等
C．a点角速度比c点角速度小
D．a点线速度比c点线速度大
D [同线传动线速度相等，同轴传动角速度相等．由图可知b、c两点线速度相等，即vb＝vc，由于c的半径大于b的半径，根据v＝ωr可知，ωb＞ωc，故A错误；后轮边缘点a与小齿轮边缘点b为同轴，所以角速度相等即ωa＝ωb，因为a的半径大于b的半径，由v＝ωr可知，va＞vb，故B错误；由以上可知ωa＝ωb＞ωc，va＞vb＝vc，故C错误，D正确．]
2课时分层作业(六)
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格考达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝来计算
B [向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，选项C错误；公式a＝适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错误．]
2．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1>a2，下列判断正确的是( )
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲的角速度比乙的角速度小
C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快
D [由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错；向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D对．]
3．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30
r/min，B的转速为15
r/min.则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1
B．2∶1
C．4∶1
D．8∶1
D [由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωRA∶ωRB＝8∶1，D正确．]
4．(多选)一个小球以大小为an＝4
m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r＝1
m，则下列说法正确的是( )
A．小球运动的角速度为2
rad/s
B．小球做圆周运动的周期为π
s
C．小球在t＝
s内通过的位移大小为
m
D．小球在π
s内通过的路程为零
AB [由a＝ω2r得角速度ω＝＝2
rad/s，A对；周期T＝＝π
s，B对；小球在t＝
s内通过圆周，位移大小为r＝
m，C错；小球在π
s内通过的路程为一个圆周的长度2πr＝2π
m，D错．]
5．如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为R.将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小球向心加速度的大小为( )
A.
B.
C.
D.
A [小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动轨迹的半径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速度的大小为，加速度方向竖直向上．选项A正确．]
6．如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )
A．anC＝anD＝2anE
B．anC＝2anD＝2anE
C．anC＝＝2anE
D．anC＝＝anE
C [同轴转动，C、E两点的角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故选C.]
二、非选择题(14分)
7．在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动．若运动员的转速为30
r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8
m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小．
[解析] 男女运动员的转速、角速度是相同的，
由ω＝2πn得ω＝2×3.14×30/60
rad/s＝3.14
rad/s
由v＝ωr得r＝＝
m＝1.53
m
由a＝ω2r得a＝3.142×1.53
m/s2＝15.1
m/s2.
[答案] 3.14
rad/s 1.53
m 15.1
m/s2
[等级考提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球．当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R
B．ω2r
C．ω2Lsin
θ
D．ω2(r＋Lsin
θ)
D [小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋Lsin
θ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋Lsin
θ)，选项D正确．]
2.一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗光滑钉子．如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则
( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
AC [由于悬线与钉子接触时，小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由an＝知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C正确，D错误．]
3．(多选)如图所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下述说法中正确的是( )
A．A、B两轮转动的方向相同
B．A与B转动方向相反
C．A、B转动的角速度之比为1∶3
D．A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1
BC [A、B两轮属齿轮传动，A、B两轮的转动方向相反，A错误，B正确．A、B两轮边缘的线速度大小相等，由ω＝知，＝＝，C正确．根据a＝得，＝＝，D错误．]
4．(多选)如图所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是( )
A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同
C．线速度vP＞vQ＞vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
BC [R、Q、P三点的轨道圆心都在轴AB上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴AB，由an＝rω2可知：aP＞aQ＞aR，又由v＝ωr可知vP＞vQ＞vR，选项A错误，B、C正确；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，选项D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5.(12分)如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12
m/s2，那么小轮边缘上的B点向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度是多大？
[解析] 因为vB＝vA，由a＝，得＝＝2
所以aB＝0.24
m/s2
因为ωA＝ωC，由a＝ω2r，得＝＝
所以aC＝0.04
m/s2.
[答案] 0.24
m/s2 0.04
m/s2
6．(14分)如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小．(重力加速度为g)
[解析] 设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，满足R＝gt2得t＝
这段时间内甲运动了T，即
T＝
①
又由于an＝ω2R＝R
②
由①②得，an＝π2g.
[答案] π2g
2(共55张PPT)
第六章 圆周运动
1．圆周运动
自
主
探
新
知
预
习
变速
圆周或一段圆弧
切线
运动快慢
转动的快慢
rad/s
圈数
一周
不变
不断变化
变速
不变
不变
×
√
×
×
√
×
合
作
攻
重
难
探
究
描述圆周运动的物理量及其关系
几种常见的传动装置对比
匀速圆周运动的多解问题
当
堂
固
双
基
达
标
课
时
分
层
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业
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答案
解析答案
考点1
考点2
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谢谢欣赏(共72张PPT)
第六章 圆周运动
4．生活中的圆周运动
自
主
探
新
知
预
习
向心
圆周运动
支持力FN
弹力
重力G
FN－mg
mg－FN
越大
越小
压力为零
完全失重
向心力
完全失重
匀速圆周运动
远离圆心
×
×
√
√
×
合
作
攻
重
难
探
究
火车转弯问题
汽车过桥问题
离心运动问题
当
堂
固
双
基
达
标
课
时
分
层
作
业
点击右图进入…
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答案
解析答案
考点1
AF
Ing
考点2
考点3
F
F
Ing
W
谢谢次赏
谢谢欣赏3.向心加速度
【学习素养·明目标】 物理观念：1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题．
科学思维：1.通过生活实例，总结向心加速度的方向，培养逻辑思维能力.2.理解向心加速度的意义，进一步理解加速度是描述速度变化快慢的物理量．
一、匀速圆周运动的加速度方向
1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫作向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响．
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度公式
(1)基本公式an＝＝ω2r.
(2)拓展公式an＝·r＝ωv.
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)匀速圆周运动的加速度始终不变．
(×)
(2)匀速圆周运动是匀变速运动．
(×)
(3)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变．
(√)
(4)根据an＝知加速度an与半径r成反比．
(×)
(5)根据an＝ω2r知加速度an与半径r成正比．
(×)
2．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A [向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误．]
3．关于物体随地球自转的加速度大小，下列说法中正确的是( )
A．在赤道上最大
B．在两极上最大
C．地球上处处相同
D．随纬度的增加而增大
A [物体随地球自转角速度相同，但自转的圆心在地轴上，自转的半径由赤道向两极逐渐减小，赤道处最大，由公式a＝ω2r知：自转的加速度由赤道向两极逐渐减小，因此，选项A正确，选项B、C、D错误．]
向心加速度的理解
[观察探究]
如图所示为游乐设施空中飞车的示意图，当飞车做匀速圆周运动时，物体受几个力？合力的方向如何？合力产生的加速度就是向心加速度吗？加速度方向一定指向圆心吗？
提示：在匀速圆周运动中，物体受两个力，重力和绳子的拉力，合力指向做圆周运动的圆心，产生的加速度就是向心加速度，加速度方向一定指向圆心．
[探究归纳]
1．向心加速度的物理意义
描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．
2．方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．
3．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．
【例1】 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
C [匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所以D项错误．]
向心加速度的特点
(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢．
(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向不断改变．
1．下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是( )
A．匀速运动
B．匀加速运动
C．加速度不变的曲线运动
D．变加速曲线运动
D [匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变量，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错，D对．]
2.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D [由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]
向心加速度的公式及应用
[观察探究]
如图所示，两个啮合的齿轮，其中A点为小齿轮边缘上的点，B点为大齿轮边缘上的点，C点为大齿轮中间的点．
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？
(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
提示：(1)B、C两个点的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度与半径成正比．
(2)A、B两个点的线速度相同，由an＝知向心加速度与半径成反比．
[探究归纳]
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
(4)an与r的关系图象：如图所示，由an?r图象可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．
3．向心加速度的注意要点
(1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢．
(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算．包括非匀速圆周运动．但an与v具有瞬时对应性．
【例2】 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘上的P点的向心加速度是12
m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
思路点拨：①P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度．
②P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝计算向心加速度．
[解析] 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，
即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r，得＝
故aS＝aP＝×12
m/s2＝4
m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝得＝
故aQ＝aP＝2×12
m/s2＝24
m/s2.
[答案] 4
m/s2 24
m/s2
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同．
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比．
3．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
D [由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vc,2))),2r)＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确；＝＝，B错误．]
4．滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0
m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10
m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)．
[解析] 运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝＝
m/s2＝50
m/s2，方向在该位置指向圆心即竖直向上．运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.
[答案] 50
m/s2，方向竖直向上 0
课
堂
小
结
知
识
脉
络
1.圆周运动是变速运动，故圆周运动一定有加速度，任何做匀速圆周运动的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度．2．向心加速度的大小为an＝＝rω2，向心加速度的方向始终沿半径指向圆心，与线速度方向垂直．3．向心加速度是由物体受到指向圆心的力产生的，反映了速度方向变化的快慢.
1．关于圆周运动的概念，以下说法中正确的是( )
A．匀速圆周运动是速度恒定的运动
B．做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大，物体的速度增加得越快
C．做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心
D．物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度与角速度成正比
D [匀速圆周运动的速度方向是轨迹切线方向，时刻改变，故A错误．做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，方向改变，向心加速度越大，速度方向改变的越快，故B错误．只有匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，变速圆周运动的加速度不指向圆心，故C错误．物体做半径一定的匀速圆周运动时，根据v＝rω，其线速度与角速度成正比，故D正确．]
2．如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点．下列说法中正确的是( )
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点具有相同的向心加速度
D．A、B两点的向心加速度方向都指向球心
A [A、B都随球体一起绕轴O1O2旋转，转一周所用时间相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，A正确；A做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，设球半径为R，故A的轨道半径rA＝Rsin
60°，B的轨道半径rB＝Rsin
30°，所以两者的线速度vA＝rAω＝Rω，vB＝rBω＝Rω，显然，vA>vB，B错误；两者的向心加速度aA＝rAω2＝Rω2，aB＝rBω2＝Rω2，显然，两者的向心加速度也不相等，C错误；又两者的向心加速度指向各自的圆心，并不指向球心，所以D错误．]
3．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
A [因为相同时间内他们通过的路程之比是4∶3，根据v＝，则它们的线速度之比为4∶3，故A正确；运动方向改变的角度之比为3∶2，根据ω＝，则角速度之比为3∶2，故B错误；根据v＝ωr可得圆周运动的半径之比为＝×＝，故C错误；根据a＝vω得，向心加速度之比为＝＝×＝，故D错误．故选A.]
4．(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑．向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
BD [由于皮带不打滑，v1＝v2，a＝，故＝＝，A错，B对；由于右边两轮共轴转动，ω2＝ω3，a＝rω2，＝＝，C错，D对．]
2(共52张PPT)
第六章 圆周运动
3．向心加速度
自
主
探
新
知
预
习
圆心
垂直
方向
大小
ωv
ω2r
×
×
√
×
×
合
作
攻
重
难
探
究
向心加速度的理解
向心加速度的公式及应用
当
堂
固
双
基
达
标
课
时
分
层
作
业
点击右图进入…
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答案
解析答案
考点1
考点2
定
定
W
谢谢次赏
谢谢欣赏[体系构建]
[核心速填]
1．圆周运动
(1)几个物理量的关系
①v＝＝，ω＝＝，v＝ω·r.
②T＝＝＝.
(2)向心加速度：an＝＝ω2r.
(3)向心力：Fn＝m＝mω2r＝mr＝ma.
2．竖直面内圆周运动的轻绳模型
(1)在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.
(2)当v<时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
3．竖直面内圆周运动的轻杆模型
(1)该类模型中小球在最高点的临界速度为v＝0.此时小球受向上的支持力FN＝mg.
(2)0(3)v＝时，小球只受重力．
(4)v>时，小球受向下的拉力，并且随速度的增大而增大．
圆周运动的动力学问题
1.分析物体的运动情况，明确圆周轨道在怎样的一个平面内，确定圆心在何处，半径是多大．
2．分析物体的受力情况，弄清向心力的来源，跟运用牛顿第二定律解直线运动问题一样，解圆周运动问题，也要先选择研究对象，然后进行受力分析，画出受力示意图．
3．由牛顿第二定律F＝ma列方程求解相应问题，其中F是指向圆心方向的合外力(向心力)，a是向心加速度，即或ω2r或用周期T来表示的形式．
【例1】 如图所示，两根长度相同的轻绳(图中未画出)，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？
[解析] 对两小球受力分析如图所示，设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2
对球1有：F1－F2＝mlω2
由以上两式得：F1＝3mlω2
由＝.
[答案] 3∶2
1．(多选)A、B两质量相同的质点被用轻质细线悬挂在同一点O，在同一水平面上做匀速圆周运动，如图所示，则( )
A．A的角速度一定比B的角速度大
B．A的线速度一定比B的线速度大
C．A的加速度一定比B的加速度大
D．A所受细线的拉力一定比B所受的细线的拉力大
BCD [小球受力分析：
设细线与竖直夹角为α，则有mgtan
α＝mω2r，而r＝htan
α，所以g＝ω2h，由于h均相同，因此ω相同，故A不正确；由于角速度相同，A球的半径比B球的半径大，则由v＝ωr得A球的线速度比B球的线速度大，故B正确；由于角速度相同，A球的半径比B球的半径大，则由an＝ω2r得A球的加速度比B球的加速度大，故C正确；由＝得，相同的质量，同样的高度下，细线越长则细线的拉力越大，故D正确．]
圆周运动中的临界问题
1.当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫作临界状态．出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．
2．确定临界状态的常用方法
(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的．
(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题．
3．临界问题经常出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是最典型的变速圆周运动．在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，但物体经最高点或最低点时，所受的重力与其他力的合力指向圆心，提供向心力．
(1)用绳子系物体或物体沿轨道内侧运动(如图所示)
此种情况下，如果物体恰能通过最高点，即绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝，得临界速度v0＝.当物体的速度大于v0时，才能经过最高点．
(2)用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动
此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动．
【例2】 如图所示，两绳系一质量为m＝0.1
kg的小球，上面绳长L＝2
m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？
[解析] 两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．
(1)BC恰好拉直，但T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有
Fx＝T1sin
30°＝mωLsin
30°
Fy＝T1cos
30°－mg＝0
联立解得ω1≈2.40
rad/s.
(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx＝T2sin
45°＝mωLsin
30°
Fy＝T2cos
45°－mg＝0
联立解得ω2≈3.16
rad/s
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2．40
rad/s≤ω≤3.16
rad/s.
[答案] 2.40
rad/s≤ω≤3.16
rad/s
[一语通关]
常见的三种临界问题
(1)与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)．
(2)与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)．
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)．
2．如图所示，在水平圆盘上放有质量相同的滑块1和滑块2，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．两滑块与圆盘的动摩擦因数相同，均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力．两滑块与轴O共线，且滑块1到转轴的距离为r，滑块2到转轴的距离为2r，现将两个滑块用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题：
(1)求轻绳刚有拉力时圆盘的角速度；
(2)求当圆盘角速度为ω＝时，滑块1受到的摩擦力．
[解析] (1)轻绳刚有拉力时，滑块2与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力，则由牛顿第二定律：μmg＝mω·2r
解得ω0＝.
(2)当圆盘角速度为ω＝＞，此时滑块2与转盘间的摩擦力是最大静摩擦力，则
对滑块2：T＋μmg＝mω2·2r
对滑块1：T＋f1＝mω2·r
解得f1＝0.
[答案] (1) (2)摩擦力为0
2课时分层作业(七)
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格考达标练]
选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分)
1．通过阅读课本，几个同学对生活中的圆周运动的认识进行交流．甲说：“
洗衣机甩干衣服的道理就是利用了水在高速旋转时会做离心运动．”
乙说：“
火车转弯时，若行驶速度超过规定速度，则内轨与车轮会发生挤压．”
丙说：“
汽车过凸形桥时要减速行驶，而过凹形桥时可以较大速度行驶．”
丁说：“
我在游乐园里玩的吊椅转得越快，就会离转轴越远，这也是利用了离心现象．”
你认为正确的是( )
A．甲和乙
B．乙和丙
C．丙和丁
D．甲和丁
D [甲和丁所述的情况都是利用了离心现象，D正确；乙所述的情况，外轨会受到挤压，汽车无论是过凸形桥还是凹形桥都要减速行驶，A、B、C选项均错．]
2．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是半径为R的圆周运动．设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A.
B.
C.
D.
B [设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan
θ＝m，又由数学知识可知tan
θ＝，联立解得v＝，选项B正确．]
3．(多选)如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是( )
A．竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
BCD [一般情况下汽车受重力和支持力作用，且mg－FN＝m，故支持力FN＝mg－m，即支持力小于重力，A错误，B、D正确；当汽车的速度v＝时，汽车所受支持力为零，C正确．]
4.飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，此时座位对飞行员的支持力大于所受的重力，这种现象叫过荷．过荷过重会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，暂时失明，甚至昏厥．受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的支持力影响．取g＝10
m/s2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲速度为100
m/s时，圆弧轨道的最小半径为( )
A．100
m
B．111
m
C．125
m
D．250
m
C [由题意知，8mg＝m
，代入数值得R＝125
m．]
5．如图所示，当外界提供的向心力F＝mrω2时，小球恰好在Ⅲ轨道上做匀速圆周运动．下列关于小球运动的说法中正确的是( )
A．当外界提供的向心力突然消失时，小球将沿Ⅰ轨道运动，这种运动不叫离心运动
B．当外界提供的向心力F>mrω2时，小球可能沿Ⅱ轨道做离心运动
C．当外界提供的向心力FD．只要外界提供的向心力F不等于mrω2时，小球就将沿Ⅱ轨道做离心运动
C [当外界提供的向心力突然消失时，小球将沿Ⅰ轨道运动做离心运动，A错误；当外界提供的向心力F6．如图所示，汽车在炎热的夏天沿不平的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(假定汽车运动速率va＝vc，vb＝vd)( )
A．a点
B．b点
C．c点
D．d点
D [因为匀速圆周运动的向心力和向心加速度公式也适用于变速圆周运动，故在a、c两点，F压＝G－m＜G，不容易发生爆胎；在b、d两点，F压＝G＋m＞G，由题图知b点所在曲线半径大，即rb＞rd，又vb＝vd，故F压b＜F压d，所以在d点车胎受到的压力最大，所以d点最容易发生爆胎．]
7．(多选)在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是( )
A．当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向
B．当火车的速率v>v0时，火车对外轨有向外的侧向压力
C．当火车的速率v>v0时，火车对内轨有向内的挤压力
D．当火车的速率vABD [在转弯处，火车以规定速度行驶时，在水平面内做圆周运动，重力与支持力的合力充当向心力，沿水平面指向圆心，选项A正确．当火车的速率v>v0时，火车重力与支持力的合力不足以提供向心力，火车对外轨有向外的侧向压力；当火车的速率v8．如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g.现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则( )
A．小球一定受到两个力的作用
B．小球可能受到三个力的作用
C．当v0<时，小球对底面的压力为零
D．当v0＝时，小球对侧壁的压力为零
B [设小球刚好对底面无压力时的速度为v，此时小球的向心力F＝mgtan
θ＝m，所以v＝.当小球转动速度v0<时，它受重力、底面的支持力和侧壁的弹力三个力作用；当小球转动速度v0＝时，它只受重力和侧壁的弹力作用．因此选项B正确，A、C、D错误．]
[等级考提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1.如图所示为洗衣机脱水筒．在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上有一件湿衣服与圆筒一起运动，衣服相对于圆筒壁静止，则( )
A．衣服受重力、弹力、压力、摩擦力、向心力五个力作用
B．洗衣机脱水筒转动得越快，衣服与筒壁间的弹力就越小
C．衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需要的向心力时，水滴做离心运动
D．衣服上的水滴与衣服间的附着力大于所需的向心力时，水滴做离心运动
C [向心力是根据力的作用效果命名的，衣服所受的合外力提供向心力，且脱水筒转动越快，所需的向心力越大，衣服与筒壁间的弹力就越大，所以A、B都不正确；衣服上的水滴与衣服间的附着力提供向心力，当附着力不足以提供所需的向心力时，水滴做离心运动，故C正确，D错误．]
2．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
D [设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0.说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确．]
3．(多选)如图所示，在高速路口的转弯处，路面外高内低．已知内外路面与水平面的夹角为θ，弯道处圆弧半径为R，重力加速度为g，当汽车的车速为v0时，恰由支持力与重力的合力提供了汽车做圆周运动的向心力，则( )
A．v0＝
B．v0＝
C．当该路面结冰时，v0要减小
D．汽车在该路面行驶的速度v＞v0时，路面会对车轮产生沿斜面向下的摩擦力
AD [路面的斜角为θ，以汽车为研究对象，作出汽车的受力图，
根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：v0＝，A正确，B错误；当路面结冰时与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则v0的值不变，C错误；车速若高于v0，所需的向心力增大，此时摩擦力指向内侧，增大提供的向心力，车辆不会向外侧滑动，D正确．]
4．(多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
ABD [火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：r＝，故A正确；根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不能够提供足够的向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
5．(14分)质量m＝1
000
kg的汽车通过圆弧形拱形桥时的速率恒定，拱形桥的半径R＝10
m．(重力加速度g取10
m/s2)试求：
(1)汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时汽车的速度大小；
(2)汽车在最高点对拱形桥的压力为零时汽车的速度大小．
[解析] (1)汽车在最高点的受力如图所示：
有mg－FN＝m
当FN＝mg时，汽车速度
v＝＝
m/s＝5
m/s.
(2)汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，有mg＝m解得v＝＝
m/s＝10
m/s.
[答案] (1)5
m/s (2)10
m/s
6．(14分)利用如图所示的方法测定细线的抗拉强度．在长为L的细线下端悬挂一个质量不计的小盒，小盒的左侧开一孔，一个金属小球从斜轨道上释放后，水平进入小盒内，与小盒一起向右摆动．现逐渐增大金属小球在轨道上释放时的高度，直至摆动时细线恰好被拉断，并测得此时金属小球与盒一起做平抛运动的竖直位移h和水平位移x，若小球质量为m，试求：
(1)金属小球做平抛运动的初速度为多少？
(2)该细线的抗拉断张力为多大？
[解析] (1)细线被拉断后，由平抛知识得
h＝gt2，x＝v0t，
则小球做平抛运动的初速度v0＝x.
(2)拉断瞬间由牛顿第二定律可得
FT－mg＝，
则细线的抗拉断张力FT＝mg.
[答案] (1)x (2)mg
2(共72张PPT)
第六章 圆周运动
2．向心力
自
主
探
新
知
预
习
mω2r
圆心
圆心
时刻改变
变力
作用效果
方向
向心力
半径
圆弧
×
×
×
√
√
合
作
攻
重
难
探
究
对匀速圆周运动向心力的理解
实验：探究向心力大小的表达式
向心力公式的应用
变速圆周运动及一般曲线运动
当
堂
固
双
基
达
标
课
时
分
层
作
业
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答案
解析答案
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37
O′
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第六章 圆周运动
习题课2 竖直面内的圆周运动
合
作
攻
重
难
探
究
竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
当
堂
固
双
基
达
标
重
难
强
化
训
练
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考点2
GF
W
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谢谢欣赏2．向心力
【学习素养·明目标】 物理观念：1.了解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的.2.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.3.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果．
科学思维：1.会应用圆周运动的知识解决实际问题.2.理解匀速圆周运动和一般曲线运动的处理方法．
科学探究：会设计不同实验来探究向心力的大小，并体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用．
一、向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力．
2．公式：Fn＝或者Fn＝mω2r.
3．方向
向心力的方向始终指向圆心，由于方向时刻改变，所以向心力是变力．
4．效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力．
二、变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：
(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上．
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向．
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力．
(×)
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力．
(×)
(3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力．
(√)
(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力．
(√)
(5)圆周运动中，合外力等于向心力．
(×)
2．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力是物体所受的合外力
D．向心力的方向总是不变的
B [做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错误；向心力只改变线速度方向不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错误；向心力的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错误．]
3．如图所示，玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦)，这时球受到的力是( )
A．重力和向心力
B．重力和支持力
C．重力、支持力和向心力
D．重力
B [玻璃球沿碗内壁做匀速圆周运动的向心力由重力和支持力的合力提供，向心力不是物体受的力，故B正确．]
对匀速圆周运动向心力的理解
[观察探究]
如图所示，甲图中圆盘上物体随圆盘一起匀速转动；乙图中在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动；丙图中长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球，若给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆．
甲 乙 丙
(1)它们运动所需要的向心力分别由什么力提供？
(2)它们运动所需要的向心力与物体受到的合力有什么关系？
提示：(1)甲图中圆盘上物体所需要的向心力由圆盘对它的指向圆心的静摩擦力提供；乙图中光滑漏斗内的小球做圆周运动的向心力由它所受的弹力和重力的合力提供；丙图中小球做圆锥摆运动的向心力由细绳的拉力和重力的合力提供．
(2)它们运动所需要的向心力与物体受到的合力相等．
[探究归纳]
向心力的理解
(1)向心力：使物体做圆周运动的指向圆心的合力．
(2)向心力的方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小．
(4)向心力的来源
向心力是根据力的作用效果命名的．它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供．
【例1】 下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B．向心力和重力、弹力一样，是性质力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
C [向心力是一个效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力，或是某个力的分力，选项A、B错误；匀速圆周运动所受合外力指向圆心，完全提供向心力，非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力，选项C正确，D错误．]
向心力与合外力的关系
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
1．(多选)如图所示．用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量
D．向心力的大小等于Mgtan
θ
BCD [对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A错误，B正确．再根据力的合成求出合力大小，故C、D正确．]
实验：探究向心力大小的表达式
[要点归纳]
1．实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)
2．实验方法：控制变量法
3．实验过程
(1)保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系．
(2)保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系．
(3)保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力Fn与质量m的关系．
4．实验结论
两球相同的物理量
不同的物理量
实验结论
1
m、ω
r
r越大，Fn越大，Fn∝r
2
m、r
ω
ω越大，Fn越大，Fn∝ω2
3
r、ω
m
m越大，Fn越大，Fn∝m
精确的实验表明向心力的大小可以表示为
Fn＝m＝mω2r＝mr.
【例2】 用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．
(1)本实验采用的科学方法是
．
A．控制变量法
B．累积法
C．微元法
D．放大法
(2)图示情景正在探究的是
．
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结果是
．
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比
[解析] (1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确．
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以选项D正确．
(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项C正确．
[答案] (1)A (2)D (3)C
2．某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素．实验时用手拨动旋臂产生圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力．
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为
．
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知曲线①对应的砝码质量
(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量．
甲
乙
[解析] (1)物体转动的线速度v＝
由ω＝
计算得出：ω＝.
(2)图中抛物线说明向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F＝ma可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量．然后再结合图象中的数据判断是否满足在半径相同的情况下，F∝mω2.
[答案] (1) (2)小于
向心力公式的应用
[要点归纳]
1．向心力大小：Fn＝m＝mω2r＝mr＝mωv，在匀速圆周运动中，向心力大小不变．
2．几种常见的实例如下
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，Fn＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，Fn＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，Fn＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，Fn＝F合
3.分析匀速圆周运动向心力的步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，沿切线方向F合2＝0.
(4)解方程求出结果．
【例3】 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10
m，质点的质量m＝60
kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0
m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10
m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小．
思路点拨：①质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零．
②质点到竖直轴OO′间的距离为小球圆周运动的半径．
[解析] (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcos
37°－mg＝0
解得F＝＝750
N.
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan
37°＝mω2R
R＝d＋lsin
37°
联立解得ω＝＝
rad/s.
[答案] (1)750
N (2)
rad/s
上例中，若转盘角速度变大，则绳子拉力如何变化？绳子与竖直方向的夹角如何变化？
提示：角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大．
匀速圆周运动解题策略
在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节．
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的．
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解．
3．(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2
kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0
N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0
kg的物体，当转台以角速度ω＝5
rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10
m/s2，M、m均视为质点)( )
A．0.04
m B．0.08
m C．0.16
m D．0.32
m
BCD [当M有远离轴心运动的趋势时，
有mg＋Fmax＝Mω2rmax，
解得rmax＝＝0.32
m，
当M有靠近轴心运动的趋势时，
有mg－Fmax＝Mω2rmin，
解得rmin＝＝0.08
m.
故选项B、C、D正确．]
变速圆周运动及一般曲线运动
[观察探究]
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景．
(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝m＝mω2r还适用吗？
提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动．
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点．公式Fn＝m＝mω2r仍然适用．
[探究归纳]
匀速圆周运动和变速圆周运动的对比
匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度特点
线速度的方向不断改变、大小不变
线速度的大小、方向都不断改变
受力特点
合力方向一定指向圆心，充当向心力
合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
公式
Fn＝m＝mω2r都适用
【例4】 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
D [物块转动时，其向心力由静摩擦力提供，当它匀速转动时其方向指向圆心，当它加速运动时其方向斜向前方，当它减速转动时，其方向斜向后方．故选项D正确．]
1物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是沿半径指向圆心的合力提供向心力.
2物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理.
4．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
CD [如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确．]
课
堂
小
结
知
识
脉
络
1.做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这个合力叫向心力．2．利用向心力演示仪，通过控制变量法探究向心力大小的表达式．3．向心力的大小为Fn＝m＝mω2r，向心力的方向始终指向圆心，与线速度方向垂直．4．向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个分力，向心力是根据效果命名的力．5．可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆周运动处理.
1．关于向心力的说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动还受到一个向心力
B．向心力可以是任何性质的力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心
B [力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故A错误；向心力是效果力，可以是任何一种性质的力，故B正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C错误；只有匀速圆周运动中，合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力，故D错误．]
2．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [在光滑水平面上的物体的向心力由绳的拉力提供，由向心力公式F＝mω2l，得选项A、C正确．]
3.如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对．]
4．如图所示，质量为1
kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2
m/s，已知球心到悬点的距离为1
m，重力加速度g取10
m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力大小．
[解析] 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝m
所以FT＝mg＋m
＝N＝14
N
由牛顿第三定律得，小球在最低点时对绳的拉力大小为14
N.
[答案] 14
N
24．生活中的圆周运动
【学习素养·明目标】 物理观念：1.会分析具体圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.2.了解航天器中的失重现象及原因.3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害．
科学思维：1.培养独立观察、分析问题、解决问题的能力.2.通过向心力在具体问题中的应用，培养运用物理知识解决实际问题的能力．
一、铁路的弯道
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
2．向心力的来源
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损．
(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．
二、拱形桥
凸形桥和凹形桥的比较
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
受力分析
向心力
Fn＝mg－FN＝m
Fn＝FN－mg＝m
对桥的压力
FN′＝mg－m
FN′＝mg＋m
结论
汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小
汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大
三、航天器中的失重现象和离心运动
1．航天器在近地轨道的运动
(1)对航天器，在近地轨道可认为地球的万有引力等于其重力，重力充当向心力，满足的关系为Mg＝.
(2)对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg－FN＝，由以上两式可得FN＝0，航天员处于完全失重状态，对座椅压力为零．
(3)航天器内的任何物体之间均没有压力．
2．对失重现象的认识
航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力．正因为受到地球引力的作用，才使航天器连同其中的航天员做匀速圆周运动．
3．离心运动
(1)定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．
(2)原因：向心力突然消失或外力不足以提供所需向心力．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小．(×)
(2)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的．
(×)
(3)汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力．
(√)
(4)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员及所有物体均处于完全失重状态．
(√)
(5)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心．
(×)
2．关于离心运动，下列说法不正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化可能将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做近心运动
C．物体不受外力，可能做匀速圆周运动
D．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的力消失或变小将做离心运动
C [当合力大于需要的向心力时，物体要做向心运动，合力小于所需要的向心力时，物体要做离心运动，所以向心力的数值发生变化也可能做向心运动或离心运动，故A、B正确；物体不受外力时，将处于平衡状态，即匀速或静止状态，不可能做匀速圆周运动，故C错误；做匀速圆周运动的物体，在外界提供的力消失或变小时物体就要远离圆心，此时物体做的就是离心运动，故D正确．]
3.如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
A [汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝m，由于r甲＞r乙，则f甲＜f乙，选项A正确．]
火车转弯问题
[观察探究]
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：
重力G与支持力FN的合力F是使火车转弯的向心力
(1)火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？
(2)火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？
(3)火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
提示：(1)火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
(2)火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力．
(3)火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力．
[探究归纳]
1．转弯轨道特点
(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内．
(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供做圆周运动的向心力．
2．转弯轨道受力与火车速度的关系
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan
θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan
θ≈)，v0为转弯处的规定速度．
此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
(2)若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力．
(3)若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力．
【例1】 有一列重为100
t的火车，以72
km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400
m．(g取10
m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
思路点拨：①(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力．
②(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力．
[解析] (1)v＝72
km/h＝20
m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝m＝
N＝1×105
N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105
N.
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan
θ＝m
由此可得tan
θ＝＝0.1.
[答案] (1)1×105
N (2)0.1
上例中，要提高火车的速度为108
km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？
提示：速率变为原来的倍，则由mgtan
θ＝m，可知：
若只改变轨道半径，则R′变为900
m，
若只改变路基倾角，则tan
θ′＝0.225.
火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．
1．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
C [由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan
θ，此时火车受到的重力和铁路轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示，FNcos
θ＝mg，则FN＝，故C正确，A、B、D错误．]
汽车过桥问题
[观察探究]
如图甲、乙为汽车在拱形桥、凹形桥上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动．
甲 乙
(1)如图甲，汽车行驶到拱形桥的桥顶时：
①什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
②汽车对桥面的压力与车速有什么关系？汽车安全通过拱桥顶(不脱离桥面)行驶的最大速度是多大？
(2)当汽车行驶到凹形桥的最底端时，什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
提示：(1)①当汽车行驶到拱形桥的桥顶时，重力与支持力的合力提供向心力，即mg－FN＝m；此时车对桥面的压力FN′＝mg－m，即车对桥面的压力小于车的重力．
②由F′N＝mg－m可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的压力减小，当汽车对桥面的压力为零时，汽车的重力提供向心力，此时汽车的速度达到最大，由mg＝m，得vm＝，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面．
(2)当汽车行驶到凹形桥的最底端时，重力与支持力的合力提供向心力，即FN－mg＝m；此时车对桥面的压力F′N＝mg＋m，即车对桥面的压力大于车的重力．
[探究归纳]
1．汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图甲所示．
由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m.
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．
(1)当0≤v<时，0(2)当v＝时，FN＝0.
(3)当v>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
2．汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋m，大于汽车的重力．
【例2】 如图所示，质量m＝2.0×104
kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60
m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105
N(g取10
m/s2)，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
[解析] (1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力FN1＝3.0×105
N，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝m
即v＝＝
m/s
＝10
m/s＜＝10
m/s
故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10
m/s.
(2)汽车在凸形桥面的最高点时，由牛顿第二定律得
mg－FN2＝m
则FN2＝m＝2.0×104×
N＝1.0×105
N
由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为1.0×105
N.
[答案] (1)10
m/s (2)1.0×105
N
2．如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速度在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是( )
A．L1＞L2
B．L1＝L2
C．L1＜L2
D．前三种情况均有可能
A [当汽车在水平面上做匀速直线运动时，设弹簧原长为L0，劲度系数为k，根据平衡得：mg＝k(L1－L0)，解得L1＝＋L0①；当汽车以同一速度匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，由牛顿第二定律得mg－k(L2－L0)＝m，解得L2＝＋L0－②，①②两式比较可得L1＞L2，A正确．]
离心运动问题
[观察探究]
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)．
甲 乙
(1)链球飞出后受几个力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
提示：(1)重力和空气阻力．
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出．
(3)物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力．
[探究归纳]
1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．
2．离心运动的条件
做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．
3．离心运动、近心运动的判断
如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力的大小关系决定．
(1)若Fn＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．
(2)若Fn＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．
(3)若Fn＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动．
【例3】 如图所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
B [摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．]
离心现象的三点注意
(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式．
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心．
(3)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象．
3．如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
A [若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误．]
课
堂
小
结
知
识
脉
络
1.火车转弯处外轨略高于内轨，使得火车所受支持力和重力的合力提供向心力．当火车以合适的速率通过弯道时，可以避免火车轮缘对内、外轨的挤压磨损．2．汽车过拱形桥时，在凸形桥的桥顶上，汽车对桥的压力小于汽车重力，汽车在桥顶的安全行驶速度小于；汽车在凹形桥的最低点处，汽车对桥的压力大于汽车的重力．3．绕地球做匀速圆周运动的航天器中，宇航员具有指向地心的向心加速度，处于完全失重状态．4．做圆周运动的物体，当合外力突然消失或不足以提供向心力时，物体将做离心运动；当合外力突然大于所需向心力时，物体将做近心运动.
1．关于离心运动，下列说法中正确的是( )
A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合外力的数值发生变化，就将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然消失或变小时将做离心运动
D [物体做什么运动取决于物体所受合外力与物体所需向心力的关系，只有当提供的向心力小于所需要的向心力时，物体才做离心运动，所以做离心运动的物体并没有受到所谓的离心力的作用，离心力没有施力物体，所以离心力不存在．由以上分析可知D正确．]
2．(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动．当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压．现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差
B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径
D．增大弯道半径
AC [当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtan
θ，而Fn＝m，故v＝.若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误．]
3．俗话说，养兵千日，用兵一时．近年来我国军队进行了多种形式的军事演习．如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是( )
A．A点，B点
B．B点，C点
C．B点，A点
D．D点，C点
C [战车在B点时，由FN－mg＝m知，FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大；在C和A点时，由mg－FN＝m知，FN＝mg－m，则FNRA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.]
4.城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
A [由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝m，解得FN＝mg－m＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－m只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－FN＝m，FN≥0解得v1≤，D错误．]
2(共29张PPT)
第六章 圆周运动
章末复习课
巩
固
知
识
整
层
合
ω·r
ω2r
重力
不能
脱离
0
mg
减小
重力
增大
提
升
能
力
强
层
化
圆周运动的动力学问题
圆周运动中的临界问题
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答案
解析答案
专题2
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