4.5.1 函数的零点与方程的解 随堂跟踪练习（含答案）

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4.5.1 函数的零点与方程的解（同步练习）
(30分钟　60分)
1．(5分)函数f(x)＝lg x＋1的零点是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.10
2．(5分)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.－2,0
C. D.0
3．(5分)已知函数f(x)＝2x＋x－5，则f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
4．(5分)(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点
C．f(x)在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(1,2)上一定有零点
5．(5分)函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无数个
6.(5分)若函数f(x)＝则f(1)＋f(－1)＝________；使得方程f(x)＝b有且仅有两解的实数b的取值范围为________．
7．(5分)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
8．(5分)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
9.(5分)若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．
10.(5分)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有3个不同的根，则m的取值范围是________．
11.(10分)已知函数f(x)＝.
(1)当a＝1时，判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)讨论f(x)的零点个数．
（解析版）
(30分钟　60分)
1．(5分)函数f(x)＝lg x＋1的零点是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.10
A　解析：由lg x＋1＝0，得lg x＝－1，所以x＝.
2．(5分)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.－2,0
C. D.0
D　解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．
综上所述，函数f(x)的零点为0.
3．(5分)已知函数f(x)＝2x＋x－5，则f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
C　解析：f(0)＝20－5＜0，f(1)＝21＋－5＜0，f(2)＝22＋－5＜0，f(3)＝8＋－5＞0，f(4)＞0，则有f(2)·f(3)＜0.故选C.
4．(5分)(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点
C．f(x)在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(1,2)上一定有零点
AC　解析：因为f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，
所以f(0)·f(1)＜0.
因为函数f(x)的图象在R上连续不断，
由零点存在定理，可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点．
又f(1)·f(2)＞0，因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点．
5．(5分)函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无数个
B　解析：作出y＝x3与y＝x的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B.
6.(5分)若函数f(x)＝则f(1)＋f(－1)＝________；使得方程f(x)＝b有且仅有两解的实数b的取值范围为________．
0　[0,1)　解析：由题意，函数f(x)＝则f(1)＋f(－1)＝＋＋1＝0，要使得方程f(x)＝b有且仅有两解，则只需使得y＝f(x)和y＝b的图象有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象，如图所示，
结合图象可知，要使得方程f(x)＝b有且仅有两解，只需0≤b＜1，
即实数b的取值范围是[0,1)．
7．(5分)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
B　解析：函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数?方程|log0.5x|＝＝x的根的个数?函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.
8．(5分)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
D　解析：当x≤0时，令f(x)＝0得x＝ln(－a)；
当x>0时，令f(x)＝0得x＝.
因为函数f(x)在R上有两个零点，所以ln(－a)≤0，所以0<－a≤1，得－1≤a<0.
9.(5分)若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．
{a|－12＜a＜0}　解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．
由图可知
即解得－12＜a＜0.
10.(5分)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有3个不同的根，则m的取值范围是________．
(3，＋∞)　解析：由题意方程f(x)－b＝0有三个不同的根，即直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点．
作出函数f(x)＝的图象，如图所示．
若存在实数b，使方程f(x)－b＝0有三个不同的根，则m>－m2＋4m，即m2－3m>0.
又因为m>0，
所以m>3，即m的取值范围为(3，＋∞)．
11.(10分)已知函数f(x)＝.
(1)当a＝1时，判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)讨论f(x)的零点个数．
解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝，该函数为奇函数．
证明如下：
依题意得函数f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝＝
＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝a－，
所以f(x)＝0?a＝.
因为函数y＝2x在R上单调递增且值域为(0，＋∞)，
所以y＝在R上单调递减且值域为(0,2)，
所以，当a≤0或a≥2时，函数f(x)无零点；
当0＜a＜2时，函数f(x)有唯一零点．
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