4.5.3 函数模型的应用 随堂跟踪练习（含答案）

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4.5.3 函数模型的应用（同步练习）
(50分钟　80分)
1．(5分)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
2．(5分)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2017年 B．2018年
C．2019年 D．2020年
3．(5分)随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，若该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(　　)
A．3 000×1.06×7元
B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元
D．3 000×1.068元
4.(5分)某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比前一天的指数增长0.2%，则100天内，这家公司的股票的指数随经过天数x变化的函数关系式为________．
5.(5分)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．
6．(5分)某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间(天) 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
7．(5分)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
(　　)
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A．y＝2x B．y＝log2x
C．y＝(x2－1) D．y＝2.61x
8．(5分)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100log2x＋100
9．(5分)某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成 4 096 个需经过(　　)
A．12小时　　　　　　　 B．4小时
C．3小时 D．2小时
10．(5分)今有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．u＝log2t
B．u＝2t－2
C．u＝
D．u＝2t－2
11．(5分)(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(　　)
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋
12.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假
设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 3≈0.477，lg 5≈0.699)
13.(5分)里氏震级M的计算公式：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
14.(15分)某公司为了实现2019年销售利润1 000万元的目标，
准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元．现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝ln x＋1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．
(参考数据：1.003538≈5，e≈2.718 28…，e8≈2 981)
（解析版）
(50分钟　80分)
1．(5分)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
D　解析：令a＝aent，即＝ent.由已知得＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.
2．(5分)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2017年 B．2018年
C．2019年 D．2020年
D　解析：设从2016年起，过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥≈＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2 016＝2 020.故选D.
3．(5分)随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，若该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(　　)
A．3 000×1.06×7元
B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元
D．3 000×1.068元
B　解析：设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故x＝7，代入得y＝3 000×1.067.故选B.
4.(5分)某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比前一天的指数增长0.2%，则100天内，这家公司的股票的指数随经过天数x变化的函数关系式为________．
y＝2×1.002x(x∈N*且x≤100)　解析：设这家公司的股票的指数随经过天数x增加到y天，由题意得y＝2(1＋0.2%)x(x∈N*且x≤100)．
5.(5分)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．
2ln 2　1 024　解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝ek，所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
6．(5分)某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间(天) 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
B　解析：逐个检验可得答案为B.
7．(5分)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
(　　)
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A．y＝2x B．y＝log2x
C．y＝(x2－1) D．y＝2.61x
B　解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近．
8．(5分)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100log2x＋100
C　解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．
9．(5分)某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成 4 096 个需经过(　　)
A．12小时　　　　　　　 B．4小时
C．3小时 D．2小时
C　解析：设这种细菌共分裂了x次，则有2x＝4 096，
所以2x＝212，所以x＝12.又因为每15分钟分裂一次，
所以共15×12＝180分钟，即3小时．
10．(5分)今有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．u＝log2t
B．u＝2t－2
C．u＝
D．u＝2t－2
C　解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
11．(5分)(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(　　)
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋
ABCD　解析：由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y1＝0.5x＋1，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C正确；易知当x＞2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝x＋，故D正确．
12.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假
设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 3≈0.477，lg 5≈0.699)
36.72　解析：当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72.
13.(5分)里氏震级M的计算公式：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
6　10 000　解析：由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，
所以此次地震的震级为6级．
设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，
则lg＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)＝9－5＝4.
所以＝104＝10 000，
所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
14.(15分)某公司为了实现2019年销售利润1 000万元的目标，
准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元．现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝ln x＋1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．
(参考数据：1.003538≈5，e≈2.718 28…，e8≈2 981)
解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10,1 000]时， ①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.
(1)对于y＝0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求；
(2)对于y＝1.003x，易知满足①，但当x>538时，不满足公司的要求；
(3)对于y＝ln x＋1，易知满足①.
当x∈[10，1 000]时，y≤ln 1 000＋1.
下面证明ln 1 000＋1<5.
因为ln 1 000＋1－5＝ln 1 000－4＝(ln 1 000－8)＝(ln 1 000－ln 2 981)<0，满足②.
再证明ln x＋1≤x·25%，即2ln x＋4－x≤0.
设F(x)＝2ln x＋4－x，则F′(x)＝－1＝<0，x∈[10,1 000]，
所以F(x)在[10,1 000]上为减函数，F(x)max＝F(10)＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3)<0，满足③.
综上，奖励模型y＝ln x＋1能完全符合公司的要求．
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