立体几何周练习题（教师2011.12.4
文档属性
| 名称 | 立体几何周练习题（教师2011.12.4 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 244.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-12-04 15:09:20 | ||
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文档简介
立体几何周练习题及答案（2011.12.4）
1．如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底
面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC
所成角的大小为（ B ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面
A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（ B ）
A、 B、 C、 D、
3．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是
30°和45°，若AB=3，BC= ，AC=5，则AC与a所成的角为（ C ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
4．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ C ）
A． B． C． D．
5 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________。(填序号) ②③
①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面.
6．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ 60°
7.如图，在四棱锥中，平面平面，，
是等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
解：（Ⅰ）在中，由于，，，
所以．故．
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，又平面，故平面平面．
（Ⅱ）过作交于，由于平面平面，所以平面．
因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形．
因此．在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，所以四边形的面积为．
故．
8.已知正方形 、分别是、的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为.
(1)证明平面；
(2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值.
解析: (1)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点，EB//FD，且EB=FD，
四边形EBFD为平行四边形. BF//ED.，平面.
(2)如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD ACD为正三角形，AC=AD.CG=GD.
G在CD的垂直平分线上， 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以.设原正方体的边长为2a，连结AF，在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF为直角三角形， .
在RtADE中， .，
9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：平面PAD；（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， 直线平面PCD？
解：（1）取CD中点G，连结EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG//AD，FG//PD，∴平面EFG//平面PAD，∴ EF//平面PAD．
（2）当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF平面PCD.
证明：∵G为CD中点，则EGCD，∵PA底面ABCD∴AD是PD在平面ABCD内的射影。 ∵CD平面ABCD，且CDAD，故CDPD ．又∵FG∥PD∴FGCD，故EGF为平面PCD 与平面ABCD所成二面角的平面角，即EGF=45，从而得ADP=45， AD=AP.由RtPAERtCBE，得PE=CE.又F是PC的中点，∴EFPC.
由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，∴CDEF，即EFCD，故EF平面PCD．
10. 如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面的距离.
解：(1)连结OC.
∵BO=DO，AB=AD， ∴AO⊥BD.
∵BO=DO，BC=CD， ∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=.
而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC.
∴AB平面BCD.
（Ⅱ）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC.
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中，是直角△AOC斜边AC上的中线，∴∴∴异面直线AB与CD所成角的大小为
（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h.
，∴·S△ACD =·AO·S△CDE. 在△ACD中，CA=CD=2，AD=，
∴S△ACD=而AO=1， S△CDE=
∴h=∴点E到平面ACD的距离为.
11.如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．
（1）求证：⊥面；
（2）求二面角的大小．
解法一：（1）依题设，是的中位线，所以∥，则∥平面，所以∥。
又是的中点，所以⊥，则⊥。
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，连。
因为⊥平面，根据三垂线定理知，⊥， 就是二面角的平面角。
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，
在中，，则，。
所以，故二面角为。
解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
所以
所以所以平面
由∥得∥，故：平面
(2)由已知设则
由与共线得:存在有得
同理:
设是平面的一个法向量，
则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为
A
B
C
M
P
D
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1．如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底
面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC
所成角的大小为（ B ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面
A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（ B ）
A、 B、 C、 D、
3．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是
30°和45°，若AB=3，BC= ，AC=5，则AC与a所成的角为（ C ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
4．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ C ）
A． B． C． D．
5 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________。(填序号) ②③
①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面.
6．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ 60°
7.如图，在四棱锥中，平面平面，，
是等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
解：（Ⅰ）在中，由于，，，
所以．故．
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，又平面，故平面平面．
（Ⅱ）过作交于，由于平面平面，所以平面．
因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形．
因此．在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，所以四边形的面积为．
故．
8.已知正方形 、分别是、的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为.
(1)证明平面；
(2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值.
解析: (1)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点，EB//FD，且EB=FD，
四边形EBFD为平行四边形. BF//ED.，平面.
(2)如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD ACD为正三角形，AC=AD.CG=GD.
G在CD的垂直平分线上， 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以.设原正方体的边长为2a，连结AF，在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF为直角三角形， .
在RtADE中， .，
9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：平面PAD；（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， 直线平面PCD？
解：（1）取CD中点G，连结EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG//AD，FG//PD，∴平面EFG//平面PAD，∴ EF//平面PAD．
（2）当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF平面PCD.
证明：∵G为CD中点，则EGCD，∵PA底面ABCD∴AD是PD在平面ABCD内的射影。 ∵CD平面ABCD，且CDAD，故CDPD ．又∵FG∥PD∴FGCD，故EGF为平面PCD 与平面ABCD所成二面角的平面角，即EGF=45，从而得ADP=45， AD=AP.由RtPAERtCBE，得PE=CE.又F是PC的中点，∴EFPC.
由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，∴CDEF，即EFCD，故EF平面PCD．
10. 如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面的距离.
解：(1)连结OC.
∵BO=DO，AB=AD， ∴AO⊥BD.
∵BO=DO，BC=CD， ∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=.
而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC.
∴AB平面BCD.
（Ⅱ）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC.
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中，是直角△AOC斜边AC上的中线，∴∴∴异面直线AB与CD所成角的大小为
（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h.
，∴·S△ACD =·AO·S△CDE. 在△ACD中，CA=CD=2，AD=，
∴S△ACD=而AO=1， S△CDE=
∴h=∴点E到平面ACD的距离为.
11.如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．
（1）求证：⊥面；
（2）求二面角的大小．
解法一：（1）依题设，是的中位线，所以∥，则∥平面，所以∥。
又是的中点，所以⊥，则⊥。
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，连。
因为⊥平面，根据三垂线定理知，⊥， 就是二面角的平面角。
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，
在中，，则，。
所以，故二面角为。
解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
所以
所以所以平面
由∥得∥，故：平面
(2)由已知设则
由与共线得:存在有得
同理:
设是平面的一个法向量，
则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为
A
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