北师大版九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 同步测试试卷（Word版有答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 同步测试试卷（Word版有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 330.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-22 08:01:07 | ||
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文档简介
2.5
二次函数与一元二次方程
同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?1.
在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（
）
A.个
B.个
C.个
D.个
?
2.
二次函数的图象过点，且与轴有两个交点，，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
如图，二次函数和一次函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.或
?
4.
抛物线与轴交点的个数为（
）
A.个
B.个
C.个
D.个
?
5.
抛物线与坐标轴的交点个数为（
）
A.个
B.个
C.个
D.个
?
6.
如图，是二次函数＝的部分图象，由图象可知不等式的解集是（
）
A.
B.
C.
D.或
?
7.
如图，已知直线与抛物线交于、两点（、两点分别位于第二和第一象限），且、两点的纵坐标分别是和，则不等式的解集为（
）
A.
B.或
C.
D.或
?
8.
二次函数（，，，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的取值范围是（
）
A.
B.或
C.
D.
?
10.
小明利用二次函数的图象估计方程的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程必有一个实数根在（
）
A.和之间
B.和之间
C.和之间
D.和之间
二、
填空题
（本题共计
7
小题
，每题
3
分
，共计21分
，
）
?
11.
如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的不等式的解集为________．
?
12.
抛物线与轴交于、两点，己知点的坐标为，则线段的长度为________．
?
13.
已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次不等式的解集为________．
?
14.
已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为________.
15.
抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________．
?
16.
已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解是________．
17.
如图，在平面直角坐标系中，直线＝与抛物线＝交于点，，当?时，的取值范围是________．
三、
解答题
（本题共计
7
小题
，共计69分
，
）
?18
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
?
19
已知二次函数的图象经过原点及轴上正半轴另一点，设此二次函数图象的顶点为．
（1）若是等腰直角三角形，求的值；
（2）利用二次函数的图象，试求不等式的解集．
?
20
已知二次函数，画出这个二次函数的图象，根据图象回答下列问题：
方程的解是什么？
取什么值时，函数值大于？取什么值时，函数值小于？
?
21
如图，抛物线
与轴交于点，，与轴交于点，直线
经过点
，．
（1)求抛物线的解析式．
(2)点为直线上方抛物线上一动点上．
①连结，交于点，求???的最大值．
②过点作垂足为点，连结，是否存在点，使中的一个角等于的倍?
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
?
22.
如图，二次函数的图象与两坐标轴分别交于，，三点，一次函数的图象与抛物线交于，两点．
（1）求点，，的坐标；
（2）当两函数的函数值都随着的增大而增大，求的取值范围；
（3）当自变量满足什么范围时，一次函数值大于二次函数值．
?
23
我们可以用如下方法解不等式．
第一步：画出函数的图象；
第二步：找出图象与轴的交点坐标，即交点坐标为，；
第三步：根据图象可知，在或时，的值大于．因此可得不等式的解集为或．
请你仿照上述方法，求不等式的解集．
?
24
在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，
且点为抛物线与轴的交点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点作交抛物线于点，求以点为顶点的四边形的面积；
(3)在的条件下，在轴上方的抛物线上是“
否存在一点，过作轴于点，使以三点为顶点的三角形与相似?
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
1.
【答案】
B
【解答】
解：当时，，
∵
，
∴
方程有两个不相等的实数根，
即抛物线与轴有两个交点.
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：
∵
二次函数过点，
∴
，解得，
∴
抛物线解析式为，
令可得，
由题意可知和是该方程的两根，
∴
，
故选．
3.
【答案】
D
【解答】
解：观察图象可知：抛物线与直线的交点横坐标是，，
故当或时，．
故选：．
4.
【答案】
B
【解答】
解：当与轴相交时，函数值为．即，
，
∴
有个不相等的实数根，
∴
抛物线与轴有个交点，
故选：．
5.
【答案】
B
【解答】
解：∵
，
∴
抛物线与轴没有交点，
而抛物线与轴的交点为，
∴
抛物线与坐标轴的交点个数为．
故选．
6.
【答案】
D
【解答】
抛物线与轴的另外一个交点的坐标为：，
从图象看，不等式的解集是：或，
7.
【答案】
B
【解答】
解：由得，
∵
、两点的纵坐标分别是和，
∴
点的横坐标为，点的横坐标为，
当或时，抛物线图象在直线图象上方，
故不等式的解集为或．
故选．
8.
【答案】
A
【解答】
解：一元二次方程有实数根，
可以理解为和有交点，
可见，，
故选：．
9.
【答案】
D
【解答】
解：如图所示：若，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时的取值范围是：．
故选：．
10.
【答案】
C
【解答】
解：根据表格得，当时，，
则方程必有一个实数根在和之间．
故选．
二、
填空题
（本题共计
8
小题
，每题
3
分
，共计24分
）
11.
【答案】
或
【解答】
解：∵
抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
∴
关于的不等式的解集为或，
故答案为：或．
12.
【答案】
【解答】
解：∵
抛物线，
∴
抛物线的对称轴为直线，
∵
点的坐标为，
∴
点的坐标为，
∴
线段，
故答案为．
13.
【答案】
或
【解答】
解：由图可知，对称轴为直线，
所以，二次函数图象与轴的另一个交点坐标为，
所以，的解集为或．
故答案为：或．
14.
【答案】
【解答】
解：由图象可得，
二次函数与轴的一个交点为，且对称轴为，
所以与轴的另一个交点为，
所以关于的一元二次方程的解为
二次函数与轴的交点的横坐标，
即.
故答案为：.
15.
【答案】
或
【解答】
解：∵
抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，
∴
抛物线与轴另一交点的坐标是，
∴
当时，或．
故答案为：或．
16.
【答案】
，
【解答】
解：根据图示知，
二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性知，抛物线与轴的另一个交点横坐标与点关于对称轴对称，即，
则另一交点坐标为
则当或时，函数值，
即，
故关于的一元二次方程的解为
，．
故答案为：，．
17.
【答案】
【解答】
∵
两函数图象交于点，，
∴
当?时，的取值范围是．
18.
【答案】
【解答】
解：①由与轴的交点坐标为得：
，
即，
所以①正确；
②由图象开口向下知，
由与轴的另一个交点
坐标为，且，
则该抛物线的对称轴为，
即，
由，两边都乘以得：，
∵
，对称轴，
∴
，
∴
．故②正确；
③由一元二次方程根与系数的关系知，
结合得，
所以结论③正确，
④由＝得，
而，
∴
，
∴
，
∴
，所以结论④正确．
故答案为：.
三、
解答题
（本题共计
7
小题
，每题
10
分
，共计70分
）
19.
【答案】
解：如图，
图象与轴的交点坐标是，
一元二次方程的近似根，．
【解答】
解：如图，
图象与轴的交点坐标是，
一元二次方程的近似根，．
20.
【答案】
解：（1）∵
是等腰直角三角形，
∴
设点横坐标为：，则，
故点纵坐标为；，
则，，则，
故整理得：，
解得：（不合题意舍去），，
故；
（2）由（1）得：，
则是向上平移个单位得到的，
故时，
解得：，，
如图所示：不等式的解集为：．
【解答】
解：（1）∵
是等腰直角三角形，
∴
设点横坐标为：，则，
故点纵坐标为；，
则，，则，
故整理得：，
解得：（不合题意舍去），，
故；
（2）由（1）得：，
则是向上平移个单位得到的，
故时，
解得：，，
如图所示：不等式的解集为：．
21.
【答案】
解：给出的部分值，求出相应的值，
列成如下表格：
按照表格中的数据在平面直角坐标系内，作出个点：
、、、、，
用平滑的曲线将个点连接起来，即得函数的图象．
由图象可知：，．
由图象可知：当或时，；
当时，．
【解答】
解：给出的部分值，求出相应的值，
列成如下表格：
按照表格中的数据在平面直角坐标系内，作出个点：
、、、、，
用平滑的曲线将个点连接起来，即得函数的图象．
由图象可知：，．
由图象可知：当或时，；
当时，．
22.
【答案】
解：(1)对于，
当时，，
当时，，
∴
．
∵
抛物线经过点，
∴
解得
故抛物线的解析式为．
(2)①如图，过点作轴于点，交直线于点，
则轴，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
设点的坐标为，
则点，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
当时，有最大值．
②存在，
易得，分以下两种情况．
当时，如图，在轴上取点，使点于点关于轴对称，连结，
则，点的坐标为．
∴
，
∴
，
设直线的解析式为，
则
解得
故直线的解析式为，直线的解析式为．
令，
整理，得，
解得(不合题意，舍去)，．
当时，，
故点的坐标为．
当时，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
易得，
从而可得．
由勾股定理可得，
由三角形面积公式可得，
即，
解得．
由勾股定理得，
∴
．
过点作轴于点，作轴于点，
设点的坐标为，则．
在和中，
由勾股定理得
解得(不合题意，舍去)
设直线的解析式为，
将
分别代入，
得
解得
故直线的解析式为．
令，
整理，得，
解得，(不合题意，舍去)．
在，
当时，，
故点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
【解答】
解：(1)对于，
当时，，
当时，，
∴
．
∵
抛物线经过点，
∴
解得
故抛物线的解析式为．
(2)①如图，过点作轴于点，交直线于点，
则轴，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
设点的坐标为，
则点，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
当时，有最大值．
②存在，
易得，分以下两种情况．
当时，如图，在轴上取点，使点于点关于轴对称，连结，
则，点的坐标为．
∴
，
∴
，
设直线的解析式为，
则
解得
故直线的解析式为，直线的解析式为．
令，
整理，得，
解得(不合题意，舍去)，．
当时，，
故点的坐标为．
当时，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
易得，
从而可得．
由勾股定理可得，
由三角形面积公式可得，
即，
解得．
由勾股定理得，
∴
．
过点作轴于点，作轴于点，
设点的坐标为，则．
在和中，
由勾股定理得
解得(不合题意，舍去)
设直线的解析式为，
将?分别代入，
得
解得
故直线的解析式为．
令，
整理，得，
解得，(不合题意，舍去)．
在，
当时，，
故点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
23.
【答案】
解：（1）∵
令，则，
∴
．
∵
令，则，解得或，
∴
，．
（2）∵
由（1）知，，，
∴
抛物线的对称轴为直线，
∴
当时，两函数的函数值都随着的增大而增大；
（3）∵
由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数的上方，
∴
当时，一次函数值大于二次函数值．
【解答】
解：（1）∵
令，则，
∴
．
∵
令，则，解得或，
∴
，．
（2）∵
由（1）知，，，
∴
抛物线的对称轴为直线，
∴
当时，两函数的函数值都随着的增大而增大；
（3）∵
由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数的上方，
∴
当时，一次函数值大于二次函数值．
24.
【答案】
解：如图，不等式的解集是．
【解答】
解：如图，不等式的解集是．
25.
【答案】
解：(1)∵
抛物线经过点，
∴
，解得，
∴
抛物线额的表达式为；
(2)将代入，得，
∴
∵
∴
∵
∴
，
如解图，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，
令，则，
∴
，
∵
点在抛物线上，
∴
，
解得(不合题意，舍去)，
∴
，
∴
；
(3)存在，
如解图，
∵
，
∴
，
∴
，
在中，，
∴
，
在中，，
∴
，
设点横坐标为，则，
∵
点在轴上方抛物线上，
∴
，
∴
或，
当在轴左侧时，则．
当时，有，
∵
，
∴
，
解得(舍去)，(舍去)；
当时，有，
即，
解得(舍去)，，
∴
；
点在轴右侧时，则，
当时，有，
∵
，
∴
，解得?(舍去），，
∴
；
当时，有，
即，解得(舍去)，，
∴
，
综上所述，存在点，使以三点为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或．
【解答】
解：(1)∵
抛物线经过点，
∴
，解得，
∴
抛物线额的表达式为；
(2)将代入，得，
∴
∵
∴
∵
∴
，
如解图，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，
令，则，
∴
，
∵
点在抛物线上，
∴
，
解得(不合题意，舍去)，
∴
，
∴
；
(3)存在，
如解图，
∵
，
∴
，
∴
，
在中，，
∴
，
在中，，
∴
，
设点横坐标为，则，
∵
点在轴上方抛物线上，
∴
，
∴
或，
当在轴左侧时，则．
当时，有，
∵
，
∴
，
解得(舍去)，(舍去)；
当时，有，
即，
解得(舍去)，，
∴
；
点在轴右侧时，则，
当时，有，
∵
，
∴
，解得?(舍去），，
∴
；
当时，有，
即，解得(舍去)，，
∴
，
综上所述，存在点，使以三点为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或．
二次函数与一元二次方程
同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?1.
在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（
）
A.个
B.个
C.个
D.个
?
2.
二次函数的图象过点，且与轴有两个交点，，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
如图，二次函数和一次函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.或
?
4.
抛物线与轴交点的个数为（
）
A.个
B.个
C.个
D.个
?
5.
抛物线与坐标轴的交点个数为（
）
A.个
B.个
C.个
D.个
?
6.
如图，是二次函数＝的部分图象，由图象可知不等式的解集是（
）
A.
B.
C.
D.或
?
7.
如图，已知直线与抛物线交于、两点（、两点分别位于第二和第一象限），且、两点的纵坐标分别是和，则不等式的解集为（
）
A.
B.或
C.
D.或
?
8.
二次函数（，，，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的取值范围是（
）
A.
B.或
C.
D.
?
10.
小明利用二次函数的图象估计方程的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程必有一个实数根在（
）
A.和之间
B.和之间
C.和之间
D.和之间
二、
填空题
（本题共计
7
小题
，每题
3
分
，共计21分
，
）
?
11.
如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的不等式的解集为________．
?
12.
抛物线与轴交于、两点，己知点的坐标为，则线段的长度为________．
?
13.
已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次不等式的解集为________．
?
14.
已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为________.
15.
抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________．
?
16.
已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解是________．
17.
如图，在平面直角坐标系中，直线＝与抛物线＝交于点，，当?时，的取值范围是________．
三、
解答题
（本题共计
7
小题
，共计69分
，
）
?18
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
?
19
已知二次函数的图象经过原点及轴上正半轴另一点，设此二次函数图象的顶点为．
（1）若是等腰直角三角形，求的值；
（2）利用二次函数的图象，试求不等式的解集．
?
20
已知二次函数，画出这个二次函数的图象，根据图象回答下列问题：
方程的解是什么？
取什么值时，函数值大于？取什么值时，函数值小于？
?
21
如图，抛物线
与轴交于点，，与轴交于点，直线
经过点
，．
（1)求抛物线的解析式．
(2)点为直线上方抛物线上一动点上．
①连结，交于点，求???的最大值．
②过点作垂足为点，连结，是否存在点，使中的一个角等于的倍?
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
?
22.
如图，二次函数的图象与两坐标轴分别交于，，三点，一次函数的图象与抛物线交于，两点．
（1）求点，，的坐标；
（2）当两函数的函数值都随着的增大而增大，求的取值范围；
（3）当自变量满足什么范围时，一次函数值大于二次函数值．
?
23
我们可以用如下方法解不等式．
第一步：画出函数的图象；
第二步：找出图象与轴的交点坐标，即交点坐标为，；
第三步：根据图象可知，在或时，的值大于．因此可得不等式的解集为或．
请你仿照上述方法，求不等式的解集．
?
24
在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，
且点为抛物线与轴的交点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点作交抛物线于点，求以点为顶点的四边形的面积；
(3)在的条件下，在轴上方的抛物线上是“
否存在一点，过作轴于点，使以三点为顶点的三角形与相似?
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
1.
【答案】
B
【解答】
解：当时，，
∵
，
∴
方程有两个不相等的实数根，
即抛物线与轴有两个交点.
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：
∵
二次函数过点，
∴
，解得，
∴
抛物线解析式为，
令可得，
由题意可知和是该方程的两根，
∴
，
故选．
3.
【答案】
D
【解答】
解：观察图象可知：抛物线与直线的交点横坐标是，，
故当或时，．
故选：．
4.
【答案】
B
【解答】
解：当与轴相交时，函数值为．即，
，
∴
有个不相等的实数根，
∴
抛物线与轴有个交点，
故选：．
5.
【答案】
B
【解答】
解：∵
，
∴
抛物线与轴没有交点，
而抛物线与轴的交点为，
∴
抛物线与坐标轴的交点个数为．
故选．
6.
【答案】
D
【解答】
抛物线与轴的另外一个交点的坐标为：，
从图象看，不等式的解集是：或，
7.
【答案】
B
【解答】
解：由得，
∵
、两点的纵坐标分别是和，
∴
点的横坐标为，点的横坐标为，
当或时，抛物线图象在直线图象上方，
故不等式的解集为或．
故选．
8.
【答案】
A
【解答】
解：一元二次方程有实数根，
可以理解为和有交点，
可见，，
故选：．
9.
【答案】
D
【解答】
解：如图所示：若，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时的取值范围是：．
故选：．
10.
【答案】
C
【解答】
解：根据表格得，当时，，
则方程必有一个实数根在和之间．
故选．
二、
填空题
（本题共计
8
小题
，每题
3
分
，共计24分
）
11.
【答案】
或
【解答】
解：∵
抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
∴
关于的不等式的解集为或，
故答案为：或．
12.
【答案】
【解答】
解：∵
抛物线，
∴
抛物线的对称轴为直线，
∵
点的坐标为，
∴
点的坐标为，
∴
线段，
故答案为．
13.
【答案】
或
【解答】
解：由图可知，对称轴为直线，
所以，二次函数图象与轴的另一个交点坐标为，
所以，的解集为或．
故答案为：或．
14.
【答案】
【解答】
解：由图象可得，
二次函数与轴的一个交点为，且对称轴为，
所以与轴的另一个交点为，
所以关于的一元二次方程的解为
二次函数与轴的交点的横坐标，
即.
故答案为：.
15.
【答案】
或
【解答】
解：∵
抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，
∴
抛物线与轴另一交点的坐标是，
∴
当时，或．
故答案为：或．
16.
【答案】
，
【解答】
解：根据图示知，
二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性知，抛物线与轴的另一个交点横坐标与点关于对称轴对称，即，
则另一交点坐标为
则当或时，函数值，
即，
故关于的一元二次方程的解为
，．
故答案为：，．
17.
【答案】
【解答】
∵
两函数图象交于点，，
∴
当?时，的取值范围是．
18.
【答案】
【解答】
解：①由与轴的交点坐标为得：
，
即，
所以①正确；
②由图象开口向下知，
由与轴的另一个交点
坐标为，且，
则该抛物线的对称轴为，
即，
由，两边都乘以得：，
∵
，对称轴，
∴
，
∴
．故②正确；
③由一元二次方程根与系数的关系知，
结合得，
所以结论③正确，
④由＝得，
而，
∴
，
∴
，
∴
，所以结论④正确．
故答案为：.
三、
解答题
（本题共计
7
小题
，每题
10
分
，共计70分
）
19.
【答案】
解：如图，
图象与轴的交点坐标是，
一元二次方程的近似根，．
【解答】
解：如图，
图象与轴的交点坐标是，
一元二次方程的近似根，．
20.
【答案】
解：（1）∵
是等腰直角三角形，
∴
设点横坐标为：，则，
故点纵坐标为；，
则，，则，
故整理得：，
解得：（不合题意舍去），，
故；
（2）由（1）得：，
则是向上平移个单位得到的，
故时，
解得：，，
如图所示：不等式的解集为：．
【解答】
解：（1）∵
是等腰直角三角形，
∴
设点横坐标为：，则，
故点纵坐标为；，
则，，则，
故整理得：，
解得：（不合题意舍去），，
故；
（2）由（1）得：，
则是向上平移个单位得到的，
故时，
解得：，，
如图所示：不等式的解集为：．
21.
【答案】
解：给出的部分值，求出相应的值，
列成如下表格：
按照表格中的数据在平面直角坐标系内，作出个点：
、、、、，
用平滑的曲线将个点连接起来，即得函数的图象．
由图象可知：，．
由图象可知：当或时，；
当时，．
【解答】
解：给出的部分值，求出相应的值，
列成如下表格：
按照表格中的数据在平面直角坐标系内，作出个点：
、、、、，
用平滑的曲线将个点连接起来，即得函数的图象．
由图象可知：，．
由图象可知：当或时，；
当时，．
22.
【答案】
解：(1)对于，
当时，，
当时，，
∴
．
∵
抛物线经过点，
∴
解得
故抛物线的解析式为．
(2)①如图，过点作轴于点，交直线于点，
则轴，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
设点的坐标为，
则点，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
当时，有最大值．
②存在，
易得，分以下两种情况．
当时，如图，在轴上取点，使点于点关于轴对称，连结，
则，点的坐标为．
∴
，
∴
，
设直线的解析式为，
则
解得
故直线的解析式为，直线的解析式为．
令，
整理，得，
解得(不合题意，舍去)，．
当时，，
故点的坐标为．
当时，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
易得，
从而可得．
由勾股定理可得，
由三角形面积公式可得，
即，
解得．
由勾股定理得，
∴
．
过点作轴于点，作轴于点，
设点的坐标为，则．
在和中，
由勾股定理得
解得(不合题意，舍去)
设直线的解析式为，
将
分别代入，
得
解得
故直线的解析式为．
令，
整理，得，
解得，(不合题意，舍去)．
在，
当时，，
故点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
【解答】
解：(1)对于，
当时，，
当时，，
∴
．
∵
抛物线经过点，
∴
解得
故抛物线的解析式为．
(2)①如图，过点作轴于点，交直线于点，
则轴，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
设点的坐标为，
则点，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
当时，有最大值．
②存在，
易得，分以下两种情况．
当时，如图，在轴上取点，使点于点关于轴对称，连结，
则，点的坐标为．
∴
，
∴
，
设直线的解析式为，
则
解得
故直线的解析式为，直线的解析式为．
令，
整理，得，
解得(不合题意，舍去)，．
当时，，
故点的坐标为．
当时，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
易得，
从而可得．
由勾股定理可得，
由三角形面积公式可得，
即，
解得．
由勾股定理得，
∴
．
过点作轴于点，作轴于点，
设点的坐标为，则．
在和中，
由勾股定理得
解得(不合题意，舍去)
设直线的解析式为，
将?分别代入，
得
解得
故直线的解析式为．
令，
整理，得，
解得，(不合题意，舍去)．
在，
当时，，
故点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
23.
【答案】
解：（1）∵
令，则，
∴
．
∵
令，则，解得或，
∴
，．
（2）∵
由（1）知，，，
∴
抛物线的对称轴为直线，
∴
当时，两函数的函数值都随着的增大而增大；
（3）∵
由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数的上方，
∴
当时，一次函数值大于二次函数值．
【解答】
解：（1）∵
令，则，
∴
．
∵
令，则，解得或，
∴
，．
（2）∵
由（1）知，，，
∴
抛物线的对称轴为直线，
∴
当时，两函数的函数值都随着的增大而增大；
（3）∵
由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数的上方，
∴
当时，一次函数值大于二次函数值．
24.
【答案】
解：如图，不等式的解集是．
【解答】
解：如图，不等式的解集是．
25.
【答案】
解：(1)∵
抛物线经过点，
∴
，解得，
∴
抛物线额的表达式为；
(2)将代入，得，
∴
∵
∴
∵
∴
，
如解图，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，
令，则，
∴
，
∵
点在抛物线上，
∴
，
解得(不合题意，舍去)，
∴
，
∴
；
(3)存在，
如解图，
∵
，
∴
，
∴
，
在中，，
∴
，
在中，，
∴
，
设点横坐标为，则，
∵
点在轴上方抛物线上，
∴
，
∴
或，
当在轴左侧时，则．
当时，有，
∵
，
∴
，
解得(舍去)，(舍去)；
当时，有，
即，
解得(舍去)，，
∴
；
点在轴右侧时，则，
当时，有，
∵
，
∴
，解得?(舍去），，
∴
；
当时，有，
即，解得(舍去)，，
∴
，
综上所述，存在点，使以三点为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或．
【解答】
解：(1)∵
抛物线经过点，
∴
，解得，
∴
抛物线额的表达式为；
(2)将代入，得，
∴
∵
∴
∵
∴
，
如解图，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，
令，则，
∴
，
∵
点在抛物线上，
∴
，
解得(不合题意，舍去)，
∴
，
∴
；
(3)存在，
如解图，
∵
，
∴
，
∴
，
在中，，
∴
，
在中，，
∴
，
设点横坐标为，则，
∵
点在轴上方抛物线上，
∴
，
∴
或，
当在轴左侧时，则．
当时，有，
∵
，
∴
，
解得(舍去)，(舍去)；
当时，有，
即，
解得(舍去)，，
∴
；
点在轴右侧时，则，
当时，有，
∵
，
∴
，解得?(舍去），，
∴
；
当时，有，
即，解得(舍去)，，
∴
，
综上所述，存在点，使以三点为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或．