复习排列组合
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排列组合
温故知新
两个计数原理
例1.从5双不同号的袜子中任取4只， 1）其中任取4只共有多少种不同的取法？ 2）所取的4只中没有2只是同号的取法有多少种？
3）所取的4只中有1双是同号的取法又有多少种？
4）至少有2只袜子配成一双的取法种数是多少种？
（间接法）：
数学应用
3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有多少 （98全国高考题）
解法一：首先，将3名医生分配到3所学校，每校1名，不同的分配方法有A33种；
其次，将6名护士分配到3所学校，每校2名，不同的分配方法有C62·C42·C22种；
由分步计数原理，共有A33 · C62·C42·C22 ＝540种
解法二：首先，给第1所学校派去1名医生和2名护士，不同的分配方法有 C31 · C62种；
其次，给第2所学校派去1名医生和2名护士，不同的分配方法有 C21 · C42种；
最后，将所剩的1名医生和2名护士派往第3所学校派去，只有1种派法.
由分步计数原理，共有C31 · C62·C21·C42 ·1＝540种.
例2
例3 要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人，这10个名额有多少种分配方法
1、有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个队,第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场
练习：
2.圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有___个
3.某城市的街区由12个全等的矩形区组成
其中实线表示马路，从A走到B的最短路
径有多少种？
B
A
练习：
4.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有
练习：
解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种
还剩下3球3盒序号不能对应，
例4. 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,
同理3号球装5号盒时,4,5号球有也
只有1种装法,由分步计数原理有2 种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果.
学生活动:
1.有编号为1至5的五台电脑，五名学生上机实习，每人使用一台，其中学生甲必须用1号电脑，那么不同上机方案的种数是____
3.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有多少种
2520
2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 .
20
24
4.从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？
=48
分析：（一）直接法
（二）间接法
5.一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如735，414等），那么这样的三位数有______个．
285
学生活动:
例5.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？
分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。
课堂小结：
①一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没有顺序，即交换其中的两个元素是否会改变所得的结果；
②组合问题解法类似于排列问题解法，并注意两个计数原理的运用，恰当选择直接法或间接法.
四、课堂小结：
1、对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干个简单的基本问题后再用两个计数原理来解决；
2、一般情况下应遵循先取元素，后排列的原则；
3、对于某些特殊问题要能熟练使用相应方法解决，如：隔板法、均匀分组（局部均匀分组）等问题.
例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？
变:7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？
变:有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？
〈2〉三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？
〈3〉如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男生之间不相邻，有几种不同排法？
（六）分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题，若没有其他
的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.
例8 七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐
4人，则有多少种不同的坐法？
分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无
其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以
不同的坐法有 种.
（1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？
练 习 5
〈2〉三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？
分析：若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲，
乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种
符合条件，故
符合条件的排法有 种.
（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？
或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，
所以
两排可看作一排来处理
不同的坐法有 种
（2）八个人排成两排，有几种不同排法？
练 习 6
排列组合
温故知新
两个计数原理
例1.从5双不同号的袜子中任取4只， 1）其中任取4只共有多少种不同的取法？ 2）所取的4只中没有2只是同号的取法有多少种？
3）所取的4只中有1双是同号的取法又有多少种？
4）至少有2只袜子配成一双的取法种数是多少种？
（间接法）：
数学应用
3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有多少 （98全国高考题）
解法一：首先，将3名医生分配到3所学校，每校1名，不同的分配方法有A33种；
其次，将6名护士分配到3所学校，每校2名，不同的分配方法有C62·C42·C22种；
由分步计数原理，共有A33 · C62·C42·C22 ＝540种
解法二：首先，给第1所学校派去1名医生和2名护士，不同的分配方法有 C31 · C62种；
其次，给第2所学校派去1名医生和2名护士，不同的分配方法有 C21 · C42种；
最后，将所剩的1名医生和2名护士派往第3所学校派去，只有1种派法.
由分步计数原理，共有C31 · C62·C21·C42 ·1＝540种.
例2
例3 要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人，这10个名额有多少种分配方法
1、有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个队,第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场
练习：
2.圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有___个
3.某城市的街区由12个全等的矩形区组成
其中实线表示马路，从A走到B的最短路
径有多少种？
B
A
练习：
4.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有
练习：
解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种
还剩下3球3盒序号不能对应，
例4. 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,
同理3号球装5号盒时,4,5号球有也
只有1种装法,由分步计数原理有2 种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果.
学生活动:
1.有编号为1至5的五台电脑，五名学生上机实习，每人使用一台，其中学生甲必须用1号电脑，那么不同上机方案的种数是____
3.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有多少种
2520
2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 .
20
24
4.从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？
=48
分析：（一）直接法
（二）间接法
5.一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如735，414等），那么这样的三位数有______个．
285
学生活动:
例5.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？
分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。
课堂小结：
①一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没有顺序，即交换其中的两个元素是否会改变所得的结果；
②组合问题解法类似于排列问题解法，并注意两个计数原理的运用，恰当选择直接法或间接法.
四、课堂小结：
1、对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干个简单的基本问题后再用两个计数原理来解决；
2、一般情况下应遵循先取元素，后排列的原则；
3、对于某些特殊问题要能熟练使用相应方法解决，如：隔板法、均匀分组（局部均匀分组）等问题.
例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？
变:7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？
变:有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？
〈2〉三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？
〈3〉如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男生之间不相邻，有几种不同排法？
（六）分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题，若没有其他
的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.
例8 七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐
4人，则有多少种不同的坐法？
分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无
其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以
不同的坐法有 种.
（1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？
练 习 5
〈2〉三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？
分析：若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲，
乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种
符合条件，故
符合条件的排法有 种.
（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？
或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，
所以
两排可看作一排来处理
不同的坐法有 种
（2）八个人排成两排，有几种不同排法？
练 习 6