29.二项式定理（3）

(共16张PPT)
321 二 项 式 定 理
1、二项式定理：
2、通项公式：
3、特例：
(展开式的第r +1项)
温故知新
一、建构数学
(a+b)1
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)2
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
(a+b)6
1
6
15
20
15
6
1
试计算下列各展开式中的二项式系数：
(a+b)1
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)2
(a+b)6
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
(1)对称性：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
(2)增减性与最大值：
从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.
二项式系数的性质
数学结论
(2)增减性与最大值：
从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.
＞1
＜
可知，当 时二项式系数逐渐增大，
由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项的取值最大.
＜
(2)增减性与最大值：
从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数
取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式
系数 、 相等且同时取得最大值
(3)各二项式系数的和
当n= 6时,
令 :
其图象是7个孤立点
r
6
14
20
O
6
3
f ( r )
代数意义：
几何意义：
直线 作为对称轴
将图象分成对称的两部分.
函数思想
四、例题选讲：
例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项
式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明：在展开式 中
令a=1，b=－1得
赋值法
例2 求证：
证明：∵
倒序相加法
例3 设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5.
求：
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值；
（2） a1+a3+ a5的值；
（3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值.
解:(1)在(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5 中
令x=1，-1 分别得：
在 展开式中
(1)求二项式系数的和;
例4.
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和
与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和;
1024
1
512
学生活动
1、已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
1
结论:
3.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ）
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
C
学生活动
小结：
（2） 数学思想：函数思想
a 图象；
b 单调性；
c 最值。
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
（1）二项式系数的三个性质
对称性
增减性与最大值
各二项式系数和