27二项式定理（1）

(共15张PPT)
1.5 二 项 式 定 理
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们
的各项是什么呢？
引入
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
考虑b
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？
2)．各项前的系数代表着什么？
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
a4 a3b a2b2 ab3 b4
各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b的方法种数
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝
C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
a4 a3b a2b2 ab3 b4
二项展开式定理
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
注1）．二项展开式共有n+1项
2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止
Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1
Cnr ： 二项式系数
一般地，对于n N*有
如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
解:
数学应用
解:
第三项的二项式系数为
第六项的系数为
数学应用
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 ；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
数学应用
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解:
数学应用
解:
第四项系数为280.
数学应用
解:
数学应用
变:整式项
利用二项展开式或通项
学生活动
1、求 的展开式常数项
解:
学生活动
2、求 的展开式的中间两项
解:
展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
小 结
2）区别二项式系数，项的系数
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征