2020-2021学年黑龙江省大庆市肇州县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年黑龙江省大庆市肇州县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1009.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-22 07:13:25 | ||
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文档简介
2020-2021学年黑龙江省大庆市肇州县九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题）.
1．若∠A的度数为30°，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
3．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
5．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA?OB＝﹣．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为28cm，底面半径为24cm，要在斗笠的外表面刷上油漆，则刷漆部分的面积为（ ）
A．576cm2 B．576πcm2 C．672cm2 D．672πcm2
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题）.
11．抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0），则这个抛物线的顶点坐标是 ．
12．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB＝ °．
13．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为 ．
14．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
15．已知∠B为锐角，若sinB＝，则cosB的值是 ．
16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
17．二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ．
18．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为 ．
三、解答题
19．计算：
（1）2sin30°一3tan45°?sin45°+4cos60°；
（2）+cos45°?sin60°．
20．如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
21．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；
（2）AE＝CE．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝AD?AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．
23．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果精确到0.1m）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．若∠A的度数为30°，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵∠A的度数为30°，
∴tanA的值是：．
故选：D．
2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故选：B．
3．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
4．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
解：y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减少．
故选：B．
5．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：C．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝＝＝，
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝，
故选：D．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA?OB＝﹣．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
而a＜0，
∴＜0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③正确；
设A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x1和x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，
∴x1?x2＝，
∴OA?OB＝﹣，所以④正确．
故选：B．
9．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为28cm，底面半径为24cm，要在斗笠的外表面刷上油漆，则刷漆部分的面积为（ ）
A．576cm2 B．576πcm2 C．672cm2 D．672πcm2
解：∵底面半径为24cm，底面周长＝48π，
∴圆锥的侧面面积＝×48π×28＝672πcm2，故选D．
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，
∴AO＝2，OP＝x，则AP＝2﹣x，
∴tan60°＝＝，
解得：AB＝（2﹣x）＝﹣x+2，
∴S△ABP＝×PA×AB＝（2﹣x）??（﹣x+2）＝x2﹣2x+2，
故此函数为二次函数，
∵a＝＞0，
∴当x＝﹣＝2时，S取到最小值为：＝0，
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0），则这个抛物线的顶点坐标是 （﹣，﹣） ．
解：∵抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0）
即抛物线经过点（1，0）
代入解析式得到c＝﹣8
∴解析式是y＝2x2+6x﹣8
∵y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，）
代入公式求值得到顶点坐标是（，﹣）
故填空答案：（﹣，﹣）．
12．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB＝ 119 °．
解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝122°，
∴∠ADB＝∠AOB＝×122°＝61°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．
故答案为：119．
13．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为 ．
解：连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是直径，
即CD＝10，
∵点C（0，6），
∴OC＝6，
∴OD＝＝8，
∴cos∠ODC＝＝＝，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴cos∠OBC＝．
故答案为：．
14．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 圆外 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
解：∵方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4d＜0，
∴d＞1，
∵⊙O的半径为1，
∴d＞r；
∴点P在⊙O的外部，
故答案为：圆外．
15．已知∠B为锐角，若sinB＝，则cosB的值是 ．
解：∵∠B为锐角，且sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴cosB＝cos60°＝，
故答案为：．
16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 24 m．
解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案是：24．
17．二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ﹣4 ．
解：二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
所以最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
18．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为 x1＝5，x2＝﹣1 ．
解：∵二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
则﹣＝﹣＝2，
解得：b＝﹣4，
∴x2+bx＝5即为x2﹣4x﹣5＝0，
则（x﹣5）（x+1）＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝5，x2＝﹣1．
三、解答题
19．计算：
（1）2sin30°一3tan45°?sin45°+4cos60°；
（2）+cos45°?sin60°．
解：（1）2sin30°一3tan45°?sin45°+4cos60°
＝2×﹣3×1×+4×
＝1﹣+2
＝3﹣；
（2）+cos45°?sin60°
＝+×
＝+
＝﹣+
＝﹣．
20．如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
解：（1）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得：h＝1，a＝﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°，
∴OB＝OA′＝1，
∴A′B＝OB＝，
∴A′点的坐标为（1，），
∴点A′为抛物线y＝﹣（x﹣1）2+的顶点．
21．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；
（2）AE＝CE．
【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；
（2）由（1）知＝，
∴AD＝BC，
∵＝，＝，
∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝AD?AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：连接BC，
∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD?AB．
（3）解：∵∠ACD＝30°，∠OCD＝90°，
∴∠OCA＝60°，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，
∵在Rt△ACD中，AD＝AC＝×2＝1，
由勾股定理得：DC＝，
∴阴影部分的面积是S＝S梯形OCDA﹣S扇形OCA＝×（2+1）×﹣＝﹣π．
23．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果精确到0.1m）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
解：（1）由题意可知：∠BAD＝18°，
在Rt△ABD中，AB＝18≈≈5.6（m），
答：应在地面上距点B约5.6m远的A处开始斜坡的施工；
（2）能，理由如下：
如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠ECD＝∠BAD＝18°，
在Rt△CED中，CE＝CD?cos18°≈2.8×0.95＝2.66（m），
∵2.66＞2.5，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2﹣（a≠0）
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0﹣4）2﹣＝2
解得：a＝
∴y＝（x﹣4）2﹣
即：y＝x2﹣x+2
当y＝0时，x2﹣x+2＝0
解得：x＝2或x＝6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x＝4，
因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP＝BP，所以AP+CP＝BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB＝6，OC＝2
∴BC＝2，
∴AP+CP＝BC＝2
∴AP+CP的最小值为2；
（3）如图3，连接ME
∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE，∠CEM＝90°
∵C的坐标（0，2），
∴OC＝2，
∵AB＝4，
∴ME＝2
∴OC＝ME＝2，
∵∠ODC＝∠MDE，
∵在△COD与△MED中
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD＝DE，DC＝DM
设OD＝x
则CD＝DM＝OM﹣OD＝4﹣x
则Rt△COD中，OD2+OC2＝CD2，
∴x2+22＝（4﹣x）2
∴x＝
∴D（，0）
设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，
则
解得：
∴直线CE的解析式为y＝﹣+2．
一、选择题（共10小题）.
1．若∠A的度数为30°，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
3．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
5．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA?OB＝﹣．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为28cm，底面半径为24cm，要在斗笠的外表面刷上油漆，则刷漆部分的面积为（ ）
A．576cm2 B．576πcm2 C．672cm2 D．672πcm2
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题）.
11．抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0），则这个抛物线的顶点坐标是 ．
12．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB＝ °．
13．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为 ．
14．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
15．已知∠B为锐角，若sinB＝，则cosB的值是 ．
16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
17．二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ．
18．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为 ．
三、解答题
19．计算：
（1）2sin30°一3tan45°?sin45°+4cos60°；
（2）+cos45°?sin60°．
20．如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
21．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；
（2）AE＝CE．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝AD?AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．
23．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果精确到0.1m）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．若∠A的度数为30°，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵∠A的度数为30°，
∴tanA的值是：．
故选：D．
2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故选：B．
3．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
4．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
解：y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减少．
故选：B．
5．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：C．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝＝＝，
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝，
故选：D．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA?OB＝﹣．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
而a＜0，
∴＜0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③正确；
设A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x1和x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，
∴x1?x2＝，
∴OA?OB＝﹣，所以④正确．
故选：B．
9．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为28cm，底面半径为24cm，要在斗笠的外表面刷上油漆，则刷漆部分的面积为（ ）
A．576cm2 B．576πcm2 C．672cm2 D．672πcm2
解：∵底面半径为24cm，底面周长＝48π，
∴圆锥的侧面面积＝×48π×28＝672πcm2，故选D．
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，
∴AO＝2，OP＝x，则AP＝2﹣x，
∴tan60°＝＝，
解得：AB＝（2﹣x）＝﹣x+2，
∴S△ABP＝×PA×AB＝（2﹣x）??（﹣x+2）＝x2﹣2x+2，
故此函数为二次函数，
∵a＝＞0，
∴当x＝﹣＝2时，S取到最小值为：＝0，
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0），则这个抛物线的顶点坐标是 （﹣，﹣） ．
解：∵抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0）
即抛物线经过点（1，0）
代入解析式得到c＝﹣8
∴解析式是y＝2x2+6x﹣8
∵y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，）
代入公式求值得到顶点坐标是（，﹣）
故填空答案：（﹣，﹣）．
12．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB＝ 119 °．
解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝122°，
∴∠ADB＝∠AOB＝×122°＝61°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．
故答案为：119．
13．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为 ．
解：连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是直径，
即CD＝10，
∵点C（0，6），
∴OC＝6，
∴OD＝＝8，
∴cos∠ODC＝＝＝，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴cos∠OBC＝．
故答案为：．
14．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 圆外 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
解：∵方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4d＜0，
∴d＞1，
∵⊙O的半径为1，
∴d＞r；
∴点P在⊙O的外部，
故答案为：圆外．
15．已知∠B为锐角，若sinB＝，则cosB的值是 ．
解：∵∠B为锐角，且sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴cosB＝cos60°＝，
故答案为：．
16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 24 m．
解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案是：24．
17．二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ﹣4 ．
解：二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
所以最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
18．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为 x1＝5，x2＝﹣1 ．
解：∵二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
则﹣＝﹣＝2，
解得：b＝﹣4，
∴x2+bx＝5即为x2﹣4x﹣5＝0，
则（x﹣5）（x+1）＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝5，x2＝﹣1．
三、解答题
19．计算：
（1）2sin30°一3tan45°?sin45°+4cos60°；
（2）+cos45°?sin60°．
解：（1）2sin30°一3tan45°?sin45°+4cos60°
＝2×﹣3×1×+4×
＝1﹣+2
＝3﹣；
（2）+cos45°?sin60°
＝+×
＝+
＝﹣+
＝﹣．
20．如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
解：（1）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得：h＝1，a＝﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°，
∴OB＝OA′＝1，
∴A′B＝OB＝，
∴A′点的坐标为（1，），
∴点A′为抛物线y＝﹣（x﹣1）2+的顶点．
21．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；
（2）AE＝CE．
【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；
（2）由（1）知＝，
∴AD＝BC，
∵＝，＝，
∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝AD?AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：连接BC，
∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD?AB．
（3）解：∵∠ACD＝30°，∠OCD＝90°，
∴∠OCA＝60°，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，
∵在Rt△ACD中，AD＝AC＝×2＝1，
由勾股定理得：DC＝，
∴阴影部分的面积是S＝S梯形OCDA﹣S扇形OCA＝×（2+1）×﹣＝﹣π．
23．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果精确到0.1m）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
解：（1）由题意可知：∠BAD＝18°，
在Rt△ABD中，AB＝18≈≈5.6（m），
答：应在地面上距点B约5.6m远的A处开始斜坡的施工；
（2）能，理由如下：
如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠ECD＝∠BAD＝18°，
在Rt△CED中，CE＝CD?cos18°≈2.8×0.95＝2.66（m），
∵2.66＞2.5，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2﹣（a≠0）
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0﹣4）2﹣＝2
解得：a＝
∴y＝（x﹣4）2﹣
即：y＝x2﹣x+2
当y＝0时，x2﹣x+2＝0
解得：x＝2或x＝6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x＝4，
因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP＝BP，所以AP+CP＝BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB＝6，OC＝2
∴BC＝2，
∴AP+CP＝BC＝2
∴AP+CP的最小值为2；
（3）如图3，连接ME
∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE，∠CEM＝90°
∵C的坐标（0，2），
∴OC＝2，
∵AB＝4，
∴ME＝2
∴OC＝ME＝2，
∵∠ODC＝∠MDE，
∵在△COD与△MED中
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD＝DE，DC＝DM
设OD＝x
则CD＝DM＝OM﹣OD＝4﹣x
则Rt△COD中，OD2+OC2＝CD2，
∴x2+22＝（4﹣x）2
∴x＝
∴D（，0）
设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，
则
解得：
∴直线CE的解析式为y＝﹣+2．
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