(共33张PPT)
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆
一.课题引入：
行星运行的轨道
我们的太阳系
2.1.1 椭圆及其标准方程
问题1：圆的几何特征是什么？
平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。
问题2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？
数 学 实 验
(1)取一条细绳，
(2)把它的两端
固定在板上的两
点F1、F2
(3)用铅笔尖
（M）把细绳拉
紧，在板上慢慢
移动看看画出的
图形
F1
F2
（1）在画出一个椭圆的过程中，F1、F2的位置是固定的还是运动的？
（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
F1
F2
M
︳F1F2︱=2c
︱MF1︳+︱MF2︳=2a
2a>2c
若2a<2c，则轨迹为＿＿＿＿。
若2a=2c，则轨迹为＿＿＿＿。
线段
不存在
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做焦距．
椭圆的定义
F1
F2
M
小结（1）：满足几个条件
的动点的轨迹叫做椭圆？
平面上----这是大前提
动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a
常数 2a 要大于焦距 2C
(2a>2c)
探究:
感悟:(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么
(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距
离和为6,则M点的轨迹是什么
(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距
离和为5,则M点的轨迹是什么
椭圆
线段AB
不存在
(3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.
(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段.
化 简
列 式
设 点
建 系
探讨建立平面直角坐标系的方案
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
O
x
y
方案二
F1
F2
M
O
x
y
化 简
列 式
设 点
建 系
F1
F2
x
y
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
F1
F2
x
y
P( x , y )
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|
为定值，设为2a，则2a>2c
则：
设
得
即：
O
b2x2+a2y2=a2b2
它表示：
① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
③ c2= a2 - b2
椭圆的标准方程⑴
F1
F2
M
0
x
y
观察下图，你能从中找出表示c,a, 的线段吗？(课本33页思考)
P
F1
F2
O
x
y
因为c2=a2－b2
所以
c
a
b
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢
椭圆的标准方程⑵
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c）
③ c2= a2 - b2
x
M
F1
F2
y
O
椭圆的标准方程
1
2
y
o
F
F
M
x
y
x
o
F
2
F
1
M
定 义
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a
小 结：
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2 = a2 -b2
（不要与勾股定理a2 +b2=c2 混淆）；
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值；
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴上 .
判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标
答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
巩固概念
应用举例
a>3
0例、填空：
已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
20
F1
F2
C
D
X
Y
O
变式： 若椭圆的方程为
1、已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________
2
1
(0,-1)、(0,1)
2
F1
F2
O
x
y
P
跟踪练习：
课本 36页 练习2
课本 36页 练习1
课本 36页 练习3
课本 42页 习题 1
课本 42页 习题 7
例．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）
（4，0），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，
求椭圆的标准方程。
讲评例题
1
2
y
o
F
F
M
x
.
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
由椭圆的定义知，
例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程：
∴ 设它的标准方程为
又 ∵ c=2
∴ 所求的椭圆的标准方程为
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
例2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从
这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’。求线段
PP’中点M的轨迹。
解 设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为
则
0
x
y
P
P’
例题讲解
M
例2.如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作
x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,
线段PD中点M的轨迹是什么 为什么
方法归纳:
寻找要求的点M的坐标x,y与中间变量x0 , y0之间的关系,然后消去x0 , y0,得到点M的轨迹的方程.-------
叫代入法求轨迹(解析几何中求点的轨迹的常用方法)
P
M
D
x
y
0
课本 43页 习题 1
例3.如图,设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM
相交与点M,且它们的斜率之积是
,求点M 的轨迹
x
A
B
y
0
M
课本 36页 练习4
课本 42页 习题 6（四班）
