3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3 直线的交点坐标与距离公式
【知识点概括】
一·两条直线的交点坐标
设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0
两条直线的交点坐标就是方程组的解
若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；
若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。反之亦成立
二·两点之间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝
三·点到直线的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d=
（使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式Ax+By+C=0的形式）
四·两条平行直线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d=
使用两平行线间的距离公式时
1）首先直线的方程化成一般形式
2）还要注意x、y的系数必须相同时才能读出C1、C2的值.
【基本问题】
一.两直线的交点问题：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
二．距离问题
三．对称问题
1．中心对称
(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两 点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，
x1≠x2)
(2)直线关于直线的对称
此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称直线,或者在已知直线上任取一点，找它关于对称轴的对称点，用点斜式求方程．
【习题】
1. 已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合M∩N为( D )
A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1) D.{(3,–1)}
2. 已知直线y=kx+2k+1与直线y=–x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( C )
A.–63．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( C )
A.　　　　B．2－ C. －1 D. ＋1
4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)可能是( A )
A．(1，－3)　　　　B．(3，－1) C．(－3,1) D．(－1,3)
5．两直线x－y－2＝0与2x－2y＋3＝0的距离为( B )
6. 点P在直线x+y–4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是( C )
A．2 B. C. D.
7．一条直线经过P(1,2), 且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线为( C )
A. 4x+y－6=0 B. x+4y－6=0
C. 3x+2y－7=0和4x+y－6=0 D. 2x+3y－7=0, x+4y－6=0
8．过两直线x–y+1=0和x+y–=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( B )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
9．经过点A(1, 0)和B(0, 5)分别作两条平行线，使它们之间的距离等于5，则满足条件的直线共有( B )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
10. 已知点A(1,3)、B(5,2)，点P在x轴上，使|AP|–|BP|取得最大值时P的坐标（ B ）
A. （4,0） B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)
11.两直线位置关系的判定
已知直线l1 ：（m+3）x+4y=5-3m l2:2x+(m+5)y=8
问：m为何值时 1）l1‖l2 2）l1与l2重合 3）l1与l2垂直
12.两直线的交点问题
求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
（5x＋3y－1＝0）
13.距离问题
已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（x＝2或3x－4y－10＝0.| 2x－y－5＝0 根号五）
14．对称问题
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

|9x－46y＋102＝0.
15．一直线过点，被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程.
16．求圆关于直线的对称圆方程.