4.2 直线、圆的位置关系

4.2 直线、圆的位置关系
【学习过程】
知识点1： 直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交，有两个公共点；
直线与圆相切，有且只有一公共点；
直线与圆相离，没有公共点。
2、研究直线与圆的位置关系主要方法有：代数法，几何法
位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法
相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d0
相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0
相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0
弦长的求法
直线与圆相交有两个交点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则有即半径长，弦心距，半径构成直角三角形，数形结合，利用勾股定理得到。
知识点2： 圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系： 圆与圆相交，有两个公共点；
圆与圆相离，没有公共点；
圆与圆相切，有且只有一公共点，由内切和外切两种；
圆与圆内含，没有公共点。
2、判定两个圆的位置关系：
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则
⑴ 两圆外离d＞R+r；有4条公切线；
⑵ 两圆外切d=R＋r；有3条公切线；
⑶ 两圆相交R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；
⑷ 两圆内切d=R－r（R＞r）有1条公切线；
⑸ 两圆内含d＜R—r（R＞r）有0条公切线
过两圆交点的直线方程
设圆 ①
圆 ②
①-②得此式为两圆公共弦所在的直线方程
学习结论：
1、直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种，其中判定方法为：
（1）、代数法：即求直线方程与圆的方程所组成的实数解的个数，当时，相交；当时，相切；当时，相离.
（2）、几何法：即通过圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来研究，当时，相交；当时，相切；当时，相离.
2、圆与圆有五种位置关系，它们分别是外离、外切、相交、内切、内含，判定方法有两种：一种是代数法，另一种是几何法。
【典型例题】
例题1在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？
（1）r=1cm； （2）r=cm； （3）r=2.5cm．
解析：过C点作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=2
，∴AB·CD=AC·BC，
∴，
（1）当r =1cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；
（2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；
（3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．
例题2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．
解析：过C点作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=2
，∴AB·CD=AC·BC，
∴，
（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r（2）∵直线AB与⊙C相切，∴ r =CD，即r=；
（3）∵直线AB与⊙C相交，∴r>CD，即r>．
例题3平面上有两点，点在圆周上，求使取最小值时点的坐标
解析：在Δ中有
即当最小时，取最小值，而，
即
例题4已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆
（1）求实数m取值范围；（2）求圆半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程。
解析：圆的方程化为标准方程得：，
所以
（2），（）
（3）圆心（m+3,4m2-1）,消去参数得圆心轨迹方程为：y=4(x-3)2-1.
【随堂练习】
一、选择题
1、直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( )
A、相离
B、相切
C、相交且直线不过圆心
D、相交且过圆心
2、圆x2+y2+2x+4-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )个
A1、 B、2 C、3 D、4
3、圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为( )
A、 B、4-
C、4+ D、0
4、若直线3x＋4y＋k=0与圆x＋y－6x＋5=0相切,则k的值等于( )
A、1或-19 B、10或-1
C、-1或-19 D、-1或19
5、若直线ax＋by－1=0与圆x＋y=1相交,则点P(a,b)的位置是( )
A、在圆上 B、在圆外
C、在圆内 D、以上皆有可能
6、过点P(3,0)能做多少条直线与圆x＋y－8x－2y＋10=0相切( )
A、0条 B、1条
C、2条 D、1条或2条
7、若直线3x＋4y－12=0与x轴交 于A点, 与y轴于交B点,那么OAB的内切圆方程是( )
A、x＋y＋2x＋2y＋1=0
B、x＋y－2x＋2y＋1=0
C、x＋y－2x－2y＋1=0
D、x＋y－2x－2y－1=0
8、1、表示的曲线为( )
A、两个半圆 B、一个圆
C、半个圆 D、两个圆
二、填空题
9、自圆x2+y2=r2外一点P()作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为
10、 已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线:x-y+3=0,当直线被C截得弦长为时,则a=
11、过点(1,-1)的圆x＋y=2的切线方程为________、过点(1,1)的圆(x－1) ＋ (y－2) =1的切线方程为________、
12、由点P(1,-2)向圆x2+y2-6x-2y+6=0引切线方程是
13、直线L过点(-5,-10)，且在圆x＋y=25上截得的弦长为5,则直线L的方程为________
三、解答题
14、已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),问过P点的直线斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆(1)相切 ,(2)相交, (3)相离？
15、已知圆C：(x－1) ＋(y－2) =25,直线L：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0(m∈R)
(1)证明:无论m取什么实数，L与圆恒交于两点.
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程.
参考答案
选择题
1、D；2、C；3、C；4、A；5、B；6、A；7、C；8、B
填空题
9、
10、
11、x－y－2=0,y=1
12、5x-12y-29=0或x=1
13、x－y－5=0或7x－y＋25=0
解答题
14、设过P点的直线方程为
y=k(x-4)
由中消去y得
x2+k2(x-4)2=8
即(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0
判别式=32(1-k2)
当=0即k=时,直线与圆相切
当=32(1-k2)>0,即-1当=32(1-k2)<0即k>1或k<-1时,直线与圆相离
15、解(1)将L的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)=0
由得
∴直线L经过定点A(3,1)
∵(3－1) +(1－2) =5<25
∴点A在圆C的内部,故直线L与圆恒有两个交点.
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时,则L⊥AM,由k=得
L的方程为y－1=2(x－3)即2x－y－5=0.