高中数学必修二 4.1 圆的方程

高中数学必修二 4.1 圆的方程
【知识要点】
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有
；；
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含； 当时，为同心圆。
【典型例题】
例1 圆上到直线的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．
解：圆的圆心为，半径．
设圆心到直线的距离为，则．
如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又．
∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
例2 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解：（待定系数法）
设圆的标准方程为．
∵圆心在上，故．∴圆的方程为．
又∵该圆过、两点．
∴
解之得：，．
所以所求圆的方程为．
例3　过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思路．
解：设直线的方程为
即
根据有
整理得
解得．
例4　已知圆，求过点与圆相切的切线．
解：∵点不在圆上，
∴切线的直线方程可设为
根据
∴
解得
所以
即
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
例5 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆．
圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或．
又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．
若两圆相切，则或．
(1)当时，，或(无解)，故可得．
∴所求圆方程为，或．
(2)当时，，或(无解)，故．
∴所求圆的方程为，或．
【练习】
1．方程表示的图形是半径为（）的圆，则该圆
圆心在 （ ）
A．第一象限　　　B．第二象限　 C．第三象限　 D．第四象限
2．若方程所表示的曲线关于直线对称，必有 （ ）
A． B． C． D．两两不相等
3．点()在圆x+y－2y－4=0的内部，则的取值范围是 （ ）
A．－1<<1 B． 0<<1 C．–1<< D．－<<1
4．两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为 （ ）
A．x+y+3=0 B．2x－y－5=0
C．3x－y－9=0 D．4x－3y+7=0
5．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则 （ ）
A．E≠0，D=F=0 B．D≠0，E≠0，F=0
C．D≠0，E=F=0 D．F≠0，D=E=0
6．圆过原点的充要条件是 ．
7．求圆上的点到直线的距离的最小值 ．
8．已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：
上，求此圆的标准方程．
9．已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圆的方程．
10．求经过点A(2，－1)，和直线相切，且圆心在直线上的圆的方程．
参考解题格式：
8.解：因为A（2，－3），B（－2，－5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，－4），
又 ，所以线段AB的垂直 平分线的方程是．
联立方程组，解得．
所以，圆心坐标为C（－1，－2），半径，
所以，此圆的标准方程是．
16．解：解法一：设所求圆的方程是． ①
因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程①，于是
可解得
所以△ABC的外接圆的方程是．
解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．
∵，，
线段AB的中点为（5，－1），线段BC的中点为，
∴AB的垂直平分线方程为， ①
BC的垂直平分线方程． ②
解由①②联立的方程组可得∴△ABC外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），
半径．
故△ABC外接圆的方程是．
17．解：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为(a,-2a)，据题意得：
， ∴ ，
∴ a =1， ∴ 圆心为(1，－2)，半径为， ∴所求的圆的方程为.
【课外作业】
1．已知直线l的方程为，则圆上的点到直线l的距离的最小值是（ ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2．（04年天津卷理7）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）.
A. B. C. D.
3．已知圆，一束光线从点经轴反射到圆周的最短路程是（ ）.
A. B. 8 C. D. 10
4．M（3，0）是圆内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（ ）.
A. B. C. D.
5．（04年重庆卷.文理3）圆的圆心到直线的距离为（ ）.
A . 2 B. C. 1 D.
6．（1999全国文）曲线x2+y2+2x－2y=0关于（ ）.
A. 直线x=轴对称 B. 直线y=－x轴对称
C. 点（－2，）中心对称 D. 点（－，0）中心对称
7．若实数满足，则的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
8．已知圆C：(x-1)2+y2=1，过坐标原点O作弦OA，则OA中点的轨迹方程是 .
9．（1997上海卷）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 .
10．（04年江苏卷.14）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是 .
※能力提高
5．求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程.
6．（03年京春文）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.
P
E
O
y
x