4.2.2 指数函数（2） 随堂跟踪练习（含答案）

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4.2.2 指数函数（2）跟踪练习
(60分钟　110分)
1．(5分)若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,1)　　　　　　　
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
2．(5分)已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
3.(5分)不等式2x<22－3x的解集是________．
4.(5分)函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最
小值大，则a的值为________．
5．(5分)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)
6．(5分)若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪(1，＋∞)
D.
7.(5分)已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．
8.(5分)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为________．
9．(5分)若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
10．(5分)若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是
(　　)
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
11.(5分)若函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6　　　　　　　　 B．1
C．3 D．
12．(5分)函数y＝的值域是(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－2，－1]
13．(5分)(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　)
A．蓝藻面积每个月的增长率为100%
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60 m2
D．若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1＋t2＝t3
14.(5分)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________．
15.(5分)若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．
16.(5分)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．
17.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
18.(12分)已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)>0.
19.(13分)已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
4.2.2 指数函数（2）（课时作业）
(60分钟　110分)
1．(5分)若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,1)　　　　　　　
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
D　解析：不等式2x＋1<1＝20，
因为y＝2x是增函数，所以x＋1<0，即x<－1.
2．(5分)已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
D　解析：a＝60.7>60＝1，c＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b，且c＝0.80.7<0.80＝1，所以a>c>b.
3.(5分)不等式2x<22－3x的解集是________．
　解析：由2x<22－3x得x<2－3x，即x<，
所以不等式的解集为.
4.(5分)函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最
小值大，则a的值为________．
或　解析：①若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
所以a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去)．
②若0所以a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，所求a的值为或.
5．(5分)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)
A　解析：因为f(x)＝x2－1，0<<1，
所以f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．
6．(5分)若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪(1，＋∞)
D.
A　解析：因为底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A.
7.(5分)已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．
(－∞，1]　解析：(方法一)由指数函数的性质可知y＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．
(方法二)f(x)＝|x－1|＝可画出f(x)的图象，得其单调递增区间为(－∞，1]．
8.(5分)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为________．
(0,1)　解析：由题意，知f(x)＝－f(－x)，即＝－，所以(1－a)(2x＋1)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝.
由f(x)＝>3，得1<2x<2，所以09．(5分)若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
D　解析：由题意得
解得4≤a＜8.
10．(5分)若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是
(　　)
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
A　解析：(方法一)当x>0时，
3x>3－x，f(x)＝3－x，
f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；
当x<0时，3x<3－x，
f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．
综上，f(x)的值域是(0,1]．
(方法二)作出f(x)＝3x⊙3－x＝的图象，如图．
可知值域为(0,1]．
11.(5分)若函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6　　　　　　　　 B．1
C．3 D．
C　解析：函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1，在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.
12．(5分)函数y＝的值域是(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－2，－1]
D　解析：当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]；
当x>1时，y＝31－x－2＝x－1－2单调递减，值域为(－2，－1)．所以函数值域为(－2，－1]．
13．(5分)(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　)
A．蓝藻面积每个月的增长率为100%
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60 m2
D．若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1＋t2＝t3
ACD　解析：由图可知，函数y＝at图象经过(1,2)，即a1＝2，则a＝2，∴y＝2t；
∴2t＋1－2t＝2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A对、B错；
当t＝6时，y＝26＝64>60，C对；
若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则2t1·2t2＝2×3，即2t1＋t2＝6＝2t3，所以t1＋t2＝t3，D对．
故选ACD.
14.(5分)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________．
　解析：因为－1≤x≤2，
所以≤x≤3.
所以－≤x－1≤2.
所以f(x)的值域为.
15.(5分)若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．
(－3,0)　解析：令x＝t，
因为方程有正根，所以t∈(0,1)．
方程转化为t2＋2t＋a＝0，
所以a＝1－(t＋1)2.
因为t∈(0,1)，所以a∈(－3,0)．
16.(5分)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－1,2)　解析：原不等式变形为m2－m＜x.
因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，所以x≥－1＝2，当x∈
(－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
17.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
　解析：由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，
所以f(0)≥g(2)，即0≥2－m，
所以m≥.
18.(12分)已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)>0.
(1)解：由2x－1≠0，得x≠0.
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)解：因为函数f(x)的定义域关于原点对称，
f(－x)＝·(－x)3
＝－x3＝x3＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)证明：当x>0时，>0，x3>0，
所以f(x)>0.
因为f(x)为偶函数，
所以当x<0时，f(x)>0.
综上所述，
对于定义域内的任意x都有f(x)>0.
19.(13分)已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1所以f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝.
因为x1又(1＋2x1)(1＋2x2)＞0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数．
(2)解：因为f(x)在R上为奇函数，所以f(0)＝0，
即a－＝0，解得a＝.
当a＝时，验证可知f(x)为奇函数．
所以f(x)＝－.
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
因为f(1)＝－＝，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
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