3.3 幂函数 随堂跟踪练习（含答案）

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3.3 幂函数跟踪练习
(15分钟　30分)
1.下列结论正确的是 (　　)
A.幂函数图象一定过原点
B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数
C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数
2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点，则k+α等于 (　　)
A. B.1 C. D.2
3.在下列四个图形中，y=的图象大致是 (　　)
4.幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是 (　　)
A.[-1，+∞) B.[0，+∞)
C.(-∞，+∞) D.(-∞，0)
5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内 (　　)
A.为增函数 B.为减函数
C.有最小值 D.有最大值
【补偿训练】
已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______.?
6.已知幂函数f(x)=(-2①在区间(0，+∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.
求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的值域.
(20分钟　40分)
一、单选题(每小题5分，共15分)
1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)是幂函数且为奇函数，则m的值为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.2或4
2.下列命题中，不正确的是 (　　)
A.幂函数y=x-1是奇函数
B.幂函数y=x2是偶函数
C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D.y=既不是奇函数，又不是偶函数
3.给出幂函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=；⑤f(x)=.其中满足条件
f()>(x1>x2>0)的函数的个数是 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是 (　　)
A.y= B.y= C.y= D.y=
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.?
6.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______.?
四、解答题
7.(10分)已知幂函数f(x)= (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
解析版
(15分钟　30分)
1.下列结论正确的是 (　　)
A.幂函数图象一定过原点
B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数
C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数
【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-∞，0)及(0，+∞)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故C不正确.
2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点，则k+α等于 (　　)
A. B.1 C. D.2
【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，所以k=1，f==，
即α=-，所以k+α=.
3.在下列四个图形中，y=的图象大致是 (　　)
【解析】选D.函数y=的定义域为(0，+∞)，是减函数.
4.幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是 (　　)
A.[-1，+∞) B.[0，+∞)
C.(-∞，+∞) D.(-∞，0)
【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f(3)=3α==，解得α=，所以f(x)=，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).
5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内 (　　)
A.为增函数 B.为减函数
C.有最小值 D.有最大值
【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，
所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，
所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.
【补偿训练】
已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______.?
【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y=xα在(0，+∞)上为减函数，故α<0.
答案：(-∞，0)
6.已知幂函数f(x)=(-2①在区间(0，+∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.
求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的值域.
【解析】因为函数在上单调递增，
所以-m2-2m+3>0，解得：-3因为-2又因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以-m2-2m+3为偶数.
当m=-1时，-m2-2m+3=4满足题意，
当m=0时，-m2-2m+3=3不满足题意，
所以f(x)=x4，所以f(x)在上递增，
所以f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(4)=256，
所以值域是.
(20分钟　40分)
一、单选题(每小题5分，共15分)
1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)是幂函数且为奇函数，则m的值为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.2或4
【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)为幂函数，所以m2-6m+9=1，所以m=2或m=4，当m=4时，f(x)=x5是奇函数，满足题意，当m=2时，f(x)=x-1是奇函数，满足题意；所以m=2或4.
2.下列命题中，不正确的是 (　　)
A.幂函数y=x-1是奇函数
B.幂函数y=x2是偶函数
C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D.y=既不是奇函数，又不是偶函数
【解析】选C.因为x-1=，=-，
所以A正确；
(-x)2=x2，所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.
3.给出幂函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=；⑤f(x)=.其中满足条件
f()>(x1>x2>0)的函数的个数是 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解题指南】解决该题的关键是正确理解
f>(x1>x2>0)的含义.
【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，
f=；
②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；
③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，
f<；
④函数f(x)=的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f>；
⑤在第一象限，函数f(x)=的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，
f<.
故仅有函数f(x)=满足当x1>x2>0时，
f>.
二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是 (　　)
A.y= B.y= C.y= D.y=
【解析】选A、B、C.A中y==，定义域、值域都为R；B中y==定义域与值域都为(0，+∞)；C中y=的定义域、值域也为R；D中y==定义域为R，而值域为[0，+∞).
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.?
【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)中，
令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，
解得m=2或m=-1；
当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，
在(0，+∞)上单调递减，满足题意；
当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，
在(0，+∞)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.
答案：2
6.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______.?
【解析】因为幂函数f(x)= (m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则指数是偶数且大于0，因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4，
因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，所以m=-1，即f(x)=x4.
所以f(2)=24=16.
答案：16
四、解答题
7.(10分)已知幂函数f(x)= (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
【解析】因为幂函数f(x)经过点(2，)，
所以=，即=.所以m2+m=2.
解得m=1或m=-2.又因为m∈N*，所以m=1.
所以f(x)=，则函数的定义域为[0，+∞)，并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1)，
得解得1≤a<.
所以a的取值范围为.
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