3.2.1.2 函数的最大值、最小值 随堂跟踪练习（含答案）

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3.2.1.2 函数的最大值、最小值跟踪练习
(15分钟　35分)
1.函数y=x2+2x-1在[0，3]上的最小值为 (　　)
A.0 B.-4 C.-1 D.-2
2.函数f(x)=的最大值是 (　　)
A. B. C. D.
3.(2020·海淀高一检测)设函数f(x)=4x+-1(x<0)，则f(x) (　　)
A.有最大值3 B.有最小值3
C.有最小值-5 D.有最大值-5
4.(2020·成都高一检测)函数f(x)=2x-的最小值为_______.?
5.对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，f(a)=a2-4a+6的下确界为_______.?
6.(2020·温州高一检测)已知函数f(x)=x2+.求函数f(x)在区间[-3，-1]上的最值.
(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量x单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 (　　)
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
2.函数y=x+的最值的情况为 (　　)
A.最小值为，无最大值
B.最大值为，无最小值
C.最小值为，最大值为2
D.最大值为2，无最小值
3.(2020·连云港高一检测)已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是(　　)
A.a2+1 B.a+
C.a- D.a-
4.(2020·无锡高一检测)若关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1，3]上有解，则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-∞，5) B.(-∞，5]
C.(-∞，4) D.(-∞，-4)∪(4，+∞)
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.下列关于函数y=ax+1，x∈[0，2]的说法正确的是 (　　)
A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
6.函数y=(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 (　　)
A.最小值为 B.最大值为4
C.无最大值 D.无最小值
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=_______.?
8.(2020·杭州高一检测)对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)=2-x2，g(x)=x，则集合{x|f(x)=g(x)}=_______；min{f(x)，g(x)}的最大值是_______.?
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.若函数y=f(x)=x2-6x+10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值.
10.(2020·太原高一检测)已知函数f(x)=，g(x)=x-1.
(1)求解不等式f(x)≥g(x).
(2)若x>，求y=3f(x)+2g(x)的最小值.
【补偿训练】
已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)，满足：
①f(1)=5；②6(1)求a，c的值.
(2)设g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|，求g(x)的最小值.
创新练习：
1.当x∈(1，2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是_______.?
2.(2020·永州高一检测)已知≤a≤1，若函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的函数解析式.
(2)不要证明，请直接写出函数g(a)的单调区间，并求g(a)的最大值.
【补偿训练】
1.已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R)，设f(x)在[-1，1]上的最大值为g(a)，
(1)求g(a)的表达式.
(2)是否存在实数m，n，使得g(a)的定义域为[m，n]，值域为[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.
2.对于区间[a，b]和函数y=f(x)，若同时满足：
①f(x)在[a，b]上是单调函数；②函数y=f(x)，x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间.
(1)求函数y=x2(x≥0)的所有“不变”区间.
(2)函数y=x2+m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
解析版
(15分钟　35分)
1.函数y=x2+2x-1在[0，3]上的最小值为 (　　)
A.0 B.-4 C.-1 D.-2
【解析】选C.因为y=x2+2x-1=(x+1)2-2，其图象的对称轴为直线x=-1，
所以函数y=x2+2x-1在[0，3]上单调递增，
所以当x=0时，此函数取得最小值，最小值为-1.
2.函数f(x)=的最大值是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.令t=1-x(1-x)=+≥，
所以03.(2020·海淀高一检测)设函数f(x)=4x+-1(x<0)，则f(x) (　　)
A.有最大值3 B.有最小值3
C.有最小值-5 D.有最大值-5
【解析】选D.当x<0时，f(x)=4x+-1
=-(-4x)+-1≤-2-1=-5.
当且仅当-4x=-，即x=-时，上式取等号.
所以f(x)有最大值为-5.
4.(2020·成都高一检测)函数f(x)=2x-的最小值为_______.?
【解析】因为f(x)=2-2
=2-，
所以f(x)min=f=-.
答案：-
5.对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，f(a)=a2-4a+6的下确界为_______.?
【解析】f(a)=a2-4a+6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.
而f(a)=(a-2)2+2，所以f(a)min=f(2)=2.
所以M≤2.所以Mmax=2.
答案：2
6.(2020·温州高一检测)已知函数f(x)=x2+.求函数f(x)在区间[-3，-1]上的最值.
【解析】?x1，x2∈[-3，-1]，且-3≤x1f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(x1+x2)-，
又由-3≤x1则有(x1+x2)-<0，
则有f(x1)-f(x2)>0，
故函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递减，
故f(x)max=f(-3)=4，
f(x)min=f(-1)=-.
(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量x单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 (　　)
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
【解析】选C.设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，公司获利为
L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30
=-+30+，
所以当x=9或10时，L最大为120万元.
2.函数y=x+的最值的情况为 (　　)
A.最小值为，无最大值
B.最大值为，无最小值
C.最小值为，最大值为2
D.最大值为2，无最小值
【解析】选A.因为y=x+在定义域，+∞上是增函数，
所以函数最小值为，无最大值.
3.(2020·连云港高一检测)已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是(　　)
A.a2+1 B.a+
C.a- D.a-
【解析】选D.函数f(x)=x2+|x-a|=
当x≥a>时，函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，
函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；
当x因为a2-=a2-a+=>0.
所以a2>a-.
所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.
4.(2020·无锡高一检测)若关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1，3]上有解，则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-∞，5) B.(-∞，5]
C.(-∞，4) D.(-∞，-4)∪(4，+∞)
【解析】选A.关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1，3]上有解，
即m设f(x)=x+，则f(x)在(0，2]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增，
故当x=2时，f(x)取得最小值4，
又f(1)=5，f(3)=，故当x=1时，函数f(x)取得最大值.则实数m<5.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.下列关于函数y=ax+1，x∈[0，2]的说法正确的是 (　　)
A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
【解析】选AD.当a<0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递减，
当x=0时，函数取得最大值为1；当x=2时，函数取得最小值为2a+1.
当a>0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递增，当x=0时，函数取得最小值为1，当x=2时，函数取得最大值为2a+1.
6.函数y=(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 (　　)
A.最小值为 B.最大值为4
C.无最大值 D.无最小值
【解析】选BD.函数y==1+在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，
由于x=5取不到，则最小值取不到.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=_______.?
【解析】根据题意，二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则解得a=-1.
答案：-1
8.(2020·杭州高一检测)对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)=2-x2，g(x)=x，则集合{x|f(x)=g(x)}=_______；min{f(x)，g(x)}的最大值是_______.?
【解析】由题作出函数f(x)，g(x)的图象，
令f(x)=g(x)，即2-x2=x，
解得x=-2或x=1，
则集合{x|f(x)=g(x)}={-2，1}，
由题意及图象得min{f(x)，g(x)}=
由图象知，当x=1时，min{f(x)，g(x)}最大，最大值是1.
答案：{-2，1}　1
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.若函数y=f(x)=x2-6x+10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值.
【解析】由题意知，f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1，
(1)若a≥3，f(x)min=f(3)=1，不符合题意；
(2)若0所以f(x)min=f(a)=2，所以a=2或a=4，
因为0综上所述，a=2.
10.(2020·太原高一检测)已知函数f(x)=，g(x)=x-1.
(1)求解不等式f(x)≥g(x).
(2)若x>，求y=3f(x)+2g(x)的最小值.
【解析】(1)当x>时，由f(x)≥g(x)，得(2x-1)(x-1)≤3，解得当x<时，由f(x)≥g(x)，得(2x-1)(x-1)≥3，
解得x≤-.
所以不等式f(x)≥g(x)的解集为x(2)因为y=3f(x)+2g(x)，x>，
所以3f(x)+2g(x)=+2-1≥2-1=5，
当且仅当4=9，即x=2时取等号，
故当x>时，函数y=3f(x)+2g(x)的最小值为5.
【补偿训练】
已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)，满足：
①f(1)=5；②6(1)求a，c的值.
(2)设g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|，求g(x)的最小值.
【解析】(1)f(1)=a+2+c=5，f(2)=4a+4+c∈(6，11)，
又c=5-2-a=3-a，
所以4a+4+3-a=3a+7∈(6，11)，
所以-又a∈N*，所以a=1，c=2.
(2)因为f(x)=x2+2x+2，
所以g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|=x2+2x+2-2x-3+|x-1|=x2+|x-1|-1，
当x≥1时，g(x)=x2+x-2，
此时g(x)在[1，+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=1+1-2=0，
当x<1时，g(x)=x2-x，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以g(x)min=g=-=-，
又-<0，所以g(x)min=g=-.
创新练习：
1.当x∈(1，2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是_______.?
【解析】设f(x)=x2+mx+4，则f(x)图象开口向上，对称轴为x=-.
(1)当-≤1时，即m≥-2时，
满足f(2)=4+2m+4≤0，
所以m≤-4，
又m≥-2，所以此时无解.
(2)当-≥2，即m≤-4时，
需满足f(1)=1+m+4≤0，
所以m≤-5，
又m≤-4，所以m≤-5.
(3)当1<-<2，即-4需满足此时无解.
综上所述，m≤-5.
答案：m≤-5
2.(2020·永州高一检测)已知≤a≤1，若函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的函数解析式.
(2)不要证明，请直接写出函数g(a)的单调区间，并求g(a)的最大值.
【解析】(1)根据题意，f(x)=ax2-2x+1=
a+1-，
由≤a≤1得1≤≤3，
则N(a)=f=1-，
当1≤<2，即当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)=f(1)=a-1，
则g(a)=
(2)g(a)在上单调递减，在上单调递增，且g(a)的图象连续不断；
又g=，g(1)=4，
所以g(a)的最大值是g(1)=4.
【补偿训练】
1.已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R)，设f(x)在[-1，1]上的最大值为g(a)，
(1)求g(a)的表达式.
(2)是否存在实数m，n，使得g(a)的定义域为[m，n]，值域为[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为函数f(x)图象的对称轴为x=-，所以当-≤0，即a≥0时，
g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2；
当->0，即a<0时，
g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.
所以g(a)=
(2)假设存在符合题意的实数m，n，
则由(1)可知，当a∈R时，g(a)∈[2，+∞).
所以若a∈[m，n]，有g(a)∈[5m，5n]，
则0所以g(a)=a2+a+2，且为单调递增函数.
所以
所以
2.对于区间[a，b]和函数y=f(x)，若同时满足：
①f(x)在[a，b]上是单调函数；②函数y=f(x)，x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间.
(1)求函数y=x2(x≥0)的所有“不变”区间.
(2)函数y=x2+m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
【解析】(1)易知函数y=x2(x≥0)单调递增，
故有解得a=0或1，b=0或1，
又a所以函数y=x2(x≥0)的“不变”区间为[0，1].
(2)易知函数y=x2+m(x≥0)单调递增，
若函数y=x2+m(x≥0)存在“不变”区间，
则有b>a≥0，且
消去m得a2-b2=a-b，
整理得(a-b)(a+b-1)=0.
因为a又由b>a≥0，得1-a>a≥0，所以0≤a<.
所以m=-a2+a
=-+，
所以0≤m<.
综上，当0≤m<时，函数y=x2+m(x≥0)存在“不变”区间.
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